Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 54
Текст из файла (страница 54)
12) с химическим потенциалом, равным (ЧП1; 1.30). Тем самым устанавливается соответствие между квантовыми распределениями, учитывающими неразличимость частиц и принцип Паули, и классической статистикой. Отступление в поведении бозе- и ферми-газов от классического максвелл-больцмановского получило название вырождения '). Из (2.12) видно, что химический потенциал р определяется не только как производная по числу частиц от термодинамических потенциалов (гл. Ч!П, й 1), но и как нормировочная константа распределения Максвелла — Больцмана. В случае распределений Бозе (2.9) и Ферми (2.11) химический потенциал р тоже может быть определен из условия нормировки (2.2): ~~ь па= ~,„~ = Ж, (2.13) е в где верхний знак соответствует статистике Бозе, а нижний— Ферми. Рассмотрим более подробно, как определяется химический потенциал из (2.13).
2. Для идеального одноатомного газа число квантовых состояний иа интервал энергии (е, в+с(е) согласно (1П; 1.20) равно й(е)с(в = „, )lеИес аУ)Iе де. (2.14) По сравнению с (П1; 1.20) здесь дополнительно учтено вырождение, связанное с (2Е+1) ориентациями спина частицы. При отсутствии ') Не следует смешивать понятия вырождения в статистической финике с вырождением (кратностью состояний) в квантовой механике, 286 [гл. зх статистики зове и озона Из (2.13) и (2.!4) следует: 1~з оо е(з-л)зо ~ ! о (2.16) где л='г))Ч вЂ” концентрация частиц. Так как интеграл в (2.16) зависит от )з и О, то химический потенциал р=р(л, О). Рассмотрим вначале малые поправки к классическому выражению для химического потенциала (ЧП1; 1.30), обусловленные применением статистик Бозе и Ферми (слабое вырождение). Мы предполагаем теперь, что активность (ЧП1; 1.31) А ел(о ~(1 (р ( О) (2.17) однако не пренебрегаем единицей в знаменателях распределений (2.9) и (2.1!) (что привело бы нас к классическому распределению (2.12)).
Подставляя (2.17) в левую часть (2.16) и разлагая подннтегральное выражение в ряд по Аехр( — з/О), получим з Ф О где- !аз:з ез з= А) е-з)о [1 ~Ае-мо+...) )~ е о(з= (!/4) зззо~ ! ! х Аз з/о о о о з = АО" ) (к'х е " ~ А )"х е з" +... ~ з(х = о А = АО~~ —" ~1~ — +.
"~ 2 ~ 2з/з Таким образом, (2.18) Учитывая, что второе слагаемое в квадратной скобке †мал поправка, получим в нулевом приближении з' лов (2з+ !) (2лоза) если заменить а его значением (2.15). Это выражение при з=О совпадает с активностью классического газа (ЧП1; 1.31). внешнего магнитного поля этим (2з+1) ориентациям соответствует одна и та же энергия частицы. Величина а равна 4 ~~'2 лозз!з (2з.» В (2.15) )зз 287 в 2) РаспРеделения вози и ФеРми Подставляя в следующем приближении в поправочный член в квадратной скобке (2.!8) вместо А значение А„получим Из (2.20) и (2.17) следует: )5=0 [1п А,+ 1п(1 =р —,,",)1 жО ~!пА,Т- —,',~ . (2.21) Таким образом, в случае слабого вырождения химический потенциал бозе-газа меньше, а ферми-газа больше, чем для классического газа.
Так как классическое (или слабо вырожденное) состояние газа определяется условием (2.17): А(<!,то можно считать, что вырождение наступает тогда, когда активность А становится равной единице. Полагая в этом случае А =А,'), получим для критерия вырождения: (2.22) (25-1-1) (2лягв]5~5 Мы видим, что вырождению газа способствует высокая концентрация п, низкая температура О и малая масса частиц т.
