Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Начало двадцатого века ознаменовалось открытием новой главы физики — квантовой теории, которая проникла в физику через статистику. Классическая статистическая физика столкнулась с непреодолимыми затруднениями при применении ее к равновесному электромагнитному излучению (черному излучению). 19 октября 1900 г. выдающийся немецкий физик Макс Планк, выступая на заседании Берлинского физического общества, выдвинул для объяснения законов черного излучения совершенно новую, чуждую классическим представлениям гипотезу о существовании у атомных осцилляторов дискретных уровней энергии (гл. 111, 5 3).
Гипотеза Планка не только объяснила законы черного излучения, но и поведение тепло- емкости многоатомных газов (гл. Ъ', 9 4) и твердых тел (гл. Ъ'1, 9 2) при низких температурах. з 21 описания движения в классичнской механике 15 Однако подлинное понимание законов квантовой теории пришло только в результате создания квантовой механики в 1924 †19 гг, (де Бройль, Гейзенберг, Шредингер, Дирак) и глубокого эпистемологического анализа ее основ (Бор, Гейзенберг). Такое более глубокое понимание квантовой теории привело к новому развитию статистической физики, основанному на принципиальной неразличимости тождественных частиц н запрете Паули.
Созданные на этой основе квантовые статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна (гл. 1Х, 9 2) оказались необходимыми для рассмотрения свободных электронов в металлах (гл. 1Х, 9 5) и фотонного газа (гл. 1Х, 9 4). Мы ограничимся этими краткими сведениями по истории развития статистической физики в двадцатом веке.
$2. Описание движения в классической механике ') 1. Макроскопические тела состоят из очень большого, но конечного числа частиц (атомов, молекул, ионов, электронов), поэтому нас будут интересовать механические системы с конечным числом степеней свободы з, т. е. такие системы, геометрическая конфигурация которых определяется конечным числом параметров аг (1=1,2, ..., в), называемых обобщенными координатами.
При движении системы обобщенные координаты являются функциями времени: а,=а,(1); величины да;!И=а; называются обобщенными скоростями. Для всякой механической системы существует так называемая функция Лагранжа -2'(у у у. у, у., у., 1)— = -2'(у 9,0') зависящая от обобщенных координат и скоростей и времени, обладающая тем свойством, что уравнения движения системы имеют вид — — )= — (1=1,2, ...,з). о' l дя Х д.л (2.1) о1 'ч дог ) ддг Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода.
Вид функции Лагранжа определяется динамической структурой системы: массами ее частиц, действующими в ней силами, характером существующих в ней связей. Соотношение (2.1) надо рассматривать как закон природы, вытекающий из опыта. Можно показать, что из (2.1) вытекают ') Предполагается, что читатель знаком с основами классической механики. См., например, Л, Д. Л а н д а у и Е.М.
Л и ф ш и ц, Механика, Физматгиз, М., 1958, или Г. Г о л д с т е й н, Классическая механика, Гостехиздат, М., 1957. Настоящий параграф имеет целью только напомнить о том, что является особенно существенным прн изучении статистической физики. ') Здесь и в дальнейшем, если мы у аргументов функций не будем писать индексов, то предполагается, что функция зависит, вообще говоря, от переменных со всеми индексами. вввдвяис уравнения движения классической механики Ньютона (масса с ускорение = сила). Система (2.1) представляет собой систему з обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для з неизвестных функций дг(г).
В йринципе система (2.1) может быть проинтегрирована и дает а зависимостей 4 (1.,1о ,~6) (1 1 2 з) (2.2) Р=е (Е+ — (цН)), (2.4) где е и п=г — заряд и скорость частицы, Е(г, 1) и гт(г, 1) — напряженности электрического и магнитного полей в точке г в момент 1, с — скорость света.
