Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

е. не имеет место распределение Больцмана (4.8). Однако кинетическая энергия атомов твердого н жидкого тела имеет тот же вид, что и в (4.1), поэтому после интегрирования се(д, р) по координатам всех У атомов и импульсам (У вЂ” 1) атомов мы придем к распределению Максвелла (4.7). Так как импульс р=ппа, где и — вектор скорости, и, следовательно, др„=пас(а„и т. д., то вероятность заданных значений скорости согласно (4.7) равна ы( р»+ "р рл) то' св ( )м'е аат ( "' )ма аат (4.

) Для того чтобы определить число атомов, у которых имеются заданные значения импульсов или координат'), надо лу помножить на соответствующие вероятности ыр или в„. Плотность вероятности свр обладает в р-пространстве сферической симметрией, т. е. завйсит только от абсолютной величины вектора р. Вероятность того, что импульс атома р направлен под полярным углом д и азимутальным углом ср к нскоторой оси, точнее — расположен внутри телесного угла з|и д Ю йр, а по ') В расчете на единичные интервалы импульса или координаты. 62 распределения в классической статистике [гл. и абсолютной величине лежит в интервале (Р, р+з[Р), равна зйе ( р, д, са) = п>р рз г[р ай п д з[д Йа = рз ,е и"'зг з[рз[пдс[дг[ср.

(4.10) (2 л,ьу)з!з Поэтому вероятность того, что атом обладает импульсом, ле>кащим между р и р+з[Р, независимо от его направления, равна выражению (4.10), проинтегрированному по углам д и за, или объему шарового слоя 4прзз[р, помноженному на и>р, т.

е. рз П> 'с[р= 4прзз[рн> = )/ — Р'е ""'г с[Р (4.11) (мат)з> где и> — соответствующая плотность вероятности, На рис. 4 представлена зависимость и>р и 1вр от Р. КРиваЯ Шр обладает максимумом, так как определяется произведением двух множителей: возрастающего пропорционально Р' (связанного с объемом шарового слоя) и экспоненциально убывающего (связанного с плотностью вероятности н>р). Наиболее вероятное значение импульса р„соответствует максимуму кривой П>р.

Из с[>пр/з[Р= О получим р,„= )>' 2пйТ. (4. 12) 2. Определим средние значения различных величин, связанных с максвелловским распределением (4.7). При этом среднее мы определяем, пользуясь выражением (1; 4.7). Средний импульс атома (см. (П3.5)) Р=~РП>, [Р= а = ~>> — ж1/2,55пАТ (4.13) Р немного больше наиболее вероятного Рис. 4. импульса (4.12), что связано с асим- метрией кривой 1ор (рис. 4).

Очевидно, что Р„ = О, но можно определить среднее значение положительной величины составляющей импульса, т. е. Ю Рз() О)= ~ ЙРзОпРр'[Рз(Рзер)= Р' и = 4 Р (4.14) а -ю Здесь были использованы формулы (П3.1) и (П3.4). 63 в 41 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА †БОЛЪЦМА Среднее значение энергии в=р«/2т равно (см. (ПЗ.З)) Л« з е = 1 — ю с(р = — ЛТ. ,)2ш Р 2 о (4.15) Используя это выражение, получим ы Р О 2 1 Г «г« — «Мт 2 — его,«(в==., ~ е е с(е= — /гТ ~ х«1«е "г(х, 1/н ' (дт) г«1 о о о (4.17) где х=е/ИТ. Согласно формулам (П3.7) и (П3.12) интеграл равен Г(5/2)=3)ггг/4, поэтому (4.17) совпадает с (4.15). Вычислим поток атомов, падающих в 1 сек на площадку в 1 см«.

На рис. 5 представлена площадка в 1 см«, перпендикулярная к оси х и к плоскости рисунка, и цилиндр, опирающий- ся на эту площадку, высотой П„Ж. Все атомы внутри цилиндра, обладающие скоростью п„, ! за время Ж столкнутся с площадкой, так как они все сместятся в направлении х на величину м п„г(г. Число атомов с составляющими скорости и„, п„и п, '), падающих за время Ж на плошадку, равно с(/ Й=п(С„ЖХ1 слг«)ю с(о„с(о Йп~, (4.18) Рнс.

б. ГдЕ Л=Ж/)г — ЧИСЛО атОМОВ В 1 СМ«, (П„С(/Х1 СМ') — ОбЪЕМ цИЛИН- дра и го,— вероятность (4.9); отсюда с(/ = пи„и «(п„с(п„сЬ,. (4.19) Полный поток атомов, обладающих всеми скоростями и падающих ') Здесь н дальше мы часто будем для краткости говорить; «атом со скоростью о„«вм«сто «атом со скоростью, лежащей в интервале (о„, о„+ос„)м Этот результат представляет собой частный случай теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы (см.

