Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3 з 3 гл. !1 (стр. 55 — 57), к ней может быть применено распределение (3.1) и в том случае, когда число степеней свободы такой части мало. 2. В качестве примера рассмотрим статистические свойства квантового осциллятора и ротатора. Собственные значения энергии линейного гармонического осциллятора равны (1.27), поэтому статсумма для него (д„=1) л л 7. Ч, Е- л1Е Е-ЕМЧЕ ~ Е-1АН1Е>л (3. 13) лРВ л=0 Применяя к стоящей здесь сумме формулу для бесконечной геометрической убывающей прогрессии со знаменателем ехр ( — ллэ/О), получим 86 РАспРеделения В кВАнтовой стхтистнке [гл.
ш На рис. 8 представлена зависимость средней энергии осциллятора от температуры 0 по квантовой (сплошная кривая) и классической (пунктир) теориям. На рис. 9 представлена зависимость Йсэ~ ~ехр~ †) — 1~ от (и 10) частоты сэ для двух разных значений температуры О. Наиболее существенным для квантовой теории теплоемкости многоатомных в, Рнс. 9. Рис.
8. газов является то, что эта часть средней энергии осциллятора (зависящая от температуры) стремится к нулю при увеличении частоты в. Статистическая сумма для квантового ротатора О вч не|~ Я=,~ (21-1-1) е ые Г=В так как собственные (21+1)-кратно вырожденные значения энер- гии рота.ора е, определяются выражением (1.37).
В общем случае сумма (3.18) может быть определена только путем численных расчетов, поэтому рассмотрим два важных пре- дельных случая. Введем характеристическую температуру О,=йк/27, равную, по порядку величины, расстоянию между первйми уровнями ро- татора е,. При высоких температурах, когда 0>)О„сумма (3.18) может быть заменена интегралом, т.
е. е, — — 'си и г= ~ (21+1)е о(. о Полагая 1(1+1)=х, получим з„ -ВК В 2= е " йх= —. к (3.19) $ 3! статистическое гхспгедалхиие хля квантовых систем 87 Отсюда и из формулы (3.6) получим для средней энергии рота- тора: (3.20) Этот результат, как мы увидим дальше, вытекает и из классической статистики. При низких температурах 0(<О„ехр( — О,/8)~~1, поэтому в сумме (3.18) можно ограничиться первыми двумя членами; тогда 1п Е = 1и (! + Зе э / ж Зе (3.21) если разложить логарифм и учесть только член первого порядка малости. Из (3.6) и (3.21) получим для средней энергии: ,е„ а= 60,е (3.22) откуда мы видим, что е при убывании температуры стремится к нулю по экспоиенциальному закону (зто же имеет место для разности (е — Фэ>/2) в (3.17)). Глава Я Основы термодинамики и калорические свойства вещества ф1.
Обратимые (квазнстатические) и необратимые изменения системы. Работа„ совершаемая над системой 1. Выше было отмечено (гл. П, 5 1, п. 1), что внутренние параметры системы, определяющие ее состояние, зависят от внешних параметров и температуры. Поэтому при изменении внешних параметров будут, вообще говоря, изменяться и внутренние параметры. Зги изменения могут происходить двояким образом. В первом случае внешние параметры аз и температура термостата О изменяются настолько медленно, что в каждый момент времени состояние системы можно рассматривать как равновесное, соответствующее мгновенным значениям ал и О. Такие изменения состояния системы (процессы) называются обратимыми или квазистатическими.
Процесс называется обратимым, так как если внешние параметры или температура термостата проходят те же значения в противоположном направлении, то система принимает те же равновесные состояния в обратном порядке. Если т — время релаксации системы по отношению к тому нарушению равновесия, которое связано с изменением внешнего параметра аы то для того, чтобы процесс можно было рассматривать как квазистатический, необходимо, чтобы за время, равное времени релаксации тл, изменение ал было очень мало по сравнению с а„, т. е. влтл (1.1) Если это условие не выполняется, то изменения в системе являются необратимыми, т.
е. при изменении ал в обратном направлении система не проходит через те же состояния. Рассмотрим некоторые простые примеры. Представим себе газ в цилиндрическом сосуде с адиабатическими стенками, закрытый подвижным поршнем. Если мы будем медленно вдвигать или выдвигать поршень, то каждому положению поршня (объему газа) будет соответствовать свое равновесное состояние газа. При этом последовательность состояний газа при выдвижении поршня будет в точности совпадать с состояниями, которые он будет принимать при вдвижении поршня. Процесс изменения газа будет носить обратимый характер.
5 1! ОБРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ СИСТЕМЫ 89 Наоборот, при быстром изменении положения поршня состояние газа в первый момент не будет равновесным. В самом деле, при быстром выдвижении поршня под ним будет образовываться местное разрежение газа, приводящее к местному понижению температуры. Очевидно, что если с такой же скоростью вдвигать поршень, то под ним образуется сгущение газа, связанное с локальным нагревом. Очевидно, что в этом случае изменения системы будут неквазистатическими, необратимыми. Представим себе теперь, что мы быстро повысили температуру термостата на конечную величину. В этом случае в системе возникнут конечные градиенты температуры, связанные с притоком тепла ') от термосгата к системе.
