Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(4.26) Если событие, связанное с появлением Х = хо никак не связано с событием появления У= ум то они называются сталтистически независимыии. Простейшим примером таких событий является число очков, выпадающих при последовательном бросании игральной кости (нли одновременном бросании нескольких костей). Если предельное число испытаний равно У, число случаев, когда Х=хо равно п(х,), доля числаслучаев, когда У=ул, равна п(ул)/У, то вероятность того, что Х=-х; и У=у„, равна в(хо у„)= — ~п(х;)Х вЂ” "~ =в,(х~) в,(ул), (4.27) где гв,(х;)=я(х;)/М вЂ” вероятность того, что Х=хь а в,(у„) = п(у,)(М вЂ” вероятность того, что У = ул (теорема об умножении вероятностей для статистически независимых событий).
При непрерывном т. е. равна сумме соответствующих вероятностей (теорема сложения вероятностей). Аналогично вероятность того, что Х, изменяющаяся непрерывно, имеет значение, лежащее между х, и хм равна 30 введение изменении Х и У' (4.27) имеет вид в(х, у)=и,(х) в,(у), (4.28) где ю (х, у), и, (х) и в,(у) †соответствующ плотности вероятностей. Если, например, в объеме У движутся две невэаимодействующие частицы, так что независимые вероятности обнаружить их в объеме о равны (4.9), то вероятность одновременного обнаружения обеих в объеме о равна (4.29) Можно сделать и обратное заключение: если имеет место (4.27) или (4.28), то соответствующие события статистически независимы. Если функция 7(Х, У)=1,(Х) 1,(У) и обнаружение определенных значений Х и У статистически независимы, так что вероятность ю(х, у) имеет вид (4.28), то 7" (Х, 1')=1,(Х) ЯУ) = ~~1,(х)1,(у)ю, (х) и,(у) Нхйу= =~1,(х)в,(х)дх ~~,(у)в,(у)йу=1,(Х) (,(У), (4,30) т.
е, среднее от произведения статистически независимых величин равно произведению их средних. 4. В статистике часто возникает вопрос: с какой точностью значение 1 (Х) =7 характеризует наблюдаемые на опыте значения 7(Х)=1? Очевидно, что в отдельных случаях 1 может очень сильно отклоняться от 1, поэтому нас интересует мера среднего отклонения 7' от ~. Среднее значение отклонения ) от его среднего значения 1 равно поэтому не может являться мерой среднего отклонения 7' от своего среднего значения. Равенство нулю б7 связано, конечно, с тем, что отклонения 1 от своего среднего значения в одну и другую сторону встречаются, при случайных отклонениях, одинаково часто.
За меру среднего отклонения 1' от 1' выбирают обычно величину (л~)* =(1 — Г) =1 — 7', (4.31) называемую квадратичной флуктуацией величины ~. С точностью до множителя порядка единицы У(87)е совпадает с (ЛЦ, т. е. со средним значением абсолютной величины откло- 3) в 4) ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ пения 7 от ~. Из соображений математического удобства предпочитают пользоваться величиной (4.31), а не ~ ЛЦ.
Рассмотрим систему, состоящую из У одинаковых статистически независимых частей, и некоторую величину 7, аддитивную для системы, так что Р ~' Р>Л> (4.32) ь=! Величина 7 может быть числом частиц, массой, энергией и т. д. Очевидно, что ЛТ ~ ДР>В (4.33) ь=! Вычислим для такой системы квадратичную флуктуацию ): >! (Л))'=( Х >>>(!"> ' = Х ~~~~ ~(Л)!">)(Л7П>). (4,34) / л=>>=! В силу статистической независимости отдельных частей системы ( О, когда ФФ>; (Л1!">НЬ|>О)=(Л)>л>) (Л)п>)= ~ (4.35) ~ (Л~>л>)>, когда й= >, Таким образом, ~лв = Х ~л~-~ = (4.36) ввиду одинаковости отдельных частей системы.
