Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 14
Текст из файла (страница 14)
и и (5.7) Так как а=углМ1ИТ)0, то интеграл в (5.7) расходится на верхнем пределе, что свидетельствует о том, что в поле (5.5) не может осуществляться статистическое равновесие газа. С этим обстоятельством связана постепенная потеря планетами их атмосферы. На Луне этот процесс, по-видимому, полностью закончился. 2. Рассмотрим статистическую совокупность линейных гармонических осцилляторов с потенциальными энергиями и(д) = — ид', (5,8) где к — коэффициент квазиупругой силы (см.
(1; 2.18)), а д — координата отклонения от положения равновесия для каждого осциллятора. Распределение Больцмана для них имеет вид еа(1) Се-ВР'.~ыг (5.9) Нормировочная константа С определяется из условия С ~ е-"РНВАг еб7 откуда С=(и!2п7еТ)Ы', если воспользоваться формулой (П3.1). Средняя потенциальная энергия осциллятора в состоянии статистического равновесия О ЕР,1 — — ) и (и') м (д) пг( = ~ ЕТ, — 1 ем„— — 2 НТ. (5.12) где мы воспользовались выражениями (5.8), (5.9) и формулой (П3.2). Поскольку скорости осцилляторов распределены по Максвеллу, их средняя кинетическая энергия вычисляется совершенно аналогично (4.15), что дает 6 51 ПРНМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЛЬЦМАНА 67 Так им образом, для линейного гармонического осциллятора е„;„=- е, = (1!2) ИТ и, следовательно, средняя полная энергия ; =;ы„+;Р.. = йТ. (5.13) 3. Физические свойства полупроводников существенно зависят от присутствия в них примесных атомов. В определенных условиях, в состоянии статистического равновесия, эти атомы отдают свои валентные электроны в зону проводимости полупроводника, превращаясь в примесиые положительные ионы.
Рассмотрим электрическое поле около такого примесного иона, окруженного облаком свободных, диссоциировавших в зону проводимости, электронов. Пусть л — средняя (равномерная) концентрация свободных электронов в полупроводнике, п,(г) — их концентрация в поле примесного иона (г — расстояние до иона). Если ф (г)— потенциал электрического поля, создаваемый точечным положительным зарядом иона (+е) и избыточным отрицательным зарядом электронов — е(п,— и), то уравнение Пуассона имеет вид 4не ( (5.14) где х — диэлектрическая постоянная; кроме того, потенциал удовлетворяет граничному условию Вш гр(г) = —, о если ион с зарядом (+е) помещен в начале координат.
Будем решать задачу как самосоглаеоеанную, т. е. будем считать, что потенциал ~р определяется посредством уравнения (5.14), куда входит концентрация электронов и, (г), определяющаяся распределением Больцмана (4.8), в которое входит потенциал ср, так что и, (г) = пе'МАР (5.16) где ( — е~р) — потенциальная энергия электрона в поле потенциала Ч~. Согласно (5.14) и (5.15) потенциал Ч~ определяется отступлением л, от равномерной концентрации и, а также полем точечного заряда иона.
Подставляя (5.16) в (5.14) и учитывая, что задача обладает сферической симметрией, получим (5.17) Если егр1йТ((1 (в реальных условиях это выполняется редко), можно экспоненту в правой части (5.17) разложить в ряд; тогда (5.18) где д'= 4ие'и7ИИТ. 68 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ СГАГИСГИКЕ [Гл, и Легко убедиться прямой подстановкой, что уравнение (5.18) имеет решение !р = — е (5.19) ИГ которое удовлетворяет граничному условию (5.15).
Экспоненциальное спадание потенпиала происходит на характерной длине / ~т (5,20) называемой радиусом экранирования Дебая. $6. Уравнение состояния идеального газа и уравнение Ван-дер-Ваальса !. Определим зависимость между давлением Р, объемом У и температурой Т для идеального газа. С атомной точки зрения давление газа обусловлено импульсами, передаваемыми атомами стенкам сосуда при их отражении. Из основного уравнения механики известно, что изменение суммарного импульса системы за время б! равно импульсу внешних сил ХР! М, т.е.
! А ~Р; = '~~ Р! М. ! Р= ~ 2а!П„Ф, (6.2) где е[! равно (4.!9); интегрирование по а„надо вести от 0 до оо, а поп„и О,— от — ОО до +со. На рис. 6 представлен атом со скоростью е!(а„, и„, а,); ось х перпендикулярна к стенке сосуда. При зеркальном отк' ражении атома составляющая скорости о„ меняет свой знак, а а и п, остаются без э~ изменения (О,= — и,'; а„=аэ'; п,=а,'). Изменение импульса атома равйо 2Р„= 2тс„. Если выбрать в (6.1) а! =- 1 сек и площадь стенки равной 1 см', то правая часть урав- РНС. 6.
