Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1. у' к координатам д=х', р=пнву'. (3.17) Для того чтобы в этом убедиться, достаточно в (3.17) подставить (3.16) и (3.! 5). Эти три преобразования не меняют величины площади, хотя в общем случае меняют ее форму. В самом деле, преобразование (3.16) только поворачивает площадку в плоскости ху на угол ь»1, а преобразования (3.15) и (3.17) взаимно компенсируются, так как первое сжимает площадку в направлении оси ординат в ть» раз., а второе растягивает ее в том же направлении на ту же величину.
В 4. Понятие вероятности. Статистическая независимость и квадратичная флуктуация 1. В статистической физике широко применяется понятие вероятности и основные положения теории вероятностей. Научное определение вероятности возможно только в том случае, когда мы имеем дело с массовыми, или повторяющимися, явлениями. Бросание игральной кости, которое мы можем повторять практически неограниченное число раз, является классическим примером массового явления, к которому применимо понятие вероятности.
Огромное число тождественных молекул макроскопического тела тоже представляет собою пример массового явления. При бросании игральной кости может быть поставлен вопрос, чему равна относительная частота выпадания определенной грани кости, например шестерки, т. е, чему равно отношение числа случаев выпадания шестерки (числа «благоприятных случаев») к общему 25 9 41 ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ (4.1) где п(х;) — число благоприятных случаев, когда Х=хп а !У вЂ” достаточно большое (предельное) число испытаний, удовлетворяющих рассмотренному выше условию. Из определения (4. 1) вытекает условие нормировки вероятности: ~гв(хг) =1, (4.2) так как ~Ч~п(хг) =!У. Такое определение понятия вероятности, как предельного значения относительной частоты, наблюдаемой в статистическом коллективе, принадлежит немецкому математику Р.Мизесу').
Хотя развитие теории вероятности на этом пути наталкивается на некоторые математические трудности, они могут быть, вероятно, преодолены. С другой стороны, развиваемая выше конце~ция,связывающая вероятность с относительной частотой, является практически един- ') См. к. М ! з е з, Уог!езппдеп анз Вега Ггеые1е оег апеетзапй1еп Ма1пегпа1й, ВВ. 1, Жа!«Тзсье!Писыге!1згес!гпппв, и популярное изложение з книге: Р. М ма е с, Вероятность и статистика, ГИЗ, М.— Л., !930. числу бросаний кости (числу «испытанийз). Очевидно, что до тех пор, пока число испытаний невелико, ответ на этот вопрос остается неопределенным, так как относительная частота в разных сериях испытаний может оказаться различной.
Для теории вероятностей, во всяком случае для ее применения к естествознанию, социологии и т. и., основным является эмпирически установленный факт, что при исследовании массовых явлений относительная частота какого-либо признака испытывает все меньшие колебания по мере увеличения числа испытаний. Другими словами, если вычислять относительную частоту с заданной точностью, например с тремя десятичными знаками, то, начиная с некоторого достаточно большого числа испытаний 1У, относительная частота, вычисленная с тремя десятичными знаками, при дальнейшем увеличении числа испытаний не меняется. Этот закон, как и многие другие опытные законы естествознания, не является абсолютным, но выполняется, вообще говоря, тем точнее, чем больше предельное число испытаний !У. Неограниченная последовательность значений некоторого признака (например, числа выпадающих на кости очков), удовлетворяющая сформулированному выше эмпирическому закону, называется спштистическим коллективом.
Пусть величина Х для некоторой массовой последовательности может принимать одно из дискретных значений х„х„..., хо... Вероятностью того, что при данном испытании Х=хп называется величина 26 введение ственной, позволяющей применять теорию вероятности к естествознанию, социологии и т. п. Другим примером статистического коллектива является практически неограниченная совокупность молекул газа, в которой мы интересуемся относительной частотой какого-либо признака, например, наблюдаемой у молекулы величины скорости, точнее — ее значения, лежащего между о и о+~Ь.
Если Х принимает непрерывные значения х, то вероятность того, что Х лежит в интервале между х и х+йх, аналогично (4.1) равна в(х, х+дх) = (4.3) где п(х, х+с(х) — число случаев, когда Х лежит в интервале (х, х+Нх), а число испытаний У достаточно велико. Очевидно, что и (х, х+ох) пропорционально бесконечно малому интервалу дх, поэтому в(х, х+сх)= =ю(х)ох, (4.4) где ш(х) называется плотностью вероятности величине Х иметь значение х. Аналогично (4.2), условие нормировки'для плотности вероятности имеет вид ~ ю(х) ох=1. (4.6) Какова практическая ценность введенных нами понятий вероятностей (4.!) и (4.4)7 В качестве простейшего примера применения вероятностей рассмотрим задачу определения среднего арифметического функции 7' (Х), когда Х принимает значения х„..., хо ... с вероятностью в(х;) (4.1).
По определению среднего арифметического ~ ( Х) — ~ ("'1" ("'1+ ' ' '+~ ("'1 " ("')+ ' ' ' — ~ч ', ~ (х ) ю (х ). (4.6) ! Аналогично при непрерывном изменении Х 7" (Х)= ~ 7'(х)в(х)Нх. (4.7) Таким образом, среднее арифметическое функции определяется непосредственно через вероятность (плотность вероятности) значений ее аргумента.