гл. тг, 23). Выражение (4.15) может быть вычислено слегка отличным способом. Определим вероятность того, что энергия атома лежит в интервале от е до е+«/е; для этого надо в выражении(4.1!) перейти от переменной р к переменной е=-р«/2гл. Легко видеть, что р с(р= = т с(е и р=))2пт, поэтому соответствующая вероятность равна у" — маг,( (4.16) р н (ЛТ)сп« 64 гхспгедзления в кллсснчзской стлтнстнкз [гл. и на площадку за секунду, равен О ! = ~ ![о„Цпо«!Ь~(посн!~) = и ~l и =и — "= 4 пп, (4.20) Г «т [«„[ о й где средняя скорость о = р/пт. При вычислении (4.20) были использованы Приложение 3 и формула (4.14). Вычислим среднюю энергию частиц в потоке, т.

е. среднюю энергию частиц, падающих на 1 см'. е„„,= —.) зФ= —.') ~ (и„'+о„'+о,')пп„!а,сЬ„!4о,!Ь,=2йТ, (4,21) где по и„интегрируется от 0 до со. Здесь было использовано выражение (4.9) для в, и формулы (П3.2) и (П3.5). Отметим, что средняя энергия атомов в объеме (4.15) отличается от их средней энергии в потоке. Это связано с выбором разных коллективов для усреднения (в потоке в энергию вносят большой вклад быстрые частицы).

Вычислим в заключение этого параграфа относительную флуктуацию энергии е. По определению она равна )~ [ае)з ')/ (е — з) )/ (зч — зз) (4.22) Далее, М О ° (' зыае-ьмг Не = (йТ)' ( хы~е х![х (4.23) 2 ! Г а ~й е!а, у п (ат) о «7т !8 где х=е)йТ.

Стоящий здесь интеграл равен Г[ — [= — 'г' и (см. [,2) 8 (П3.7) и (П3.12)); таким образом, е'=(15/4)(йТ)'. Используя это значение, а также з (4.15), получим для (4.22) величину $'2(3, т. е. порядка единицы. Такой широкий разброс (дисперсия) значений е связан с тем, что в данном случае рассматриваемая система состоит из одной частицы. й 5. Примеры применения распределения Больцмана Рассмотрим некоторые простые примеры применения распределения Больцмаиа.

1. Пусть идеальный газ, атомы которого обладают массой т, находится в равновесии в однородном поле силы тяжести. Этому з 51 ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОЛЬЦМАНА 65 условию приближенно удовлетворяет земная атмосфера '), пока рассматриваемые высоты малы по сравнению с радиусом Земли (однородное поле) и выполняются условия изотермичности (постоянная температура). Направим ось г вертикально вверх, тогда потенциальная энергия атома равна и(х, у, г)=туг, где у=980 см1секз — ускорение силы тяжести.

Распределение Больцмана (4.8) имеет вид (5.1) Се мязгат (5.2) Здесь и(г) — число атомов в 1 см' на высоте г, пропорциональное вероятности гн,, а С вЂ” нормировочная константа. Простейший способ определения С заключается в задании концентрации и(г) на уровне Земли при г= О.

Если и(0) =и„то из (5.2) С=и, и и (г) = и е- яегаг (5.3) Формула (5.3) носит название барометрической формулы. Из нее следует, что концентрация газа уменьшается в е=2,71 раз на высоте и=)гТ1та. Для молекулярного азота при Т=ЗОО' 5=9 км (расчет носит модельный характер, так как на самом деле температура атмосферы изменяется с высотой). Постоянная С может быть определена и другим способом. Пусть в полном столбе атмосферы сечением в 1 см', простирающемся до бесконечности„имеется 1т'з атомов; тогда Ф ~ и(г)йг=С ~ е- Я*гагйг=У„ о о (5.4) откуда С=М,д)ИТ, где Мз=т)т',— масса столба атмосферы. Очевидно, концентрация из=Май)ИТ, т. е.

обратно пропорциональна температуре. В нашем расчете мы считали поле силы тяжести однородным, т. е. не учитывали его изменения при удалении от центра Земли. Можно показать, что в центральном поле сил тяготения, убывающем обратно пропорционально квадрату расстояния до центра, газ не может находиться в состоянии статистического равновесия. В самом деле, в этом случае потенциальная энергия атома с массой т равна и (г) = — у — ()с' ( г ( оо), (5.5) т) То обстоятельство, что земная атмосфера состоит в основном из овухагломных молекул азота и кислорода, не существенно, так как их потенциальная энергия в поле силы тяжести зависит, как и для одноатомного газа, от координат центра тяжести частиц. 66 РАспРеаелення В клАсснческой стхтнстнке (гл. и где 7=6,67.10 ' СГС вЂ” гравитационная постоянная, М вЂ” масса сферического тела (планеты) радиуса )с и г — расстояние до центра планеты. Распределение Больцмана (4.8) должно было бы иметь вид уа~М п(г) =С (5.6) где С вЂ нормировочн константа, определяемая из условия С Ю и (г) 4яг' дг = 4пС ~ е'" г' г(г = Ф,.

Характеристики

Список файлов книги