Сила (2.4) зависит от скорости и, т. е. непотенциальна, поэтому функция Лагранжа не может быть выражена в форме (2.3). Можно показать, что силе Р (2.4) соответствует функция Лагранжа Я(г, г, 1)= — + — (Аг) — ер, (й.й) где 4; зависят не только от времени, но и от начальных значений обобщенных координат д,', д'„..., д,' и скоростей ~, Щ, ... ..., д,', т. е. от 2з постоянных интегрирования. Если бы определение функции Лагранжа для каждой конкретной механической системы являлось каждый раз новой и сложной задачей, то казалось бы, что польза от уравнений движения (2.1) невелика.
Однако это не так. Даже при уже известной функции Лагранжа дифференциальные уравнения (2.1) описывают бесконечное многообразие движений системы, соответствующее бесконечному многообразию ее начальных состояний. Кроме того, практически во всех случаях существуют простые правила (рецепты) составления функций Лагранжа.
В частности, для важного случая консервативной системы, для которой существует потенциальная энергия Я (д), функция Лагранжа .У(ч 4)=зс'(ч ч) — а(ч) (2.3) где ус'= ~ч~ ~тр,'/2 — кинетическая энергия системы (и; и и,— масса 4 и скорость 1-й частицы). Из механики известно, что для консервативных систем кинетическая энергия зг (д, д) — однородная квадратичная функция обобщенных скоростей дь коэффициенты которой, вообще говоря, зависят от обобщенных координат д, При движении заряженной частицы в электромагнитном поле сила Лоренца, действующая на частицу, в нерелятивистском приближении равна 3 21 ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 17 где т — масса частицы, а вектор-потенциал А (г, г) и скалярный потенциал у(г, 1) следующим образом связаны с электрическим и магнитным полями: Е= — йтаб»р — — —, Н го( А. ! дА с д~' (2.6) Межно сказать, что функция Лагранжа (2.5) подобрана так, чтобы давать уравнение механики (масса х ускорение = сила), с правильным выражением для силы (2А), вытекающим из электродинамики (опыта).
2. Для целей статистической физики удобнее другая, эквивалентная формулировка уравнений движения механики. Вводя обобщенные импульсы рь сопряженные обобщенным координатам дн р;= —. (1=1, 2, ..., Х), д.х" (2.7) дд; определим функцию Гамильтона: Я~(у р г)= Х угу З(ц у г) (2.8) ~~»' р»у;=~ —, о,= "ь' —. у;=2бь=, дХ дуб де;, до; (2.9) где мы использовали теорему Эйлера об однородных функциях. Из (2.8), (2.9) и (2.3) следует: Я~ 07 р) = бб (у ) + ть (у). (2.10) Таким образом, для консервативных систем функция Гамильтона равна сумме кинетической и потенциальной энергий, т.
е. равна полной энергии системы в переменных д; и ро Из (2.5) и (2.7) слейует, что обобщенный импульс, сопряженный координате х, равен р„= —. = тх+ — А„. дЙ е (2.1 1) дх с Отсюда и из (2.8) следует, что функция Гамильтона для заря- женной частицы в электромагнитном поле равна а (У Р)=з,„(7э — —,А~ +ее. (2.12) где»7, в правой части выражены через у и рь посредством уравнений (2.7). Для консервативных систем 18 !гл.
1 Введение Из механики известно, что уравнения движения в канонических переменных рн и р; имеют вид д = —, р = — — ((=1, 2, ..., з). (2.13) аде а,у '= ар; ' ач; Уравнения (2.13) носят название канонических уравнений или уравнений Гамильтона. Они полностью эквивалентны уравнениям Лагранжа (2.!). В теории Гамильтона канонические переменные д; и р, рассматриваются как независимые величины, поэтому число уравнений (2.13) равно 2з (однако дифференциальные уравнения движения теперь, в противоположность (2.1), первого порядка).
Из механики известно, что для консервативных замкнутых систем с з степенями свободы существуют 2э — 1 независимых функций переменных ан ро остающихся при движении системы постоянными. Эти функции называются интегралами движения'). Из невообразимо большого числа 2з — 1 интегралов движения макроскопического тела следующие семь: энергия, три составляющих вектора количества движения и три составляющих вектора момента количества движения, играют особо важную роль в формулировке законов физики. Это обусловлено, по-видимому, тем, что существование этих интегралов связано с фундаментальными свойствами пространства и времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
