Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Решая (4.34) относительно Л1, получим ! ! 1+0,92(5/ха)' (4.37) 1 — 0,92 Я/хе)а ' где использовано значение г (4.36). Из этого выражения следует, что чем меньше (9/х,)а, т. е. чем более «аномально» начальное неравновесное состояние системы, тем меньше «время релаксации» И. Разлагая логарифм в (4.37) в ряд, получим 1,85($)а откуда видно, как изменяется Лг при достаточно малых значениях (еь/хь) . Перепйсывая (4.25) в виде Ха=за+(Ха «в 9«)Е *"', (4.39) 346 (гл. х елуктулции и вглуиовсков движвнив равновесному состоянию, для которого его энтропия имеет макси- мальное значение.
Мы видим, что при больших временах наблю- дения брауновский вибратор ведет себя необратимым образом. в 5. Корреляционная функция и спектральное разложение для стохастических величин ') 1. Рассмотрим ту часть ускорения брауновской частицы Х (1) = — г' (1), (5.1) которая обусловлена нерегулярной частью проекции силы г (г), изображенной на рис. 68, в. Ускорение Х(1) (5.1) и любая другая стохастическая величина, связанная с нерегулярностью теплового движения молекул, обладает тем же характером поведения, что и сила г (1).
Очевидно, что для стохастической величины Х (1) Х(С)= 1пп — ) Х(г)г(г=О, г о г Хэ(1)=1(ш — '! Ха(г)г(!=сопл( >О. ,„„т в (5.2) (5.3) В действительности нет необходимости в правой части (5.2) и (5.3) переходить к пределу Т вЂ” оо, †достаточ считать Т >)т„, где т„ †вре релаксации теплового движения молекул, введенное нами в р 3 (стр. 334) (в случае жидкости тм ж 10 ге сея). В силу независимости членов статистического ансамбля (например, отдельных брауновских частиц), аналогичной некоррелированности стохастической величины в моменты времени, разделенные промежутком, много ббльшим т„, средние (5.2) и (5.3) можно понимать и как средние по ансамблю.
В этом случае Х = Хпг(Х) и Х' =. 'Я Хаги(Х), х где нг(Х) †вероятнос системе в ансамбле иметь определенное значение Х. Рассмотрим среднее по времени (или по ансамблю) произведения Х(1) Х (!'). При !' =1 это среднее равно (5.3). Чем больше разность времени ~ 1' — 1 ~, тем с ббльшим основанием можно считать Х(1) и Х(1') статистически независимыми, поэтому вэтом случае Х (г) Х (1') = Х (!) Х (!') = О, как это следует из (5.2). ') Прн наложении этого параграфа мы следуем книге: и. Вес нег, Тьеог!е аег Магоге, Ьрг!паег-уег!аа, 1964. 4 51 когваляцноннля вункцня для стохлстичвских величии 347 В общем случае можно ввести величину Х (1) Х (г') = С (1' — г'), (5.4) называемую функцией корреляции, которая определяет степень статистической независимости величин Х(1) и Х(1').
Усреднение в левой части (5.4) можно представить себе либо по времени: 1 Х (1) Х (г') = Х (0) Х (т) = 1пп у— ) Х (г) Х (1+ т)Ж, (5.5) о где мы положили 1'=г+т, либо по ансамблю ХХ' = Х (Х + ЛХ) = чР„иг (Х) Х (Х+ ЬХ), х где Х' = Х+ ЬХ. Функция корреляции может быть также определена для стохастических величин, зависящих от координат пространства; в этом случае )' (г ) )' (г') = С ( ( г — г' 1), где функция корреляции С()г — г'1) определяет степень стати- стической независимости величин )', относящихся к разным точкам пространства.
Из (5.4) следует, что С (0) = Хв (1) сопл(, 1пп С ( — 1) = О. (!'-гг о 2. Применим корреляционную функцию к изучению браунов- ского движения свободной частицы. Уравнение Ланжевена (3.10) запишем в виде — „= — ри+ Х (1), (5.9) где о х, ))=1)пгВ и Х(г) равно (5.1). Интегрируя дифференциальное уравнение первого порядка (5.9), получим') о (1) = о,е Р' + е М ) Х (9) езгс$, (5.10) о где ив =и(0) — скорость в момент 1=0. Возводя (5.10) в квадрат и усредняя по статистическому ансамблю, получим оа (1) = ото 'Рг-(- е Н' ~ ~ Х ($) Х ($') еа го+4 ' г(~ г(9', (5.11) во ')В.
И. С м и р ко в, Курс высшейматематики,т. И, л1.— Л., 195!,стр. 19. 348 [гл. х ФЛУКТУАЦИИ И БРАУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ где учтено в соответствии с (5.2), что с сс,е- Вс ~ Х Д) еы с(Ц 0 о (среднее по ансамблю совпадает со средним по времени). Вводя функцию корреляции (5.5), получим нз (5.11): с с ос(с) осе-свс+е-свс ~ ~ С($ $) ее сеАе>с(ассе (5 13) о о Если ввести новые переменные интегрирования в=5' — $, сс=5'+$, то с(Щ' — — с(вс(м и интеграл в (5.13) равен гс О О (5.14) — ) е'" с(и ') С(в)с(в= — (еим — 1) ) С(в)с(в, (5.15) где, ввиду быстрого убывания функции корреляции С(в) при увеличении в, пределы интегрирования по в были расширены от — со до со.