пения (6.1) численно равна давлению Р. В левую часть уравнения (6.!) надо подставить сумму изменения импульсов всех атомов, падающих на 1 см' в 1 сек. Таким образом, 6 61 эеавнкние состояния идвдльного гдзл и эгдвниния в.д.в. 69 Используя интегралы Приложения 3, легко получим Р=айТ, (6.3) что может быть переписано в виде Р)/= УяТ, (6.4) так как концентрация атомов и = У/)/.
Уравнение (6.3) или (6.4) называется уравнением сослюяния идеального газа (уравнением Клапейрона)'). Оно включает в себя законы Бойля †Мариот: РУ= сопл! (при постоянной температуре) и Гей-Люссака: РУ = сопя!.Т. Так как средняя кинетическая энергия движения атома равна — з в= — яТ (см. (4.15)), то уравнение (6.4) можно преобразовать к виду Р)/= — ю., (6.5) где 8= Ув=У(3/2)нТ вЂ” энергия газа.
Из определения грамм-атома следует, что грамм-атом любого вещества содержит одинаковое число атомов У„, называемое числом Авогадро. Многочисленные и разнообразнйе опыты, выполненные в ХХ в., показали, что число Авогадро Ул — — 6,026 10". Если положить в (6.4) У = Ул, то для одного моля любого газа РУ= ЯТ, (6.6) где универсальная газовая постоянная )с = Улв = 8,314 ! 0' эрг/град может быть легко определена на опыте; отсюда постоянная Больц- мана /с=Я/Ул = 1,380 10 " эрг/град, как было указано в (3.30).
Заметим, что сам идеальный газ может служить термометром для измерения температуры, так как Р (при и'=сопл!) или У (при Р=сопз!) изменяются пропорционально температуре. Опыты, про- веденные над разреженными газами (которые можно с достаточным приближением рассматривать как идеальные), показали, что — ' — — — 0 36608. (РЧ)1 РТ, Т, ') Как мы увидим в гл. Ч, идеальный многоатомный гав подчиняется тому же уравнению состояния (6.4).
70 глспгедкления а классической статистика !гл. и Здесь индексы 1 и 2 относятся к температурам тающего льда и кипящей воды при атмосфе«пном давлении. Мы видим, что в стоградусной шкале (Т,— Т,=!00 ) мы должны положить абсолютную температуру тающего льда при атмосферном давлении равной Т,=100/0,36608=273,16', т. е. считать, что абсолютному нулюсоответствует температура — 273,16' Цельсия. 2. Представление об идеальном газе описывает состояние реального газа тем лучше, чем меньше его плотность п=И1У, т. е. чем больше объем, занимаемый газом.
Учет взаимодействия частиц газа представляет собой очень сложную задачу (в особенности при больших плотностях газа), которую мы рассмотрим в гл. Ъ'П. В 1873 г, голландский физик Ван-дер-Ваальс в своей диссертации «Непрерывность газообразных и жидких состояний» предложил некоторое видоизменение уравнения состояния (6.6), которое учитывает не только взаимодействие атомов газа, но и качественно описывает явление сжижения газов. Уравнение Вал-дер-Воальса для одного моля газа имеет вид (Р + — »~ (У вЂ” Ь) = РТ, (6.7) где а и Ь вЂ” постоянные, не зависящие от Р, У и Т. Поправка к объему У, т.
е. величина Ь, учитывает конечный объем, занимаемый всеми атомами, т. е. отталкивание при их тесном сближении. Поправка к давлению Р, т. е. величина а!У», учитывает возрастание давления, связанное со взаимным притяжением атомов. В самом деле, действие сил атомного притяжения простирается на малые расстояния, поэтому на границе газа можно выделить тонкий слой, который притягивается к другому тонкому слою газа, лежащему под ним.
Это дополнительное давление будет пропорционально числу частиц в обоих слоях, т. е. будет пропорционально квадрату концентрации газа л* = л(»М, или обратно пропорционально У*. Конечно, такое «обоснование» уравнения (6.7) весьма проблематично. В первую очередь, ничем не обоснован учет одной части кривой взаимодействия атомов (сил отталкивания) в объеме У, а другой части (сил притяжения) — в давлении Р. Более того, в гл. ЧП! будет показано, что уравнение Ван-дер-Ваальса (6.7) противоречит общим выводам, следующим из термодинамики. Однако в «подправленном» виде оно оказалось исключительно плодотворным для волуколичественного описания явлений конденсации. Решая (6.7) относительно Р, получим Р = — — —., ЙТ а У вЂ” Ь У»' (6.8) 6 61 эгьвнеииа состояния идеального газа и эглвивниа в.д.в.
71 т,е. каждому объему и температуре соответствует одно определенное давление. Преобразуем (6.7) к виду к' — ( — +ь) р*+ — р — =О. гйт т а аа ) (6.9) Мы получили уравнение третьей степени относительно объема К Анализ этого уравнения показывает, что для достаточно высоких температур оно имеет один вещественный корень (два корня комплексны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
