Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Рассмотрим объем У, внутри которого имеется один рассеивающий центр и л! электронов, движущихся по всем направлениям со скоростью О. На рассеивающий центр по разным направлениям падает суммарный поток электронов, равный (!У/У) О. Число электронов, рассеянных в 1 сек на угол д (в единицу телесного угла), равно ~ — ) СО (Ь, О) = й!Ю,'," (д), (5.15) где Я7„"'(О) †вероятнос О-электрону в 1 сек рассеяться на одном центре на угол 6 (в единицу телесного угла). Из (5.15) следует РО (д, Р! — = 2нп, О ') О (6, О) (1 — соз 6) з!и д т(0. ! о (5.18) Если в объеме кристалла У имеется 51, центров рассеяния, то полная вероятность рассеяния (5.13) равна )У,(б) = У0%7' (6) =Н,ОО(д, О), (5.17) где п, = М,1У вЂ” концентрация центров рассеяния.
Из (5.14) и (5.17) следует й 51 405 электроны проводимости в кристалле Время релаксации т может быть определено, если известна вероятность перехода Ф"(п, и') или сечение рассеяния п(д, о). Вообще говоря, для их определения необходимо воспользоваться теорией возмущений квантовой механики. Мы приведем здесь только результаты вычислений для двух случаев').
Лля рассеяния электронов в полупроводниках на примесных ионах можно воспользоваться классической формулой Резерфорда для рассеяния а-частиц. Время релаксации для этого случая равно квтеев ! 2ллвев [ +( втев )в~ Здесь к — диэлектрическая постоянная кристалла, е — элементарный заряд, и,— концентрация примесей, т и о — эффективная масса и скорость свободного электрона (в= то'72). Мы видим, что в этом случае время релаксации пропорциональ.ю ов или ем* (если не учитывать слабой логарифмической зависимости т от о) и не зависит от температуры. При рассеянии электронов на акустических колебаниях кристаллической решетки время релаксации М (5.20) 4 йеСвтЬТи Здесь М вЂ мас элементарной ячейки кристалла, ь), — ее объем, о, †скорос звука в кристалле, Т вЂ температу, С вЂ постоянн, характеризующая взаимодействие электрона с колебаниями решетки (С - 5 в 15 зв), )з †постоянн Планка)2п, гп и о †эффективная масса и скорость электрона.
3. Рассмотрим кинетическое уравнение (2.13) в стационарном случае (д)/д) = 0) при постоянной концентрации электронов проводимости п (д7!дг = О), когда вдоль оси х приложено электрическое поле Е = Е„. Если энергия электрона в = гппв/2 = = (т!2) (и„'+ов+ов) и их рассеяние происходит упруго, то кинетическое уравнение имеет вид еЕ 97 1 — )е (5.21) т Двх где т †вре релаксации. Нетрудно понять, что отступление функции распределения 7 от равновесного значения 7, в первом приближении пропорционально электрическому полю Е.
Поэтому, если мы интересуемся эффектами, линейными по полю Е (закон Ома), то в левой части уравнения (5.21) можно положить ь) А. И. А в сел ь м, кит. выше, стр. 267, 279. 406 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ (гл. х! /=/о (член — — — квадратичен по полю Е).
В этом случае еЕ д/, ео дье еЕ д/о еЕ д/о де д/о — — '= — — — ' — = — еŠ— 'о„ т дье ео де дь» де и, следовательно, /о+ЕЕ д т(о)'о (5.23) о 3$п,) ь (5.25) где время релаксации т выражено через переменную х. Мы получили закон Ома в дифференциальной форме: / = ПЕ = пеиЕ, (5.26) где о = пеи — удельная влентропроводноеть, а и — подвижность носителей тока, численно равная дрейфовой скорости электронов при напряженности поля, равной единице. Из сравнения (5.26) с (5.25) следует, что подвижность элек- тронов е и = — <т>, ео (5.27) где о 4 <т> = ( т (х) е "хчо дх 1 ь (5.28) как это следует из (5.21) и (5.22).
Мы видим„ что /, действительно имеет вид, предположенный в (5.7). Если электрическое поле приложено вдоль оси х, то ток также будет течь вдоль оси х. Очевидно, плотность тока /=/„равна заряду электрона ( — е), умноженному на поток электронов вдоль оси х, т. е. / = — е ~ / о„е/те = — е ) До + /,) о„е(то = — еоЕ ~ ф' т (о) о„'е(о, (5.24) где учтено, что интеграл по о„от /,.о„равен нулю.
Для преобразования интегоала (5.24) перейдем к полярным координатам с осью, направленной вдоль х; тогда о„=осозб и е(те=о'е/оз!Пбе(бе(ор. Интегрирование по углам 6 и ор дает множитель (4п/3). Подставляя вместо /о распределение Максвелла ((2.3) с и (г) = О) и переходя от переменной интегрирования о к х= тоо/2НТ = е/йТ, получим 407 з 51 ЭЛЕКТРОИЫ ПРОЕОДИМОСТИ В КРИСТАЛЛŠ— усредненное с определенным весом значение времени релаксации. Если время релаксации т от скорости и (т. е. от х) не зависит, то, как это следует из (5.28), <т>=т (см. Приложение 3). Для определения подвижности электронов в случае их рассеяния на ионах примеси необходимо в выражении (5.19) заменить она х и подставить его в (5.28).
