Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 73
Текст из файла (страница 73)
х~ которая в равновесии равна Н, = ~ р, !пр,дГ= ) р 1пр,дГ, (3.25) ( ) Если бы мы могли показать, что при приближении ансамбля к равновесному состоянию функция Н(!) (3.24) монотонно убывает, мы имели бы близкий аналог Н-теоремы Больцмана (3.18) (хотя, конечно, мы должны были бы гомнить, что (3.13) относится к одной систег ме (газу), а (3.24) — к ансамблю систем). Если, однако, продифференцировать по времени (3.24), мы получим лн нг — = — ! р 1прдГ=О. а — ж~ 7 Я 3 4 (3.30) В самом деле, полная Рнс. 77. производная по времени от каждого элементарного слагаемого интеграла р !яр с(Г равна нулю в силутеоремы Лиувилля (р=сопз! и с[Г= сопл! вдоль фазовой траектории); поэтому производная Й/Ж от всего интеграла тоже равна нулю.
Для того чтобы понять, как все же при приближении ансамбля к равновесию наступает микроканоническое распределение с постоянной плотностью р=р,=сонэ[, рассмотрим, следуя Гиббсу, ансамбль изоэнергетических систем, изображаемых в начальный момент времени Г,=О плотностью р=сопз! в ограниченной области [ бх) так как из условия нормировки ~р,[г=~р[Г= Ч. (3.26) Определим разность Н вЂ” Н, =~р 1прс!à — ~р,!прсс[Г=рс( Р [п Р+1 — Р) дГ,(3 27) где мы при преобразовании воспользовались (3.26). Полагая р/р,=х, видим, что подинтегральная функция в (3.27) равна ~р(х)г х!п х+1 — х.
(3.28) Функция сг(х) изображена на рис. 77. Мы видим, что в равновесии, когда р=р, и, следовательно, х=1, функция ср(1)=0, а при всех остальных значениях х функция ~Р(х))0, поэтому Н) Н,. 3.29 4 3] Н-твотвмл и тасптидилииив максвиляа — вольцманя 393 А слоя («7, «Г+Л8) (рис. 78). В последующие моменты времени 1«(1,(1«(...
область А, сохраняя свой объем и плотность р= = сопи(, будет менять свою форму, превращаясь постепенно в тонкую нить, «равномерно» заполняющую все доступное системам Г.пространство в энергетическом слое (б7, б7+Г»6.) То, что будет иметь место подобное «размешивание» ансамбля в фазовом пространстве, представляется весьма правдоподобным, так как разброс начальных состояний систем в области А должен по мере увеличения времени приводить ко все большему раз- сг личию в состояниях систем '). Таким образом, под плотностью р, входящей в определение Н-функции (3.24), следует понимать так называемую грубую плотность р, которая получается в результате усреднения истинной плотности р по малым объемам фазового пространства ур р= — '!'р(г=рг (3.31) -т.." р = р, является функцией координат, определяющих положение ячейки ус Вместо (3.24) мы получим теперь: Й= ) р!пр«1Г =у~~'.,р;!пр„ (3.32) ') Понятие о таком «равмешиванин» было впервые введено Гиббсом.
если у — одинаковый объем всех ячеек уь Введение грубой плотности р устраняет парадокс, отмеченный выше, однако не приводит к вполне удовлетворительному доказательству Н-теоремы. Мы не будем заниматься сложными вопросами квантовой теории необратимых процессов. Читателю, который хотел бы познакомиться с этой бурно развивающейся областью физики, можно рекомендовать книгу С. Фудзита «Введение в неравновесную квантовую статистическую механику», Изд. «Мир», М., 1969. 394 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ (гл. х~ $4. Некоторые применения кинетического уравнения к газам т= — ') с(е ') ао, ~и()о(б, и) !о — о,!7',(о)7,(о,).