Отсюда и из (5.13) следует: ос (1) = о1 е см+ „~ С (в) с(в. (5.16) -Ф Для 1 — со все величины стремятся к своим равновесным значениям, поэтому, как следует из теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы, 11ш о'(1)=йс /ссс. с в Из (5.16) и (5.17) следует, что при 1 — со С(в) с(в = —. 2УЬ с т О (5.18) Здесь учтено соотношение (5.12). Так как выбор начального момента времени 1=0 произволен, то из (5.19) следует, что о (1) о (1') = о (1') е а 1 с-с'1. (5.20) Корреляционная функция для скоростей следует прямо из выражения (5.10), если умножить его на о, и усреднить по ансамблю частиц: о(с)о,=осе М.
(5.19) 2 51 когяяляцнонноя фянкцяя для стохостичяских вяличнн 349 Корреляционная функция зависит только от разности аргументов, поэтому Ф (1') от 1' не зависит и равно равновесному значению й77(т: имеем о(с) о (с,) "Т е-З1с-с С. (5.21) Используя это выражение, можно определить значение х' (3.20). Координата с х= ) о($)с$, о (5.22) где пределы интегрирования по э можно положить равными -+- оо, если ~Г>) 1 (в этом случае мы отбрасывали экспоненциальный член в (3.19)). Интеграл О <о ~ е-Р Н! с(э= 2 ~е-асс(з (5.25) поэтому хс= — 1=2влс -1 — 2СсТ сор (5.26) что совпадает с (3.20). 3. Введем понятие о спектральном разложении стохастической величины и установнм его сВязь с корреляционной функцией.
С методической точки зрения удобно считать, что стохастическая величина Х (1) отлична от нуля только в пределах большого, но конечного интервала времени б, так что Х(с)=0, когда 1(0 и 1>д (5. 27) (в конечных выражениях мы можем положить б — оо).
Представим стохастическую величину Х(1) в виде интеграла Фурье: ОР Х (1) = = ) А (со) е ' с(со. )с 2 15.28) если положить х(0)=0. Возвышая это равенство в квадрат и усредняя по ансамблю частиц, получим с с х'=) ) о($)о($')спасся'= — ') ') е а~~ ~~ЩИ', (5.23) о а о о где было использовано (5.21).
Вводя переменные интегрирования (5.14), получим ос ОР ха о.Т( с(п ( е-В~сС с(з — оТ с ( е-В~с1с(з (5.24) 2т,с,с сп о Р В 350 (гл. х ФЛУКТУАЦИИ И НРАУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Так как физическая величина Х (Г) вещественна, то А ( — в) = А * (в), где А* означает величину, комплексно сопряженную с А. Используя (5.28) и (5.29), получим м Ф Ф Ха(1) еЦ= — ( еЦ Г св ( е(в'(А(в)е™Аа(в')е '~')= 2н,) м м Ф м О Ю м = ~ дв ) йо'(А(в)А*(в') Ь(в — в') )= ') )А(в))айо„(5.30) (5.29) где использовано следующее представление дельта-функции'): 6(в — в') = — ) еин-н'1'й. 1 2н Ф (5.31) Разделим обе части равенства (5.30) на б и перейдем к пределу: ° О м Вш — ~ Ха(1)й= ~ 1йп ~ — ~А(в))а1йо, (5.32) о О -м о где было использовано, что ~ А ( — в) )а = ) А (в) )а, (5.33) как это следует из (5.29).
Соотношение (5.32) может быть записано в виде (О Ха (1) = 1 Хя Ьо, о (5.34) где ХЯ = 1пп ~ — )А (в))а~. (5.35) ') Л. Д. Л а н д а у н Е. М. Л н ф ш н ц, Квантовая механнка, М., 196З, формула (! 5.7). В функции корреляции С (т) = Х (1) Х (1+ т) (5.36) усреднение может быть выполнено по времени Г при фиксированном т или по ансамблю при фиксированных т и г. Установим связь между Хн и С(т). В 51 коггнляционная оункция для стохастичиских вкличин 351 Воспользовавшись разложением (5.28), получим Ф ) Х(1) Х(1+т)с(1= — ') А(в) А*(в')е'1~ ~''е омтс(гйоцв'= ~ ) А (в) 1зе-овес(в, (5.37) Ф если воспользоваться определением 6-функции (5.31).
Далее: о и ) ) А(в) )эе-'"'йо+ ~1А (в) 1эе-' тйо = Ф о О =) ( А(в) ~э(е'"т+е-г"т)йо= ~ 2! А(в) (э соя втйо. (5.38) Разделив обе части равенства (5.37) на 0 и переходя к пределу б — оо, получим, если воспользоваться (5.35), (5.38) и (5.35): Ю С(т) —.— ~ Хз соз второ. (5.39) Из (5.39) следует: ь С (О) = Х' (1) = ~ Хз йо, о (5.40) что совпадает с (5.34). Обращение (5.39) дает: Ю Х„= — ) С(т) соз ать. г О (5.41) ') Для этого должно выполняться условие квааистационарности флуктуационного тока, т. е. его частота в « с/Е, где с=3 1Оэе сл/сек — скорость света, Г. — длина замкнутого линейного проводыика (если ь = ЗО сл, то в«10есек-э), Соотношения (5.39) и (5.41) устанавливают связь между корреляционной функцией С(т) и спектральной характеристикой сто- 2 хастической величины Х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
