Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В этом состоянии им соответствуют коммутирующие между собой операторы, имеющие одни и те же собственные функции. Число таких величин для квантовой системы равно числу ее степеней свободы, т. е. вдвое меньше, чем для классической системы. Например, для свободной частицы могут быть одновременно заданы три составляющие ее импульса р„, рв и р,. Для электрона в центральном поле могут быть одновременйо заданы его энергия, абсолютная величина момента количества движения и его проекция на некоторое выбранное направление. Такие состояния в квантовой механике называются чистыми.
Представим себе теперь ансамбль одинаковых систем, для которых некоторая величина, имеющая в чистом состоянии определенное значение, принимает в ансамбле различные (допустимые) значения с равной вероятностью. Такие состояния квантовых систем называются смешанными. Больше всего нас будет интересовать случай, когда в квантовой системе не фиксирована энергия. Рассмотрим ансамбль из У систем с одним и тем же гамильтонианом Ж Пусть зр!А!(!у, !) †нормированн волновая функция гс-й системы такого ансамбля, удовлетворяющая уравнению Шре- дингера $ 21 чистые и смвшлнныз состоян.ж в квлнтовой махлникв 79 Подставляя (2.3) в (2.2), получим сласл' = ~~''с Яс,"„аслс, (2.5) где ж„.=~я„",ж~. (т — матричный элемент гампльтониана Я на функциях ср„. Уравнение (2.5) можно рассматривать как уравнение Шредингера (2.2) в другом представлении, причем совокупность всех ас'с (1) эквивалентна волновой функции фсл>(с), 1).
Если ср„— собственные функции оператора Я~, то Я„„= ~ Чс,"8 ср с(т= 8„6„„, (2.7) где )' 1 при л=т 11 0 при пчьт (2.8) откуда, интегрируя, получим . ал -с — 'с а„сиське " =е '"*', где сэ„=-б.„/Ь. (2.10) Из квантовой механики известно, что величина ~ а„'л' 1' представляет собой вероятность того, что в состоянии фс'>, т. е. для Й-й системы ансамбля, величина 7., которой соответствует оператор л., имеет значение Х„.
В частности, если ср„— собственные функции оператора Я~, то 1аслс 1' — вероятность того, что й-я система ансамбля имеет энергию фс„. Если фсл> нормировано на единицу, то ~я~',!асл' 1'= 1, (2.11) л как это непосредственно вытекает из (2.3). Таким образом, вероятности ~асл'1', как это и должно быть, нормированы иа единицу. Вычислим среднее значение по ансамблю некоторой физической величины сс, которой соответствует в координатном представлении оператор О. Имеем '~~ ~фслмД тслс 1, — Л/ л=! — символ Кронекера.
Уравнение (2.5) в этом случае имеет внд Фи4" = ~ ес а'лс 6„„= е".„аслс, (2.9) глспгадалзиия в квантовой статистика [гл. гн 80 Характерной особенностью определения средних значений в квантовой статистике является двойное усреднение: квантовомеханическое (обозначаемое знаком < >), связанное с интегрированием по !(т, и по ансамблю (обозначаемое чертой сверху), связанное с суммированием по й= 1, 2, ... и делением на У. Подставляя (2.3) в (2.12), получим <О>= — ~ ~'а!" а!""0„„, ь=! л,е где О„„= ) <р„'б!р,„!1т. (2.14) Введем матрицу плотносл!и У в „= — ~Ч'а"!а„"!*, ь=! (2.15) тогда (2.13) можно записать в виде <~> = )" „„б„„= ~ (Ы) = Вр (в!!), (2.16) где в †операт матрицы плотности.
В представлении базисных функций гр„ оператор в определяется своими матричными элементами в.„= ~ р" вр„бт. (2.17) Легко показать, что среднее (2.!6) не зависит от выбора представления матрицы плотности, т. е. не зависит от выбора базисных функций !р„. В самом деле, в новом представлении оператор матрицы плотности в и оператор б равны в' = й-'вй, д' = 0-'!!О„ (2.18) где 0 †операт унитарного преобразования. Независимость <!!> от представления следует из (2.16), если учесть, что Вр(в 6 ) =Вр(й-вйй-~бй)-Вр(О-~вой) =3р(вй).
Мы воспользовались тем, что УО '= 7 — единичному оператору, и независимостью шпура от порядка операторов при их циклической перестановке. Формула (2.16) для вычисления среднего величины 6 аналогична выражению (11; 2.4) в классической статистике,и, следовательно, матрица плотности в,„„ аналогична плотности вероятности в(у, р). Покажем еще, что аналогично (П; 2.3) матрица з 2! чистые и смешйнные сОстОяния В кВАнтОВОЙ мехАнике 81 плотности нормирована на единицу: М М 5р(щ) — ~~!~и! — ~Ч ! ~~» ]а'м]й= — ~ 1=1, т т й=! й=! (2.19) где было использовано (2.1!). 2. Выведем уравнение движения для матрицы плотности и!. Дифференцируя по времени (2.15) и используя (2.5), получим !В = — ~ (а й!а!й!" + а!й'а!й!") = ! НА У ~ М А й=! й=! с В силу эрмитовости оператора Я' имеем те'„'! =,те"й„, поэтому 'л%вА =' й!(Тгт!В!!А и! гте йг) (2.21) где было использовано определение (2.15).