(4.1) Здесь 7 (о)=п ~ — ~ е- "чеАТ; (Ь ~т1 (4.2) выражение для ~,(о,) аналогично. Предполагая, что о(б, и) не зависит от относительной скорости и = !еР— о, !, получим т=поо( м ) ')ап')с(О (Π— О !е '"г 1 (43) где о,— полное сечение рассеяния (2.22). Введем в качестве переменных интегрирования составляющие скорости движения центра масс ВР, (2.28) и относительной скорости и=еэ — о,; тогда легко показать, что дос(е,=е(о,ди (4.4) и о'+ о', = 2о', + — и'.
1 (4.5) Подставляя новые переменные интегрирования в (4.3), получим 'Используя значения интегралов Приложения 3, получим =)' 2жр, (4.7) где о= р1т †средн скорость молекул (П; 4.13). Средний промежуток времени между двумя последовательными столкновениями молекул, или среднее время свободного пробега, (4.8) 'Р' 2 НОРР 1. Введем ряд величин, удобных для описания микроскопического состояния газа.
Если отклонение газа от равновесного состояния не слишком велико, эти величины могут быть, с доста. точной степенью точности, определены для газа, находящегося в равновесии. Определим среднее число столкновений ч в 1 сек, испытываемых молекулой газа, находящегося в равновесии. Для определения т достаточно (2.37) проинтегрировать по о, подставив вместо 1(ВР, г, 1) и 1(п„ г, г) равновесные функции распределения максвелла, и разделить на концентрацию молекул и: $41 ПРИМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К ГАЗАМ 395 Величина т по порядку величины совпадает со временем релаксации т (2.16).
Средний путь, проходимый молекулой между двумя последовательными столкновениями, или средняя длина свободного пробега, 1=от = (4.9) Ф злое Полагая диаметр молекулы азота а ж 2,5 А = 2,5 10 ' см, получим в приближении твердых шариков для полного сечения (2.25): о,=паз ж 2 10 "см'. Для такого газа в нормальных условиях при концентрации п=2,7 10" см ' длина свободного пробега 1ж 10 ' см. (4.10) гр(х+йх)=гр(х) (1 — адх), (4.11) где 1 — адх — вероятность молекуле не столкнуться на пути дх (а — постоянная, не зависящая от х, но зависящая, вообще говоря, от скорости молекулы). Разлагая левую часть (4.11) по дх, получим с(х = — гр (х) а с(х (4.12) или — = — адх йр гр (4.13) ') Это предположение является одним на аспектов гипотезы молекулярного хаоса.
Молекулы азота при температуре 0'С имеют среднюю скорость о= 4,5 10' см/сек, поэтому среднее время свободного пробега т=11п = 2.10 ге сек. (4.10а) Мы видим, что для газа в нормальных условиях 1>) и-ы' >) а, т. е. длина свободного пробега много больше среднего расстояния между молекулами, которое в свою очередь много больше их размера. Эти неравенства, которые для параметра (2.44) дают значение -10 ', оправдывают применимость кинетического уравнения Больцмана к газу, находящемуся в нормальных условиях. В ряде случаев представляет интерес не только средняя длина свободного пробега 1 (4.9), но и распределение длин свободных пробегов.
Пусть вероятность того, что молекула не испытала столкновения на пути х, равна гр(х) и пусть эта вероятность не зависит от того, каков был свободный путь молекулы до того'). Так как вероятность столкновения на пути дх пропорциональна с(х, то вероятность молекуле пролететь путь х+Йх без столкновений равна 396 основы таогни негхвиовасных пгоцассов [гл. х~ откуда у (х) Се-а» (4.14) Постоянная С определяется из условия, что вероятность молекуле пролететь путь, равный нулю, равна единице, т.
е. гр(0) = 1, поэтому С = 1 и, следовательно, (4.15) ч,(х)=е»». Лля того чтобы выяснить смысл постоянной а, определим вероятность того, что молекула без столкновений пролетает путь от х до х+Йх; очевидно, эта вероятность 1в(х)Дх=<р(х)аах=ае а»1[х (4.16) так как по нашему предположению вероятность молекуле пролететь путь ах не зависнт от вероятности того, что она уже пролетела путь х. Средняя длина свободного пробега Р Ф 1=-) хв(х)е[х=а ) хе '"дх= —, 1 о о (4.17) откуда а = 1!1 н, следовательно, 1с (х) дх = — е-»н 1[х, 1 (4.18) что дает закон распределения длин свободного пробега. 2.