Из (2.22) можно определить температуру вырождения: О,= — п1 дэ 1 1 Д' — — И515. лг (25+!) 2л ж Ь (25+1)ыа Р' 2люО (2.23) равную по порядку величины де-бройлевской длине волны частицы, движущейся со средней «тепловой» скоростью (импульсом) ') Строго говоря, А=А, только в случае А((1; однако для оценок можно положить А=Аэ и при А=!. Мы увидим ниже, что такая оценка границы вырождения получается (с точностью до численного коэффициента) и в том случае, если экстраполировать от сильно вырожденного состояния. Если температура газа 0>)0„ то он подчиняется классической статистике; если 0~0„то газ вырожден.
Для всех молекулярных газов прн всех температурах и концентрациях, при которых его можно рассматривать как идеальный, А,~~1, т. е. эффекты вырождения очень малы; во всяком случае они гораздо меньше явлений, связанных с неидеальным поведением газов. Однако для электронов проводимости в металлах вырождение играет существенную роль при всех температурах, вплоть до температуры плавления (см. 28, п. 1). Критерию вырождения (2.22) можно придать наглядный смысл. Введем длину волны 288 э 2! РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗИ И ЕЕРМН В случае атомов Не', к которым применима статистика Бозе, при концентрации и, соответствующей жидкому гелию с плотностью 0,12 г!Смз (когда гелий, вообще говоря, не ведет себя подобно идеальному газу), температура Т,=Очей=3,13 'К. Что будет происходить с газом при 0(0,Р Из-за условия. (2.26) и требования )з(О химический потенциал будет оставаться равным нулю.
На рис. 59 схематически изображена зависимость химического по- Рз тенциапа от температуры вблизи точки О,. При температурах 0(0, (когда ла Р=О) равенство (2.27) не выполняет- о У ся ни при каком значении п=*л)Р. Так как полное число частиц М и объем и' заданы, то это обстоятельство на первый взгляд кажется противоречиРис. 59. вым. Это кажущееся противоречие было разрешено Эйнштейном (1925 г.). Легко видеть, что при 0(0з равенство (2.27) может выполняться только при меньших значениях концентрации п'(л (или Ф'(й(). Это имеет следующий физический смысл: выражение (2.14) не учитывает дискретности энергетических уровней и, в частности, для основного уровня е=О дает число состояний д(О) =О; в то же время при понижении температуры частицы начинают скапливаться на основном уровне е=О.
Это обстоятельство не учитывается в выражении (2.27). Таким образом, число частиц Ф' с энергией е ) О при 0 < О, определяется выражением (2.27), т. е. и Ф )У =й)~,>з — п ~ ~;" = Ром*~~"'",=М( —,) ~, (2.30) з е если использовать (2.28). Нижний предел интеграла можно положить равным нулю, так как частицы на основном уровне е=О автоматически не учитываются из-за наличия множителя )' е в плотности состояний д(е). Число остальных частиц с энергией в О равно (в')м 1 (2.31) т) В литературе оно часто называется нонденсзнней Бозе — Эйнштейна. Отсюда видно, что при 0=0 все частицы скапливаются на основном уровне Н=О, а при 0=8, число их на основном уровне становится равным нулю. Это явление мы будем называть конденсацией Эйнштейна').
Конечно, в данном случае имеет место не обычная конденсация, т. е. переход газа в жидкое состояние, а своеобразная 290 (гл. ах СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ ) 6(е — р»)йе= — ') ( — ) йе= — ') й/(Б)=/(0) — /(со)=1. (2.34) в о о Интеграл в (2.32) может быть преобразован интегрированием по частям: ОЭ О ') /(ея е ае = з ) /(е) йем~ = з /(е) е в в И О вЂ” ч ') м' (д~(.) Ъ = ч ) '~' ( — ~~) йа (2.35) «конденсация» в пространстве импульсов, при которой в газовой фазе происходит накопление покоящихся частиц (е=р»/2т=О).
