Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(3.51) Переходя в интеграле к интегрированию по энергии 8„получим нт(д, Р) = А ~ 6 [Э вЂ” 8 — 8т) Ы (8т) Мт (3.52) где й(8,) — статистический вес для термостата. Для упрощения вывода выберем в качестве термостата идеальный одноатомный газ, что, очевидно, не может иметь принципиального значения; тогда (8 )=В 83У/т (3.53) как это следует из (3.8). Подставляя (3.53) в (3.52) и используя основное свойство б-функции, получим )=.4В (Э вЂ” 8)злут ~В Эзтт1Я() 8)'~1~ Г, ( 8)м (3.54) где М=ЗУ/2.
% 3! клноничаскоа елспгаделанив Будем теперь увеличивать размеры термостата, устремляя М к «физической» бесконечности, но так, чтобы отношение 3 23 26" м з м з а (3.55) оставалось постоянным (Э = 6.,). Величина О, как видно из срав- нения с (3.27), есть абсолютная температура термостата и систе- мы. При таком предельном переходе 1пп (! — ) = Ищ (1 — — ) =е-, (3.56) Е7тм, / Е7/О~м е/е э) = „„(, м) и распределение (3.54) приобретает вид и (е, р) = — е-еге — е -мм, ене ! 1 У (3.57) ш (Ч Р) = См ехр (М!п (! — м ) (- См ехр ~ — Π— 2 МО2), (3 58) где логарифм в показателе экспоненты разложен в ряд по е./МО. Для того чтобы (3.58) совпало с (3.57), необходимо, чтобы второе слагаемое в показателе экспоненты правой части (3.58) было мало по сравнению с единицей (а не с первым слагаемым, как иногда предполагают); т.
е. п~ве пе — ж — = — <(1 2МО~ МОе У (3.59) где мы по порядку величины положили е7жлО (и — число частиц в рассматриваемой системе). Легко видеть, что если п=10'л и, согласно (3.59), й/>)10", то линейные размеры термостата должны превышать сотни километров. В тех случаях, когда мы применяем каноническое распределение к макроскопическим системам, мы никогда не заботимся о реальном выполнении этого условия, В этом случае каноническое распределение имеет формальный смысл, изложенный в предыдущем разделе.
С другой стороны, если рассматриваемая система может рассматриваться как система в термостате, удовлетворяющем условию (3.59), то каноническое распределение имеет для нее не только формальный смысл и может, например, использоваться для вычисления флуктуаций ее энергии. где 1/2 — нормировочная константа. Мы вновь получили каноническое распределение (3.21), однако его физический смысл теперь иной: оно определяет реальное распределение систем, находящихся в равновесии с большим термостатом при температуре О.
Для того чтобы определить пределы применимости проделанного нами вывода, запишем (3.54) в виде 58 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ [ГЛ. !! 4. В заключение этого параграфа покажем, что следует из канонического распределения, если система состоит из 1. квазинезависимых частей (подсистем), т. е. таких частей, энергией взаимодействия которых можно пренебречь (молекулы идеального газа, макроскопические части тела и т. д.).
Функция Гамильтона для такой системы равна Яг= Х~;, (3.60) ! — «Г !Я Н11 = — Е Р1 Ф (3.62) где 21= ~ Е ' Г(Г1. (3.63) Здесь 11Г1 — элемент фазового пространства 1-й части, Заметим, что элемент фазового объема всей системы Г(Г П1(Г1, поэтому 1 статистический интеграл для всей системы У = ~ е ~!~ 11Г = ~ ехр — ~ ~.", Я~1 1(18 ~ и 11ГГ = =П ~е "ЛГ,=П 21, 1=1 1=! (3.64) где 2!†статистический интеграл 1-й подсистемы. Если все подсистемы одинаковы (например, А. тождественных молекул идеального газа), то л=г'„ (3.65) где л, — статистический интеграл, относящийся к одной подсистеме (молекуле).
где Я1 — функция Гамильтона 1-й подсистемы, зависящая только от ее координат и импульсов. Каноническое распределение (3.21) для всей системы имеет вид и!= — ехр — ~ ~', ЯГ1 )/О) = — Ц е '~1~ (3.61) Мы видим, что плотность вероятности в этом случае распадается на произведение сомножителей, каждый из которых зависит от координат и импульсов только одной части системы. Как следует из 5 4 гл. 1, в этом случае состояния частей статистически независимы и плотность вероятности для каждой из них описывается каноническим распределением. Для 1-й части системы статистическое рас- пределение 59 з 41 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА †БОЛЬЦМА 5 4.
Распределение Максвелла — Больцмана для идеального одноатомного газа 1. Одним из простейших и важнейших объектов применения статистической физики является идеальный газ. Водород, кислород, азот, гелий, аргон, неон при нормальных условиях (атмосферное давление, О 'С) могут с довольно большой степенью приближения рассматриваться как идеальные газы. Под идеальным газом понимается система, в которой можно пренебречь энергией взаимодействия частиц (атомов, молекул) по сравнению с их кинетической энергией. В такой системе частицы в основном движутся прямолинейно и равномерно, испытывая короткие столкновения друг с другом н со стенками сосуда, в ко!ором газ заключен. Следует отметить, что хотя мы и пренебрегаем в идеал,.пом газе энергией взаимодействия частиц при их столкновениях, последние являются ответственными за установление статистического равновесия в системе.