Рассмотрим ламинарное течение газа вдоль оси х, когда вдоль оси у существует постоянный градиент скорости а (рис. 79), так что У„=ау, У =У,=О, (4.19) х, х, (4.20) т. е. равен скалывающему напряжению на единицу градиента скорости. где Ф'= (У„, У, У,) †скорос макроскопического (гидродинамического) течения газа. Между соприкасающимися слоями газа, текущими вдоль оси х, возникают силы трения.
Обозначим через Х» силу, приложенную к площадке в ! см', перпендикулярной к оси у, направленную вдоль оси х. Коэффициент внутреннего трения или вязкости газа по определению равен 541 ПРИМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К ГАЗАМ 397 Если 7,(о„, о„, о,) †равновесн функция распределения Максвелла, соответствующая температуре и плотности газа, то естественно предположить, что в нулевом приближении функция распределения по скоростям в текущем газе имеет вид ),(о„, о, о,)=Г",(о„— ау, о, о,), (4.21) т.
е. в каждой точке газа имеет место равновесное максвелловское распределение в движущейся с газом координатной системе. В самом деле, при этом предположении макроскопическая скорость течения газа (4.19) совпадает со средней скоростью молекул. Действительно, М о„= 1 Яо„7,(о„— у, о, о,)с(о„~(о Р = — „Я(о + у)7,(о„, оу, о,)~(о,с(о ио,=ау=у„, (4,22) где п — концентрация молекул. Мы ввели переменную интегрирования о„'=о„— ау; кроме того, мы воспользовались тем, что интеграл по о„' от первого слагаемого (нечетной функции) равен нулю, и условием нормировки распределения Максвелла.
Легко видеть, что в приближении (4.21) столкновительный член (2.41) равен нулю (9 3, и. 1). Однако левая часть кинетического уравнения (2.43) в этом приближении не равна нулю. Для того чтобы определить функцию распределения в первом приближении, мы подставим в левую часть кинетического уравнения функцию нулевого приближения 7,(о„, о„, о,), а а для столкновительного члена воспользуемся приближением времени релаксации (2.16); тогда е о — ' = — — '. (4.23) Рнс. 79. вг Так как правая часть уравнения равна нулю при 7"=1„то при вычислении левой части можно пренебречь поправкой первого порядка в 7, т. е. положить Г"=~,.
Вводя скорость молекул о' относительно координатной системы, движущейся со скоростью (4.19), (4.24) ос основы теоуии неехвновесных пуоцессов (гл. х~ получим для левой части (4.23): д , д е — 1,(ох — ау, о, о,) =о„' — 1,(о„— ау, о, о,) = д = — оу« — 1в(ох оу ох) (4.25) Здесь учтено, что (д1,(дх) = (д1,!дг) = 0 и оу = о„'.
Из (4.23) и (4.25) следует, что 1=1„+тао„' —, 1„(о„', о„', о,'). " ду,, (4.26) Как отмечалось выше, текущие параллельно оси х слои газа испытывают взаимное трение. С молекулярной точки зрения это трение связано с тем, что более быстро движущиеся вдоль оси х молекулы верхнего слоя тормозятся при проникновении в более медленно движущийся нижний слой. При этом торможении возникает некоторая сила, приложенная к нижнему слою вдоль оси х.
Отданное за единицу времени количество движения равно, по законам классической механики, силе (Л (то) = Р.ЛГ), т. е. '~у г (тох) (оу1) дух доу~~ою если т от скорости о' не зависит. Беря интеграл по о,' по частям, получим Ху — аута ~ оу 1х (ох оу ох) с(ох с(оу ~(ох = 2та ) — 1, (о„', о„', о,') г(о„'до„'с(о, '= 2ат л —, (4.29) 2 если учесть, что средняя кинетическая энергия на одну степень свободы равна лТ)2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