Из (4.32) следует: ~ >>Ь»>>, !~В (4.37) ь=! Для характеристики дисперсии 7, т. е. меры среднего отклонения 7 от ~, введем относительную флуктуацию: 7 К> Т>ь> как это следует из (4.3б) и (4.37). В статистической физике наиболее интересен случай, когда в качестве независимых частей системы выбираются частицы (атомы, молекулы), из которых состоит сама система. Строго говоря, статистически независимы они будут только для идеального газа. В этом случае отношение $' (д~а>)*ф~' порядка единицы. Например, если 1>л> — кинетическая энергия молекулы идеального газа, то, как мы увидим ниже, это отношение равно )/2/3.
Однако и для неидеального газа, например для жидкости или твердого тела, наши рассуждения и оценки качественно сохраняются. 32 ввнднннн В этом случае относительная флуктуация по порядку величины равна 6 ж= 1 (4.39) Ум Для макроскопических тел А) очень велико, например, порядка 10". Поэтому бг для таких аддитивных величин, как энергия системы (если поместить ее в термостат) или число частиц в ней (если система обменивается частицами с резервуаром), очень мала, например порядка (10") ц'=10 ". Это обстоятельство лежит в основе того, что в термодинамике мы отождествляем наблюдаемые значения макроскопических параметров с их средними значениями.
5. В качестве простого примера рассмотрим следующую задачу. Пусть й) невзаимодействующих частиц случайно, т. е. с вероятностью (4.9), распределены в объеме У. Вероятность того, что в объеме о< У будет обнаружено и частиц, равна "м(п) =л)(у — л)) ():) (' у) (440) где (о)У)л — вероятность того, что и определенных частиц находятся в объеме о, (1 — о/У)п-а=вероятность того, что остальные (А( — л) частиц находятся в объеме У вЂ” гл множитель й)Цп! ()Ч вЂ” л)!, учитывающий возможные перестановки между л и (А! — и) частицами, должен быть введен, так как нас интересует вероятность того, что и произвольных частиц имеются в объеме о. Нетрудно показать, что вероятность (4.40) удовлетворяет условию нормировки (4.2). Множитель )))!/л! (А( — л)! совпадает с биномиальным коэффициентом Сй '), поэтому по формуле бинома Яуп(п)= ~ С;«(у) (1 1 ) =(у+1 чт) =1.
(44!) л=о л=о Вычислим среднее число частиц в объеме о. По формуле (4.6) и= ~ иЖп(п)= л и-! й((у) ~1' «) НА~ В «1) (р) (1 — у) (442) где «=л — 1. Так как сумма, входящая в (4.42), согласно (4.41) равна единице, то (4.43) т) См., например, И.Н. Бронштейн, К.А. Семенднев, Справочник но математнне (любое наданне), отдел второй, бвном Ньютона. з 41 понятии вяиоятности Вводя в (4.40) и вместо о, получим )5'гч (и) =... ( — ) (1 — — ) ° (4.44) Рассмотрим важные предельные случаи соотношения (4.44).
У 1) Пусть ))( — оо и и' — оо, но так, что и=о — остается постоянным. Перепишем (4 44) в виде ЧУм(и) =" — (1 — у) (1 — — )... (1 — — ) (1 — у) . (4.45) Учитывая, что Вш (1 ") =я-л (4.46) получим из (4.45) так называемую формулу Пуассона: ф' (г!) Вш ((У (г!) я — л (4.47) и Ф Заметим, что йу (и) (4.47) удовлетворяет условию нормировки Ф (п) я ~к~~~ л! (4.48) в=о так как сумма по и равна ьл.
2) Рассмотрим формулу Пуассона в случае, когда и, л и !Ьп)=!п — и~ — большие числа, но ) Ли!(п((1. Из (4.47) следует: 1п )(У (п) = и 1и (и) — и — 1и и( (4.49) Преобразуем зто выражение, воспользовавшись для 1пи( полной формулой Стирлинга'): 1пл)=(л+ — ) 1пл — и+ — 1п2л+0( — ) (4.50) 1Д 1 /!Д ') См.