В общем случае в идеальном газе помимо кинетической энергии частиц учитывается их потенциальная энергия во внешнем поле. Ее характерной особенностью является то, что она состоит из суммы слагаемых, каждое из которых зависит от координат только одной частицы. В этом параграфе мы рассмотрим одноатомный идеальный газ, частицы которого состоят из атомов одного сорта (гелий, аргон, неон, пары металлов и др.). Функция Гамильтона для идеального одноатомного газа из атомов одного сорта, если атомы рассматриваются как материальные точки с массой т, имеет вид Яр" =~Ч~~~ ~ — (р!Р„+рРР+р!,)+и(хь у„г!)) . (4.1) ЗДесь Ры — пРоекциЯ импУльса Р =- л!еР !-го атома на ось х, и(хо уо г!) — потенциальная энергия !-го атома во внешнем поле (включая поле, действующее со стороны стенок сосуда).
Вероятность того, что импульсы и координаты всех Ж атомов лежат внутри заданного элемента 6!рр'-мерного фазового пространства йГ=(йх)(йу)(йг)(йр„)(ор )(йр,), согласно (3.21) равна рг= — ' р [ — ~ (,— '[рррр!рр~<- [*„р...!) !рр~ р р=! х (йх) (оу) (ог) (ор ) (йр ) (йр ) = 1 ТТ (ехр 1 — Р~" +Р!Р+Р'* —" ( " "" !)1йх.й йг.й й й (4.2) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ (гл.
и 60 где 2=).»р ~ — г.' (р — '(рь»-рудры».,(,, рь,,))(рр]» х (((х) (((у) (((г) (((р„) (((р ) (((р,), (4,3) как это следует из (3.23). Чему равна вероятность, что составляющие импульса и координаты некоторого произвольного атома лежат в интервалах (рк,р,+ +((р,), (ру,ру+((ру),..., (г,г+((г), или, как мы для краткости будем говорйть, внутри интервалов ((р„((ру ((р, с(х((у((гу Для того чтобы определить это, надо, как было разъяснено в р 4 гл. 1, проинтегрировать вероятность (4.2) по импульсам и координатам всех остальных (Ф вЂ” 1) атомов. При этом необходимо учесть, что ()( слагаемых в (4.1) превращаются в 11(' экспоненциальных множителей в (4.2), каждый из которых зависит от импульсов и координат только одного атома.
Поэтому в результате интегрирования (4.2) по импульсам и координатам ()у' — 1) атомов эти интегралы сокращаются с такими же (()( — 1) интегралами в 2; в результате э)(р, г) (1р„г1р ((р (1х(1у(1г= г г г рк+ "у+ рг и (к, у, г) 2 гг И И ,( „, гг (4.4) рр укеуугрг Ф и(к, уг) грмт ((р Кр ((р ~ ~ ~ у гт ((к ((у лг Учитывая, что интегралы по рк, р и р, одинаковы и совпадают с табличным интегралом (П3.1), и обозначая ) ') ) е гт с(х((у((г = с, (4.6) получим для плотности вероятности: ркрруерг и (к, у, г) щ(р у) и гагат (г йт)м. (4.6) По соображениям, изложенным в последнем пункте предыдущего параграфа, следует, что (4.6) можно рассматривать не только как плотность вероятности в ансамбле макроскопических систем, но и как вероятность того, что в данной системе произвольный атом обладает соответствующими значениями импульса и координат').
'1 Под вероятностью некоторых аначений импульса и координат мы понимаем соответствующие плотности вероятности. 61 6 41 распридилииие максвилла — вольцмаиа Мы видим, что вероятность ю (р, г) распалась на произведение двух множителей, из которых один, — р !2тет ~~Р (Зпщду)а~а е дает вероятность определенных значений импульса р, а другой, са — Се-и (к, а, «уат (4.8) — вероятность определенных значений координат х, у, г, То, что вероятность ю(р, г) распалась на произведение двух множителей сар са,, показывает, что вероятности определенных значений импульса и координат — статистически независимые со бытия.
Распределение по импульсам (скоростям) (4.7) было открыто Максвеллом (1860 г.). Формула (4.8) была обоснована Больцманом в 1868 г. Распределение (4.6) носит название распределенил Максвелла — Больцмана. Заметим, что максвелловское распределение по скоростям имеет место не только для атомов идеального газа, но и для атомов твердого и жидкого тела. В самом деле, функция Гамильтона (4.1) содержит в этом случае дополнительное слагаемое, учитывающее взаимодействие атомов. В результате се(а, р) (4.2) не может быть представлено в виде произведения экспоненциальных множителей, каждый из которых зависит от координат только одного атома, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
