Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 53
Текст из файла (страница 53)
И. Б л о х н н не в, Основы квантовой механики, М., 1963, гл. Х1Х, 281 ЗАТРУДНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ симметричной, во втором случае — антисимметричной. Как показывает опыт, системы частиц, обладающих целым спином (з=О, 1, 2, ...), описываются симметричной волновой функцией, в то время как системы частиц, обладающих полуцелым спином(а=172, 3!2, ...),— антисимметричной волновой функцией. К числу частиц первого рода относятся фотоны (а=1), и-мезоны (З=О), К-мезоны (З=О), к числу частиц второго рода — электроны (а=112), протоны (З=1!2), нейтроны (я=! /2) и их античастицы.
Пользуясь теорией относительности, Паули показал, что это правило может быть обосновано теоретически '). Частицы первого рода, подчиняющиеся статистике Бозе, называются бозонами, частицы второго рода, подчиняющиеся статистике Ферми,— фермионами. Если сложная частица, например атом водорода, ядро Не' или а-частица, может в данном круге явлений рассматриваться как элементарная (неизменная), то характер волновой функции такой частицы определяется числом входящих в нее фермионов. Если это число четно — волновая функция симметрична, если нечетно, то антисимметрична. В самом деле, рассматривая волновую функцию системы как зависящую от координат всех элементарных частиц, входящих в сложную частицу, легко убедиться в вышесказанном, если последовательно переставлять координаты элементарных частиц, входящих в сложную, и следить при этом за изменением знака волновой функции.
Таким образом, атом водорода и сс-частица — бозоны, а Не' — фермион. Мы можем из (1.3) сконструировать как симметричную, так и антисимметричную волновые функции, удовлетворяющие уравнению Шредингера. В самом деле, составим из (1.3) симметричную сумму отдельные слагаемые которой получаются из (1.3) посредством всех возможных )у) перестановок Р аргументов 1, 2, ..., У. В такой сумме имеются два слагаемых вида + ( ° ° ° срас(с) ° ° ° с)сав(7е) ° ° ° )+ ° ° ° + [ ° ° .
сРсс,(м).. ° с(>аа(1) )+ в которых все остальные множители в квадратных скобках одинаковы. При перестановке 1 й оба слагаемых поменяются местами, но сумма (1.5), т. е. волновая функция Ч'а, останется без изменения. Так как уравнение Шредингера линейно, то сумма (1.5) тоже удовлетворяет ему, при том же собственном значении энергии (1.4). Для того чтобы построить антисимметричную волновую функцию, надо в (1.5) слагаемые, полученные в результате нечетного ') В.
Паул н, Релятивистская теория влементарнмк частиц, ИЛ, 1947. 282 [гл. !х статистики вози и ФКРми числа парных перестановок аргументов 1 л, взять со знаком минус. Таким образом, антисимметричная волновая функция Чтл(1, 2,, У)=~ч~( — 1) ) Ртф (1) ф„,(2)...чР„(А)), (1.6) где [Р~ — число парных перестановок аргументов, соответствующих заданной перестановке Р. По определению'), (1.6) — определитель вида "та, (1) чра, (2) ° ° ° чра, ()))) ч .(1) ф .(2) ф .(А)) Ч"„(1, 2, ..., У)= (1.7) то.„( ) зра „(2) ° ° ° Ч!а (~) Перестановка координат пары частиц соответствует перестановке двух столбцов определителя, который, как известно, меняет при этом свой знак.
Если положить и;=оса, то две строки определителя окажутся одинаковыми и, следовательно, он равен нулю, т. е. Ч"л=О. Таким образом, в системе невзаимодействующих тождественных частиц, описываемых антисимметричной волновой функцией вида (1.7), две частицы не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии (принцип Паули). Конечно, в разных атомах электроны могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Для того чтобы действовал принцип Паули, необходимо, чтобы волновые функции электронов существенно перекрывались ').
Можно показать, что в системе не могут происходить переходы между симметричными и антисимметричными состояниями. Если система описывается симметричной или антисимметричной волновой функцией, то она всегда будет оставаться в этом состоянии '). 9 2. Распределения Бозе и Ферми 1. Выведем статистические распределения Бозе и Ферми для идеального газа и рассмотрим их основные свойства. Распределения Бозе и Ферми могут быть выведены комбинаторным путем4), из каноническогораспределения') и из большого канонического распределения.