Очевидно, что при быстром понижении температуры термостата в системе возникнут противоположно направленные градиенты температуры. Таким образом, такие быстрые изменения в системе будут необратимыми. Для того чтобы передача тепла носила квазистатический (обратимый) характер, необходимо, чтобы температура термостата бесконечно мало отличалась от температуры системы. При этом передача тепла будет происходить бесконечно медленно. В реальной физической ситуации можно говорить об очень медленной передаче тепла, при очень малом перепаде температур. 2. Рассмотрим вопрос о работе, совершаемой над системой при изменении ее внешних параметров.
Консервативные системы, рассматриваемые в статистической физике, характеризуются функцией Гамильтона Я~ (д, р, а) = уь'(д, р) + 2( (и, а), (1.2) где рь'(д, р) †кинетическ энергия, зависящая от обобщенных координат и импульсов системы, а 2((д, а) †потенциальн энергия, зависящая от координат и внешних параметров а, (объема, напряженности электрического или магнитного поля и т. д.). При квазистатическом изменении параметров аа с(,,Ж(Ч, Р, а) =~ д с(а~ =~у — с(а„, (1.3) где, как следует из определения квазистатического процесса, знак черты указывает на усреднение по равновесному статистическому ансамблю.
Подробнее. с(,Ж (д, р, а) = ) с(,.Ж (д, р, а) гн (д, р) ЙГ, где ш(п, р) — каноническое распределение. Величину Ла= —— д-а' (1.5) даа ') Строгое определение количества тепла будет дано в следующем параграфе. 90 [гл. »и ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ назовем Обобщенной термодинамической силой, соответствующей параметру аа. По определению йА=й,.Ю(д, р, а)=~Ч» — йаа= — »,ТА»айаа (1.6) — элементарная работа, совершаемая над системой при квазистатическом изменении ее внешних параметров а„.
Рассмотрим некоторые важные случаи работы, совершаемой над системой. а) Определим элементарную работу, совершаемую над телом (жидкостью или газом) при изменении его объема У под действием равномерного давления Р. Легко показать, что в этом случае йА= — )с йа= — Р йУ, (1.7) т. е. обобщенная термодинамическая сила, соответствующая объему У, есть давление Р. В самом деле, на рис. 10 представлена часть поверхности системы, к элементу которой Ю приложена нормальная сила Р с[о, направленная внутрь системы.
При перемещении этого элемента поверхности в направлении наружной нормали на величину Ьп работа, совершаемая силой, равна — Рйо ап, так как направление силы противоположно направлению перемещения. Поскольку в равновесии давление Р одинаково для всех точек поверхности, при смещении всей поверхности, ограничивающей систему, роя работа равна — 91 РйК йп = — Р $Ю йа= — РйУ. Очевидно, при расширении газа в вакуум работа, совершаемая над системой, равна нулю, так как давление со стороны вакуума на систему равно нулю.
б) Деформация упругого твердого тела ') определяется симметричным тензором второго ранга, называемым тензором деформации: (1.8) где хг и ха — декартовы координаты точки тела (х,=х, х,=у, х,=г), а и; и и — проекции на прямоугольные оси малого век-. тора смещения и (х„х„х,). Если вектор элементарной площадки й3 в некоторой точке тела имеет Й-ю прямоугольную составляющую т) Л.д.
Л а на ау и Е. М. Л и фш и П, Теория упругости, Физматгиз, М., 1965, Я 1, 2. 5 11 ОБРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ СИСТЕМЫ 91 ЫЯ», то 1-я прямоугольная составляющая силы напряжения (возникшей в результате деформации), приложенной к ИЗ, равна з Х ОР»~19»= О'»'(9» »=! где О;»(х„ х„ х,) †симметричн тензор второго ранга, называемый тензором йапряжения (в правой части (1.9), как и в последующих выражениях, предполагается выполненным суммирование от 1 до 3 по дважды повторяющемуся индексу я). При наличии внешних объемных сил, действующих на тело (гравитационных, электрических), 1-я составляющая внешней силы, приложенная к объему А'=дх, Нх,йх„равна Р,ОР', Можно показать, что при механическом равновесии тела до»» дх» ' где в правой части выполнено суммирование по й=1, 2, 3.
Вычислим работу, произведенную над телом силами напряжения, приложенными к его поверхности, когда точки поверхности испытали элементарные смешения йи, где и — смещения, обусловленные равновесной деформацией. Используя выражение (1.9) для составляющей силы напряжения, приложенной к площадке ОЯ, получим для работы, совершенной над телом, выражение фо;»Оо»би„ ф Г д би, Ом ОБ» = ) — (6Цат») ~1У = ~ Омд — (би;)~Л/+~ Ьи;(ф') ~Л/.
Р (1.11) При отсутствии объемных сил второй интеграл правой части равен нулю, как зто следует из (1.10). Учитывая, что ОР»= а», и д ~ди;~ — би = 6( †'), получим для первого интеграла правой части радх» 1дх») ' венства (1.11): (д )бр=3 '" ( 2 (дх +дх)~ ~(У где интегрирование ведется по замкнутой поверхности тела (элементарное смещение мы обозначили через Ьио для того чтобы избежать смешения с дифференциалом интегрирования Оо»). Применяя теорему Гаусса, получим 92 [гл. щ ОснОВы ТВРмодннамнки если воспользоваться определением тензора деформации (1.8). Отсюда и из (1.11) следует, что работа, совершенная над единичным объемом деформированного тела, равна Е[А Р = ОМ йи1» = О„С[им + Оеа С[ива+ Оаа 1[ива + + 2а„с[и„+ 2о„с[и„+ 2о„с[и„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
