Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(1.12) При равномерном всестороннем сжатии тензор напряжений ом — — — РЬМ, где Р— давление, а бм — символ Кронекера. Подставляя это значение в (1.12), получим НАР— — РЕ(им+ и„+и„) = — Рс('Р'Р, (1.13) Р=сеЕ=" — Е, 4л (1.15) где и — поляризуемость диэлектрика, к — диэлектрическая постоянная и Š— среднее электрическое поле.
Каждый элемент объема диэлектрика с[Р' обладает электрическим моментом Рг[Р'. Пусть Π†некотор точка, связанная с диэлектриком, положение которой относительно неподвижного начала координат О, определяется радиусом-вектором )ч. Если положение элемента объема диэлектрика с[У относительно О определяется радиусом- вектором г, то геометрическая сумма сил, действующих на весь диэлектрик, равна Р= ~ (Р(г) ягас[,) Е(1с+г) Яг. (1.16) ') И. Е. Т а и м, Основы теорнв электричества, М., 1956, 4 20 в далее. так как Хии равна относительному изменению объема тела при деформации. Формула (1.13) совпадает с (1.7) для единичного объема. в) Рассмотрим работу, совершаемую силами, приложенными к телу, помещенному в электрическое или магнитное поле.
Для определенности рассмотрим вначале твердый диэлектрик в электрическом поле. Сила, действующая со стороны неоднородного электрического поля Е(г) на электрический диполь с моментом р = ебг (заряды — е и +е помещены в точках г и г+Ьг), равна ~=а '[Е(г+бг) — Е(г)1г и ~Е(г)+ д— Ьх+д— бу+ д— Ьз —,Е(г)1 = дЕ дЕ дЕ дЕ дЕ дЕ ебхд + ебуд +абаз р"д +ргд +Р д (1.14) Рассмотрим теперь для простоты слабо поляризованный изотропный диэлектрик. В этом случае вектор поляризации в данной точке диэлектрика ') ф 1] ОБРАтимые и неОБРАтимые изменения системы 93 = — ~Г ЬЯ;~~Ч» Р; — 'Ф = — ~~г'~ЬВ;~Р; — сйl, (1.17) г / где 1 и 1 пробегают значения х, у, г и мы воспользовались потенциальным характером электростатического поля, положив дЕ,7дх, =- дЕ;7дх; (го1 Е= О).
Покажем, что (1.17) равно — б(1ЫI 1 Р~а), (1.18) где 6( ) равна разности фигурных скобок для значений Я+6)с и Я, а Р является известной функцией Е (1.15). Так как от гг зависит только верхний предел внутреннего интеграла, то Е (Лэг) дЕу — 6 ~ Р(Е)дЕ= — Р(Е)(И ус) Е(ус+и)= — ~Ч~ ~~'ЬйГР)д — ', о г (1.19) если воспользоваться формулой дифференцирования интеграла по параметру '). После интегрирования (1.19) по ~У мы получим (1.17), откуда следует, что удельная работа, в расчете на единицу объема диэлектрика, равна дА»= — Р(Е)(6)77г)Е(Я+г)= — Р(Е)с(Е, (1.20) ') Аналогично этому, при изменении объема однородного тела элементарная работа, совершаемая над пнм, равна — РйЧ, где — Р— давление, приложенное к селу со стороны ограничивающих его стенок.
э) В. И. С м и р н о в, Курс высшей математики, т. 11, М.— Л., 1951, Е 80. Мы будем предполагать, что электрическое поле задано в неподвижной системе О„поэтому Е=Е(1Т+г).Интегрирование в (1.16) можно вести по объему, занятому диэлектриком, так как вне этого объема поляризация Р=О. Из механики известно, что силы, приложенные к твердому телу, эквивалентны равнодействующей, приложенной к некоторой точке О, и паре сил, зависящей от выбора точки О. Для того чтобы диэлектрик находился в равновесия в электрическом поле, необходимо, чтобы к нему со стороны удерживающих его механических связей была приложена сила — Р и уравновешивающая пара сил.
При поступательном смещении диэлектрика на 6)с уравновешивающая его пара сил работы не совершает, а работа силы — Р равна') дА= — Гбас= — Х Р; ЬЯ;= — ~6)сг ~ (Рягад,) Е;Я= г т 94 [гл. 1» ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ где т[Š†изменен среднего поля в данной точке диэлектрика при его смещении на 6)с. Работа (1.20) учитывает не только изменение энергии диэлектрика в результате его поляризации, но и его потенциальную энергию в электрическом поле.
Эта потенциальная энергия, при фиксированной поляризации Р= Р„ в расчете на единицу объема равна') — Р,Е, = — Р,Е„ (1.21) где Е,— электрическое поле, вызывающее в данной точке диэлектрика поляризацию Р,. Вычтем из полной работы, затраченной на создание (в 1 смэ) поляризации Р„ потенциальную энергию (1.21). Используя (1.20), получим Е, Е, Р, — ) Р (Е) г[Š— ( — Р,Е,) = — ) Р (Е) е[Е + Р,Е, = ) Е(Р) т[Р, (1.22) если интеграл в левой части равенства взять по частям. Таким образом, элементарная работа над единицей объема диэлектрика, не учитывающая его энергии во внешнем поле, равна йА» = Е (Р) г[Р. (1.23) Мы можем подойти к определению этой работы с другой точки зрения.