В. И. С м и р н о в, Курс высшей математики, М., 1953, т. 111, ч. 2, гл. !Н, раздел 75. Неполная формула Стирлинга, которой мы будем часю пользоваться, может быть выведена совсем просто. Для л >) 1 имеем ь я 1п л! = !п (1 2 З...л) =- ~~~~ 1и х ж ~ 1п х г(х=х1п х — х ~ =л !п (л) — л. (4.50а) х=! 1 ! Выражение (4.50) переходит в (4.50а), если пренебречь в правой части (4.50) 1 1 слагаемым — !и л+ — 1п 2л+О( — ) = 1и гг2лл+ О ( — ). 2 2 ~л) ~л) 34 (гл.
( ВВЕДЕНИЕ (4.53) В результате получим (л-л(л ф' (Л) Е 2л У2пп (4.54) — так называемое распределение Гаусса. Легко видеть (если воспользоваться формулой (П3.1) Приложения 3), что л (л-ли (е'(п)((п= ~ е 2 ((л=1, 2ии как и следует из условия нормировки (4.5). Вычислим еще квадратичную флуктуацию: »» (Ьп) ° ((хп)2 = ( (Лл)ЧИ' (п) ((п = = ( (пи)» е 2" (( (Ап) =- л (456) (» 2л (см.
формулу (П3.2)). Вычислим также относительную флуктуацию: )( (аи) (4.57) что согласуется с (4.39). и положим л = п + (хп, тогда !пЮ (и) — (и+Йп+ — ) 1п(1+= + и/ + Лп — — 1и (2пл) + О ( — „) . (4.51) Разложим в ряд, удерживая два первых члена: 1п (1+=) == — =,, ли'» ап (апр (4.52) и ) и 2п" ' Подставляя (4.52) в (4.51), удержим в произведении два наи(ап)2 больших слагаемых: — Ьл — =, тогда 2й (Ьп)» 1 )п й)' (л) = — = — 1п (2пл).
2п Глава (! Распределения в классической статистике $1. Термодинамическое (статистическое) равновесие системы. Внешние и внутренние параметры 1. Всякое физическое тело (система), поставленное в определенные внешние условия, рано или поздно приходит в состояние термодинамического (стотистического) равновесия. Это утверждение, которое мы ниже уточним, можно рассматривать как один из основных постулатов статистической физики.
Необходимо уточнить, что мы понимаем под «определенными внешними условиями» и «состоянием термодинамического (статистического) равновесия». В понятие определенных внешних условий входит, во-первых, задание положений (координат) внешних по отношению к системе тел, определяющих силы, действующие на частицы системы. Эти координаты (положения) внешних тел называются внешними параметрами системы. К числу их относятся координаты стенок сосуда, внутри которого заключена система, координаты магнитов, определяющих в каждой точке внутри системы вектор напряженности внешнего магнитного поля, координаты электрически заряженных тел, определяющих внутри системы электрическое поле, положение массивных тел, создающих в системе гравитационное поле, и т.
д. В случае однородной изотропной системы вместо задания координат стенок сосуда можно в качестве внешнего параметра ввести просто объем системы У. В тех случаях, когда внешние тела создают в системе протяженные поля — магнитные, электрические, гравитационные,— в качестве внешних параметров выбираются напряженности самих полей, которые, конечно, функционально связаны с положением создающих их внешних тел. Во-вторых, при определении внешних условий необходимо учитывать специфически молекулярное воздействие внешних тел на систему.
Если увеличить среднюю кинетическую энергию молекул среды, окружающей тело (т. е. повысить ее температуру ')), то в результате их взаимодействия с оболочкой это повышение средней энергии будет передаваться частицам системы. В предельном случае, когда этот процесс будет настолько затруднен (из-за плохой теплопроводности оболочки), что им можно пренебречь, оболочка называется ') Ниже, и 1 3, будет дано строгое определение температуры. зе РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ [ГЛ. И адиабапгической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