Заметим, что вычисление среднего арифметического является линейной операцией, т. е. С171 (Х)+С,7", (Х) = С,7, (Х)+С,~,(Х), (4.8) как это следует из (4.6) или (4.7), если С, и С, постоянные. Применение теории вероятностей было бы весьма затруднено, если для определения вероятностей ю(х,) или в(х) было бы необ- ф 41 понятие ззгоятности ходимо на самом деле производить серию соответствующих измерений для определения предельных частот. В действительности вероятности определяются обычно не эмпирически, а либо на основании соображений симметрии, либо вводятся а рг!ог! на основании какой- либо гипотезы, справедливость которой обосновывается всеми полученными теорией следствиями.
Например, в случае бросания игральной кости вероятность выпадания заданной грани полагается равной 1/6. Это связано с симметрией правильного куба, сделанного из однородного материала, когда мы должны признать выпадания всех шести граней куба равновероятными. Из условия нормировки (4.2) получим: 6.и=1, откуда и=1/6. Если симметрия нарушена, например материал кубика неоднороден, то, вообще говоря, нельзя считать вероятность выпадания определенной грани равной 1/6 и она должна определяться из опыта, по измерениям относительной частоты. Может показаться, что мы находимся в порочном кругу, поскольку вероятность выпадания определенной грани игральной кости определяется через равновероятность выпадания любой из ее граней. Однако понятие равновероятности (эквивалентности) граней игральной кости используется только для определения численного значения вероятности из условия нормировки (4.2).
В то же время, для того чтобы связать это значение вероятности с наблюдаемыми на опыте явлениями, необходимо возвратиться к определению вероятности (4.1) как относительной частоты. Рассмотрим малую частицу, находящуюся внутри объема г', подвергающуюся действию случайных по величине и направлению толчков. При отсутствии внешних полей, в силу однородности пространства, все его точки эквивалентны; поэтому вероятность обнаружить частицу в объеме о(У равна в=о/У, (4.9) а вероятность обнаружить ее в остальной части объема (4.10) Как и положено, ш+ш, = 1.
(4. 11) ~йв=С ~ дй =С 4п= 1, (4. 13) т. е. С=1/4п. Если частица рассеивается на неподвижном центре и все направления рассеяния равновероятны, то вероятность рассеяться ей в телесный угол Йй равна сЫ=СЮ, (4. 12) где С вЂ” нормировочная константа, определяемая из условия вввдвниа Основная задача теории вероятностей — определение вероятности сложных событий, когда известны вероятности простых событий. Например, исходя из априорной вероятности выпадания произвольной грани игральной кости (равной 1/6), может быть поставлена задача определения вероятности того, что в результате трех бросаний кости будет набрано в сумме 1О очков.
Нетрудно показать, что эта вероятность равна 1/8. Как мы покажем дальше, на основании некоторой простой гипотезы об априорных вероятностях состояния газа, находящегося в статистическом равновесии, вероятность некоторому атому этого газа, при наличии внешнего потенциального поля, находиться в объеме Л' в точке г равна и, (г) ф~ Се-и иилг фг (4. 14) где и(г) — потенциальная энергия атома во внешнем поле в точке г, Т вЂ” абсолютная температура, й — постоянная Больцмана, С вЂ” нормировочная константа, определяемая из условия (4.5). 2.
Если величина Х может принимать значения х„х„ ..., хо..., а г' — значения у„у„...,уы..., то вероятность того, что Х =х; и )'=ум равна л (хь уэ) (4.15) где а(хо уэ) — число благоприятных случаев, когда Х=х, и )'=у„, а У вЂ предельн число испытаний. Условие нормировки (4.2) имеет вид ~ч~~~ч~~и(хо уэ) =!. (4.16) Если Х и У меняются непрерывно, то аналогично (4.15) плотность вероятности в(х, у) = — ' (4.17) где л(х, у)с[хду — число благоприятных случаев, когда Х и У лежат в интервалах (х, х+дх) и (у, у+Ыу).
Аналогично (4.16) условие нормировки имеет вид Ц ш (х, у) Ж 0у = 1. (4.18) Формулы (4.6) и (4.7) для средних непосредственно обобщаются на случай двух переменных: 1(Х, У)=ч~~„'~~(хо у„)ш(хо у,); (4.19) 7(Х, )')=)) [(х, у)ш(х, у)ИхНу. (4.20) 3. Чему равна вероятность того, что величина Х, которая может принимать значения х„ х„ ..., хн ..., х„, ..., имеет з 4) понятия вегоятиости значение либо хо либо х„? Очевидно, вероятность этого в (хй+ а (хл) ( ) + в(х„' хв) =) щ(х) йх.
«а Теорема сложения вероятностей позволяет ответить на вопрос: чему равна вероятность того, что Х имеет значение хо а У произвольно? Очевидно, что эта вероятность и~(х,)=ч~р~ю(хь у„). (4.23) Аналогично ю (х) = ~ ю (х, у) ду. (4.24) Наконец, мы можем вычислить среднее значение функции /(Х, г) для всевозможных значений У, когда Х=хр 1 (х~ У) ~Л~~~ г «л ' вл ~ ~ (х, у ) и1 (х~ ул) (4 25) или яри непрерывном изменении переменных Г(х, У)= ~ ~(х, у)ю (х, у)йу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