Очевидно, что при О>>6, газ ведет себя как классический; наоборот, при 6(О, имеет место вырождение. Мы видим, что температпура эйнштейновской конденсации О, (2.29), с точностью до численного множителя порядка единицы, совпадает с температурой вырождения О, (2.22а). 4 Для ферми-газа, нак это следует из (2.16), О (2.32) о «( -»ив+1 Выражение (2.21) дает поправку к химическому потенциалу ферми- газа (нижний знак!) при слабом вырождении. Рассмотрим теперь случай сильного вырождения, когда химический потенциал положительный и р>)6.
В этом случае функция распределения Ферми /(е) имеет вид, изображенный на рис. 60. Для энергий е«ф функция распре-д«деления /(Б)ж1; вблизи е=р она экспоненциально спадает, уменьшаясь до очень малых значений в интервале порядка О (при е=р /(р)='/»). На рис. 60 изображена и производная — (д//де), имеющая острый максимум в точке е=р. При 6 0 1 распределение Ферми /(е) при- нимает форму прямоугольника, а РФ Рис. 60. (де)в —— 6 (е — Р«), (2.33) гд/х где 6(х) — дельта-функция, р,— значение химпотенциала при 6=0. Как это и должно быть для б-функции, 291 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЗЕ И ФЕРМИ Здесь внеинтегральное слагаемое исчезает, так как 7(е) экспоненциально стремится к нулю при е — ОО, а множитель ео/о равен нулю на нижнем пределе. Если р >) 8, то в нулевом (6-функционном) приближении (2.35) равно з ) е 6(' р )"'= з р' о (2.38) Подставляя это выражение в (2.32) и используя значение а (2.15), 1 получим для химического потенциала электронов (2е+1 = 2 — + 2 + 1=2) при абсолютном нуле температуры: (2.37) Это выражение для р, может быть получено следующим простым способом (Я.
И. Френкель, 1928 г.). Согласно принципу Паули, в каждой ячейке объема й' не может помещаться больше двух электронов с противоположно направленными спинами. Из-за этого даже при абсолютном нуле температуры все электроны не могут иметь энергию е=0 (как это имеет место для бозонов). Из соображений симметрии ясно, что при 8=0 электроны в пространстве импульсов заполняют сферу некоторого радиуса р,. Объем соответствующего фазового пространства равен Р'. (4/3) пр,*. Так как число квантовых состояний, соответствующих этому объему, должно равняться полному числу электронов Ж, то (2.38) (2.40) где двойка учитывает спин электрона (два состояния в ячейке Ьо).
Очевидно, что р, совпадает с максимальной энергией е„ (энергией ФерлАи), соответствующей импульсу р„т. е. если воспользоваться (2.38). Мы видим, что (2.39) совпадает с (2.37). Определим химический потенциал р сильно вырожденного электронного газа в следующем приближении, когда он начинает зависеть от температуры. Для этого необходимо более точно (не в 6-функционном приближении) вычислить интеграл 8 31 тевмодинлмические свойствл воза- и евами-глзов 293 $ 3. Термодинамические свойства бозе- и ферми-газов 1. Рассмотрим некоторые свойства бозе- и ферми-газов при слабом и сильном вырождении.
Для этого удобно воспользоваться 11-потенциалом большого канонического, множества. Из (2.4) следует: ч»„„ш~; = 1 = ео)е чР П е(е- «) лл ) е и,) ел л (3.1) где произведение берется по разным квантовым состояниям Й а суммирование — по числам заполнения квантовых состояний ал Отсюда И= — 8!пД ~е"' '"'") = — 8,~Е!п! ~ е'" '"'"")~) (32) л л л ~ел Из (3.2), (2.8) и (2.!0) следует: () = ~ 8 ~ 1п (! -)- е)е л ))е) (З.З) Ю () = л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