Вводя коммутатор операторов А и В !А, В] = А — ВА, запишем (2.21) в виде йлта„„= 1.РС, !В]„„ или йа — = !Я~, йа]. д! (2.22) (2.23) Уравнение движения для матрицы плотности (2.23) можно рассматривать как квантовый аналог теоремы Лиувилля (1; 3.!3); оно определяет не саму матрицу плотности !В, а ее эволюцию во времени. В частности, если матрица плотности — некоторая функция гамильтониана Ф, т. е, !В=н!(Ф), то [Я, и!] =О и, следовательно, дий/дг = О.
Таким образом, аналогично классическому случаю, когда распределение зависит от интегралов движения (гл. 1, Й 3, п. 3), матрица плотности стационарна. Определим, какому условию удовлетворяет матрица плотности для чистого состояния. В этом случае все системы ансамбля находятся в одном и том же квантовом состоянии, так что для всех систем йр!й! = йр. Все величины не зависят от номера системы В, поэтому матрица плотности 1 \~ и!,„„= — ~~ а,„а„' = а„а,'„ й=! 82 РАСПРЕДЕЛЕНИИ В КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКЕ [Гл.
и! а квадрат ее (в')„„ = ~~~ в свс„ = ,~~а„а!а!а'„=- а а„",~~с[ а!!' =- а„а"„ = в„„. с с Таким образом, в случае чистого состояния (2.24) в~ = в, т. е. квадрат матрицы плотности равен ей самой. Все особенно упрощается в случае, когда ср„— собственные функции оператора энергии ЯВ (Фср„=8„ср„) и матрица плотности в=в(Яс"), т. е. дв/дс = О. В этом случае из (2.21) и (2.7) сав„„= 0 = ~~~ (ЯГ,сос„— в сЯРс„) = с =~~В Ь,в,„— в„фсб,„) =(8„— 8А)вВ„, откуда б' =б'„. Поскольку квантовые состояния нс и л невы- рождены, это значит, что они совпадают и, следовательно, матрица плотности диагональна, т.
е. НСли ~МХА' (2.25) Диагональные компоненты матрицы плотности и ~~~~~ [ асАс [В (2.26) т. е. равны средней по ансамблю вероятности того, что система находится в л-м квантовом состоянии. Доугими словами, в„— вероятность того, что случайно выбранная система ансамбля находится в л-м состоянии. Очевидно, что О<в„<1, (2. 27) так как для всех й 0 < [ а„'А' [' < 1. (2.28) Условие в„ = 1 имеет место, если для всех й [асИ! [!= 1 В этом случае все системы ансамбля с достоверностью находятся в л-м состоянии, т. е. имеет место чистый случай.
Если в„=1, то вА=1 и, следовательно, вс =. в, что совпадает с (2.24). э 31 статистическое таспгнднлннин для квантовых снстнм 83 В 3. Статистическое распределение для квантовых систем 1. Лля квантовых систем каноническое распределение получается из (П; 3.21) путем естественного обобщения †заме I л д т, функции Гамильтона ЯГ(д, р) оператором Я=Я (д, —.— )').
(,' ( др) Таким образом, матрица плотности для квантовых систем в состоянии статистического равновесия гс= ( с-тгув. =г Здесь нормировочная константа 1/с и модуль канонического распределения (абсолютная температура 6) являются с-числами. Из (3.1) и условия нормировки (2.19) следует, что Е = Бр (е уг)о). (3.2) Матрица плотности (3.1) зависит только от Ф, поэтому, какбыло отмечено при обсуждении уравнения движения (2.23), гс от времени не зависит, т. е. распределение стационарно. Определим в энергетическом представлении диагональные (отличные от нуля) члены матрицы плотности (3.1). Из (2.17) и (3.1) следует, что где й ~р„=о.„ф„.
Так как (3.3) л О с-уг)в гр ~~' ( 1)г — ус,р ч~~ ( 1)г — бн ~л/а с=о с=о (н„= — е-л ( )в и (3.4) Матрицу гс (3.1) в энергетическом представлении (ЗА) часто называют статистической матриг(сй. Условие нормировки (3.2) в энергетическом представлении (3.4) имеет вид 2 =~ч~д„с- „)в, л (3.5) ') Прн есаул<денна (236) было отмечено, что матрица плотности го — квантовый аналог плотноетн аеронтноств в(о,р). $ 31 стАтистическОе РАспРелеление для кВАнтОВых систем 05 Здесь бл„ вЂ матричн элемент оператора 6 в энергетическом представлении, т.
е. 6„„= ч„*6~р„йт, (3.12) -Аш12В У= 1 е-АМ/В (3.14) Из формул (3.0) и (3.14) получим для средней энергии осцилля- тора: д1и2 $ $ е = 0' — = — + да 2 (3.15) Слагаемое лла/2, не зависящее от температуры и сохраняющееся в е при 0 — О, называется нулевой энергией. Для высоких температур, когда 0)~ йв, ехр (ллэ/О) можно разложить в степенной ряд по ллВ/О. Тогда т. е. с точностью до членов порядка (ллэ/0)' средняя энергия осциллятора В=О=/РТ, что совпадает с результатом классической статистики (11; 5.13). При низких температурах, когда 0(<йв, ехр(Йв/0)~1 и из (3.15) следует: ~'~ (1 + 2е-"л/В), 2 если пренебречь членом порядка ехр( — 2ллэ/0). (3. 17) где 1р„— собственные функции оператора энергии Я~. Если квантовая система состоит из отдельных квазинезависимых частей (например, невзаимодействующих частиц), то согласно случаю, рассмотренному в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