Мы воспользуемся последним способом, который представляется нам наиболее простым. ') В. И. С и и р н о в, Курс высшей математики, М., 1953, т. П!, ч. 1, 4 1, раздел !. ') Д. И. Б л о х и н н е в, Основы квантовой механики, М., 1968, стр. 465. з) Там же, стр. 469. ч) Приложение 8. з) М. А. Л е о н то в н ч, Статистическая физика, М.— Л.,!944, Я 51,59. 283 й 2) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЗЕ И ФЕРМИ Будем исходить из большого канонического распределения (ЧП1; 1.34): пепи-Е»П цу е е (2.
1) Здесь га„гг — вероятность того, что система содержит ))1 частиц и находится в 1-м квантовом состоянии с энергией алг. Рассмотрим идеальный газ тождественных микрочастиц (электронов, фотонов, атомных ядер, атомов). Пусть в одночастичном й-м квантовом состоянии, которому соответствует энергия частицы е»'), имеетея и» частиц. Тогда у = ~~р ~и», Е.ап = ~ е»п», где суммирование ведется по всем квантовым состояниям й. Таким образом, в случае идеального газа величины й( и блл определяются набором чисел п». В случае идеального одноатомного газа в сосуде объемом )г=1.» одночастичные квантовые состояния й определяются набором чисел п„п, и п„(П1; 1.14, 1.15).
В квазиклассическом приближении (большие квантовые числа и,) квантовое состояние определяется в )»- пространстве ячейкой объема й', где й — постоянная Планка (П1; 1.20). Для электронов в атомах одночастичные квантовые состояния определяются главным квантовым числом и, азимутальным 1 и магнитным т. Для полного определении состояния микрочастицы необходимо еще задать четвертое квантовое число е, определяющее проекцию собственного спина частицы (в единицах Ь) на выделенное направление.
Например, для электрона з имеет два значения: +'), и — '),. Число различных спиновых состояний равно (2з+1); прй отсутствии магнитного поля и взаимодействия частиц все они по энергии вырождены. Подставляя (2.2) и (2.3) в (2.1), получим а ~ Х(р — е„) л, 1 а (и-е») л» га,.=е" ехр » (2.4) АГ= ( В ~=ее Пе е ( ) где произведение П берется по всем квантовым состояниям й. Мы видим, что вероятность того, что в каждом квантовом состоянии й находится заданное число частиц п», равна произведению множителей, каждый из которых зависит только от числа частиц ') Мы нормирусм энергию е» так, чтобы для осноеного (наиннашего) состояния она была не отрицательна. 284 [гл. ~х СТАТИСТИКИ БОЗЕ И ФЕРМИ где нормировочная константа С определяется из условия (Б-е ) л„ ~~~~в(пй)=С~~'.,е " =1.
лй и„ (2.6) Здесь суммирование ведется по возможному числу частиц и» в заданном квантовом состоянии уе. Среднее число частиц в )е-м квантовом состоянии равно (И-ей) и„ п~=~пйю(п~)=С~п е лй й (и-ей) лй (и-ей) и '1 (и-е ) лй )=е — '! л ° .(27~ д~А лй лй ,лй Для бозонов число частиц в заданном квантовом состоянии может принимать любое значение, т. е. пй = О, 1, 2, 3, В случае фермионов, для которых должен выполняться принцип Паули, пй = О, 1. Таким образом, для частиц, подчиняющихся статистике Бозе, (И-е ) л„ И-ей Б-ей ~Р,е е 1-1-е Б -1-е Б (2.8) /р — е,~ Эта геометрическая прогрессия со знаменателем ехр ~ В ) схом — е„1 -е дится только при )е (О (Бй > 0) и ее сумма равна ~1 — ехр— Подставляя это выражение в (2.7), получим распределение Бозе: г 7 Бей~ пй — =~(ей)= — 0 — ~ 1п 1,1 — е Б ) ~=, „(2.9) е — ! Для фермионов (Б-ей) лй в л„=е, ~ 1+е (2.10) в этом состоянии.
По теореме об умножении вероятностей (1; 4.27) отсюда следует, что вероятность того, что в состоянии )е находится пй частиц, равна (И-ей) л, (п)=се Б (2.5) 285 з 2! РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВИЗЕ И ФЕРМИ Подставляя это выражение в (2.7), получим распределение Ферми: и-ее ') па=~(еа)=йу ~!п(1+я е )1 =, — и (2 !!) и Мы видим, что распределение Ферми (2.11) отличается от распределения Бозе (2.9) только знаком перед единицей в знаменателе. Заметим, пока чисто формально, что при отрицательном и большом (по абсолютной величине) значении химического потенциала р можно в (2.9) и (2.11) пренебречь в знаменателе единицей по сравнению с ехр !(ее — р)/0) и распределения Бозе и Ферми переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана и- еа 7(еа) =е е (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