Так как аргумент логарифма в (5.19) зависит от х, точное вычисление интеграла (5.28) затруднительно. Для приближенного расчета можно воспользоваться тем, что логарифм — медленно меняющаяся функция (если квадратичное слагаемое в нем много больше единицы) и, следовательно, его можно вынести из-подзнака интеграла, положив в нем х=<х>='/,. В результате мы получим для подвижности: е 8 Р'2х~т ПЯТ) !' 1 ЛО !Л !+( ) тсг Т 'и 'ггзТ ч'х ч*. (5.30) Из (5.27) следует, что в этом случае подвижность ислТ ', что тоже в простейших случаях подтверждается на опыте. В случае металлов, когда электроны проводимости сильно вырождены и подчиняются статистике Ферми, удобнее под функцией распределения 1, понимать среднее число электронов в ячейке фазового пространства объема й' (как это мы делали в гл.
1Х). Тогда интегрирование по Ыч! в (5.24) надо заменить интегрированием по квантовым состояниям: 2 — „, =2( — „) де (5.31) (двойка из-за спина). Переходя далее в интеграле (5.24) от переменной интегрирования и к е=тп'72, получим для электропроводности: Ф !6 Р'2л е~т ~~~, ( ) ( ото) б 1 (5 32) О Таким образом, при рассеянии на ионах примеси подвижность и пропорциональна Т™ (если пренебречь логарифмической зависимостью), что хорошо подтверждается для полупроводников на опыте при низких температурах, когда этот вид рассеяния становится доминирующим. При более высоких температурах для атомных полупроводников рассеяние определяется в основном взаимодействием с акустическими колебаниями; в этом случае время релаксации равно (5.20) и, следовательно, 403 основы тяовии навлвновесных пгоцяссов [гл.
хь В нулевом приближении по вырождению (1Х; 2.33) —,' =5( -ре), д!а (5.33) где р,— химический потенциал электронов при абсолютном нуле температуры. Подставляя (5.33) в (5.32) и интегрируя, получим леа о= — т(р,), где для множителя р,~* было использовано явное значение (1Х; 2.37). Если электроны проводимости в металле рассеиваются в основном на акустических колебаниях решетки, то их время релаксации равно (5.20). Легко видеть, что в этом случае удельное сопротивление р=1/а слэ Т.
Эта зависимость достаточно хорошо подтверждается для металлов на опыте при температурах выше дебаевской. При температурах много ниже дебаевской рассеяние электронов не происходит упруго. В этом случае нельзя ввести время релаксации и решение кинетического уравнения сильно усложняется. Можно показать'), что в этом случае удельное сопротивление р сло Ть, что тоже достаточно хорошо подтверждается на опыте.
ь) Г. Бете, А. 3 ом мер ф ел ад, Электронная теория металлов, 1Ы.— Л.. 1938. й 37. Приложения Приложение 1 Если разделить почленно первые 2з — 1 уравнений (1; 2.13) на последнее уравнение Ир~ д~(д, р/ (П1.1) Ш= дд, то дифференциалы времени й сократятся, и мы получим 2з — 1 равенств: (П1.2) Эта система 2з — 1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно 2з — 1 неизвестных функций Чм, Ч„р,..., р,, от независимого переменного р, имеет решение д,=д,(р„с„с„..., с,), 4,=4,(р„с„с„..., с„,), р,=р,(р„с„с„..., с„,), (П!.3) р,,=р,,(р„с„с„..., с„,), зависящее от 2з — 1 постоянных интегрирования фф..., С Решая (П1.3) относительно величин Сь получим р,(р„д„..., /„р„..., р,,)=с„ (П1.4) ~м,(Р„,/„..., д„Р„..., Р,,) =С„, или ~р;(д, р)=-С, (1=1, 2, ..., 2з — 1), (П1.5) дч1 дЯ/др1 др, дЯ/дд др1 д,Я/дд1 др дЯ/дч, ' т. е. 2з — 1 интегралов движения, дч, дЯ~/др~ др, дЯ/дд, ' др 1 д~/дд ~3~г дЯ~/дчю 410 пгнложзння Последний интеграл движения, линейно зависящий от времени, может быть получен из (П!.1): 3 дЯ1дч (П1.6) Подставляя в (дЯ~!дд,) значения д„..., д„р„..., р,, из (П1.3), получим в правой части (П!.6) интеграл по р;, после выполнения квадратуры и подстановки вместо всех С; значений '(П!.4) получим !+С„= р„(д, р).
(П1.7) Интегралам (П1.5) соответствуют 2з — 1 поверхностей в фазовом пространстве; их пересечение определяет фазовую траекторию. Соотношение (П1.7) определяет движение фазовой точки вдоль фазовой траектории. В общем случае изображающая фазовая точка движется вдоль фазовой траектории с неравномерной скоростью. Приложение 2 Докажем теорему Лиувилля другим, более прямым способом. Обозначим обобщенные координаты д; и сопряженные импульсы р, системы с з степенями свободы через Я„Я„..., Ям. Пусть в начальный момент времени изображающие точки ансамбля не- прерывно заполняют в Г-пространстве объем Г, = ~ ...~ Ц; (а;...Ц„.
(П2.1) з, Здесь Я1 — начальные координаты и импульсы систем в момент г=0, В,— некоторая многомерная область интегрирования в Г- пространстве. В некоторый момент времени ! ) 0 те же изображающие точки ансамбля, описав некоторые фазовые траектории, заполняют объем Г,= ~...) сЩ,Щ...НЯм, (П2.2) в, где Я; — координаты и импульсы систем в момент времени Г. Докажем, что Г,=Г„, (П2.3) т. е: объем, занимаемый изображающими точками ансамбля, при движении системы не меняется (теорема Лиувилля). Интегрирование уравнений Гамильтона (1; 2.13) дает (~ =7' ((~а да д', 1) (1= 1 2 2з) (Г12 4) Очевидно, что ();=" — „" =~р (();, д,", ..., ф„1). (П2.5) 411 пгиложеиия (П2.9) Из теории определителей известно'), что д— „=( — 1)"'Ом=Ам (П2.11) где О, — минор определителя О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