Представим себе, что электрическое поле, в которое помещен диэлектрик, создается заряженными проводниками. Предположим для простоты, что имеется один проводник с зарядом е и потенциалом ср. Работа, которую надо затратить, чтобы увеличить заряд проводника на бе, равна 6А = србе, (1.24) так как потенциал р численно равен работе, которую надо совершить, чтобы единичный заряд перенести из бесконечности на поверхность проводника. Преобразуем бА к виду, содержащему величины, характеризующие поле вокруг проводника.
Известно, что поверхностная плотность заряда на проводнике О= — Ат„/4п, где Є— нормальная составляющая вектора электрической индукции ал. Таким образом, ф 4 ф (1.25) где ИЯ вЂ элеме замкнутой поверхности проводника, поэтому 6А = ср бе = — 4 ф ср 6Р„Ж = — — „') о[» (ср 6Р) Л', (1.26) 1 е 1 г ') И. Е. Т а м и, Основы теории электричества, М., 1956, $ 1о. й 11 ОБРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ СИСТЕМЫ 95 если учесть, что тр= сопз! на поверхности проводника, и воспользоваться теоремой Гаусса' ). Интегрирование по объему в (1.26) ведется по всему бесконечному пространству. Имеем б!»(ф ЬО) = ~р б!» (Ьаэ) + И2 Игаб ~р = — Е бел, так как в объеме, где нет свободных зарядов, б!»(бел)=0 (так же как б!»Р=О), а ( — цгада)=Š— напряженности электрического поля.
Таким образом, из (1.26) следует: 6А = ) — о'»', (1.27) откуда удельная работа в единице объема равна дА» = — ЕЕ1Р. 1 4И (1.28) Вектор электрической индукции Р =Е+4пР, где Р†вект поляризации диэлектрика. Подставляя Р в (1.28), получим с(А»= 4 Е(т(Е+4пс(Р) 4 Ет(Е+ЕНР= =д(зи )+Ет(Р=д(зи )+с(А». (1.29) Первое слагаемое, д(Ев/8а), определяет изменение энергии самого электрического поля (вообще говоря, зависящего от диэлектрика), второе, Ег(Р, связано с изменением поляризации диэлектрика и совпадает с (1.23).
Если Х)=МЕ, где х — диэлектрическая постоянная, то из (1.28) следует: НА~ = 4 Ет((ИЕ)=с((~ ) =с( (~ ) . (1 30) Таким образом, работе (!.28) соответствует известное из электро- динамики выражение для плотности энергии') е= —, Е11 зх ' (1.31) ') В. И. См и р но в, Курс высшей математики, т. 11, М.— Л., 1951, 4109. е)И. Е. Т а м и, Осеовы теории электричества, М., 1956, формула (30.5). изменение которой связано с работой с(А» (1.29). Для расчетов в статистической термодинамике используется как работа с(А» (1.20), так и выражение (1.23) для с(А». Полученные нами выражения для работы не учитывают эффектов сильной поляризации (насыщение, сегнетоэлектрические явления), изменения объема (электрострикция) и фактора деполяризации, обусловленного формой диэлектрика.
96 (гл. щ Основы таамодннамнкн Магнитное поле Н(г) вне своих источников (токов, постоянных магнитов) ведет себя подобно электростатическому, поэтому для работы над единицей объема изотропного магнетика могут быть написаны выражения, аналогичные (1.20), (1.23) и (1.29): с(А„= — М (Н) с(Н, (1.32) с(АР= Н(М) с(М, (1.33) с(АР= — Нс1В=с1 (6 ) +Нс(М. (1.34) Здесь М (Н) — вектор намагничения, зависящий от магнитного поля Н=  — 4НМ, где  — вектор магнитной индукции, равный среднему значению напряженности микроскопического магнитного поля в магнетике'). Выражения (1.32) — (1.34) не учитывают изменения объема магнетика и фактора деполяризации, обусловленного его формой; они неприменимы к ферромагнетикам. $2.
Первое и второе начала термодинамики 1. Рассмотрим изменение энергии макроскопического тела при квазистатическом (Обратимом) изменении его температуры 9 и внешних параметров аа, определяющих его равновесное состояние. Мы будем энергию макроскопического тела (системы) в состоянии статистического равновесия отождествлять со средней энергией по каноническому ансамблю. Это представляется естественным для макроскопического тела ввиду чрезвычайной малости относительной флуктуации экстенсивных величин, равной по порядку величины У с', где Ж вЂ” число частиц тела (1; 4.39). 124ы будем исходить из условия нормировки канонического распределения Гиббса (П; 3.16): Э КЬ а) ас Ы.
и, а> )г цсс(Г= е и $ е в (с(4) (с(р) 1 (2 1) Продифференцируем это равенство, считая, что температура и внешние параметры испытали квазистатические бесконечно малые приращения 60 и баа (мы употребляем знак 6, для того чтобы отличить эти приращения от знака дифференциала в интеграле (2.1)): е~с66 с ~ 1 ') е 'асяс(à — е~св ') е ~се х ~В/ 2 (6 т 6, 6,-6ГГ6Я62=6. 62.26 2) И. Е. Т а м м, Основы теории электричества, М., 2956, 4 62. 97 э 21 паевое и втоеое нлчллл твеиодинлмнки Учитывая условие нормировки (2.1), получим й ( е ) — е ~ л дал — %((е) =О, (2.3) где Я~= вт — средняя энергия тела (системы) по каноническому распределению с плотностью вероятности ш = ехр ((чг — Ж)/Е), а сумма во втором слагаемом, согласно (1.6),— работа йА, совершенная над системой при квазистатическом изменении внешних параметров ал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
