Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики (1185105), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(1.20) и (1.23)): Мы считаем, что У (Т, 0)=У''(Т, 0)=свободной энергии 1 см* диэлектрика, не помещенного в электрическое поле. Из (4.39 а, б) получим 7(Т, Е) — У'(Т, Р) = — ссЕ'= — РЕ, (4.40) Н Ау= — Р(Е)дЕ, (а) ЫАг= Е(Р)АР. (б) Если мы не учитываем никакой иной работы над диэлектриком, то элементарное изменение внутренней энергии и свободной энергии в случаях (а) и (б) равно: д8 =ЛЯ+ с(Аг = ТЫ вЂ” Р(Е) оЕ, (4.37а) (а) дК = — Б г]Т вЂ” Р (Е) г]Е, (4.38а) < д8' = Т63'+Е(Р)г]Р, (4.37б) (б) с]л=' = — 5' с]Т+ Е(Р) г(Р. (4.38б) Используя связь между Р и Е (1.15), получим при изотермиче- ском процессе (АТ=О) из (4.38а) и (4.38б): а Е У (Т, Е) = У (Т, О) — ~ Р (Е) ЙЕ = У (Т, О) — а ~ ЕЫЕ = а о = У' (Т, О) — — аЕ', (4.39а) У''(Т, Р)=Г(Т, О)+~Е(Р)йР=1Г(Т, О)+ — ~Рг]Р= о о =У'(Т, О)+~ Р*=У (Т, О)+ — гхЕ'. (4.39б) 114 (гл.
ог основы тзгмодннхмики т. е. свободные энергии в случаях (а) и (б) отличаются на величину потенциальной энергии единицы объема поляризованного диэлектрика в электрическом поле. Из (4.38а) и (4.38б) получим 3= — ( — ) = — д ' + — — Е'=З(Т, О)+ — — Е', (4.41а) lд~~ дд- (Т, 0) ! На ., 1 На (дТ)а дТ 2 дТ ' 2 дТ где мы использовали выражения (4.39а, б).
Из (4.4!а, б) следует, что Б (Т, Е) = Я' (Т, Р), (4.42) что представляется естественным, поскольку энтропия связана со статистическим весом состояния. Так как В=Х+ТБ и 8'=У'+ТУ=К'+ТБ, то разность внутренних энергий 8(З, Е) — В'(3, Р)=К вЂ” К'= — РЕ такая же, как и для свободных энергий (4.40). Можно провести совершенно аналогичное рассмотрение для магнетиков в магнитном поле. Из (4.38а) следует, что вектор поляризации (4.44) Здесь Т(Т, Е) — свободная энергия единицы объема диэлектрика, учитывающая его энергию в электрическом поле Е. Из (1П; 3.7) следует, что У (Т, Е) = — йТ!п2, (4.45) где статистическая сумма (4.46) Здесь а7„(Е) — энергия и-го уровня диэлектрика, зависящая от напряженности электрического поля Е, д„— кратность вырождения и-го уровня. Из (4.44) и (4.45) следует, что Р=АТ вЂ” 1пУ, (4.47) где Я вычисляется по формуле (4.46).
41 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЙ 115 Аналогично, для магнетика в магнитном поле с напряженностью Н намагниченность М= — ( — ) ='КТ вЂ” !п Е, (4.48) где статистическая сумма 2 аналогична (4.46) с уровнями е[„(Н), зависящими от напряженности магнитного поля Н. 4. В заключение этого параграфа дадим краткую классификацию квазистатических (обратимых) процессов, происходящих в системах. Легко представить себе, что при некоторых процессах тепло передается телу столь медленно, что систему можно считатв теплоизолироваиной.
В этом случае, как было отмечено выше, оболочка тела называется адиабатической. Так как с(Я=Тс5=0, то Я=сонэ(, поэтому такие процессы называются адиабатическими или изоэнтролическими. При адиабатическом процессе работа, совершаемая телом, йА = — йА =- — йе, (4.49) т. е. является полным дифференциалом функции состояния (энергии).
Для конечных изменений в системе [2[ А„= — ~ с[8 = 8, — 82. [[[ Таким образом, работа, совершаемая системой, равна убыли ее энергии; этот случай рассматривается в механике. Если процесс протекает при постоянной температуре Т (например, за счет контакта системы с термостатом), то он называется изотермическим. В этом случае элементарная работа, совершаемая системой, согласно (4.34) (4.51) она тоже является полным дифференциалом (от свободной энергии).
Тогда А„= ет,— е- „ (4.52) т. е. работа, совершаемая системой в изотермических условиях, равна уменьшению свободной энергии системы. Для идеального газа, например, согласно (П; 3.45) А„=(У',— т,= 1[1'КТ 1п — '. 1 Процесс называется изохорным, если он протекает при постоянном обьеме системы, так что работа йА=- — РЯ= — О. В этом случае тело может только получать или отдавать тепло, поэтому (гл. и 116 основы тегмодинамнки изменение энергии М=Щ=Тж (4.54) Если процесс протекает при постоянном давлении Р, он называется изобарным. В этом случае элементарная работа с(А = Р1(У=-г((РУ), (4.55) т. е.
является полным дифференциалом функции РУ. Работа, совершаемая системой при переходе из состояния [1] в 12) в изобарных условиях, равна А„= Р (У,— 1',). (4.56) й 5. Калорические свойства вещества 1. Для термодинамической системы, описываемой давлением Р, объемом У и температурой Т, можно ввести просто измеряемые коэффициенты: 1 УдУ1 коэффициент теплового расширения а = — ( — ); (5.1) У(дТ)~ ' 1 /дР~ коэффициент термического давления (1 = — ~ — ); (5.2) Р (,дТ )и' 1 /дУ1 коэффициент изотермического сжатия мг= — — ( — ) .
(5.3) У 1 дР)г Все эти коэффициенты определены так, что в обычных условиях они положительны. Легко установить зависимость, существующую между ними. Она является математическим следствием уравнения состояния (4.1), которое мы запишем в виде ЯР, У, Т)=0, (5.4) т. е. в форме неявной функции от переменных Р, У и Т. Из (5.4) следует, что Р есть функция У и Т (см.
(4.1)), У вЂ” функция Р и Т, Т вЂ” функция Р и У. Используя правила определения частных производных неявных функций'), получим с1 д1 д1 дУ дР дР Каждая из производных, стоящих в левых частях этих равенств, удовлетворяет условию вида: (дР(дТ) = 1:(дТ)дР)„, так как, если один параметр постоянен (У=сопи(), то производную можно рассматривать как полную. Используя это и написанные выше ') В. И. Смирнов, Курс высшей математики, М.— Л., 1951, т.
1, 4!оу. $5! КАЛОРНЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА 1!7 выражения для частных производных, получим Из (5.5) и определений (5.1) †(5.3) следует: и = нт()Р (5.6) — соотношение, которое может быть использовано для определения одного из коэффициентов, если известны два других. Для идеального газа, из его уравнения состояния (11; 6.4) и из (5.1) — (5.3), получим т (5.7) 1 нт=— что, конечно, удовлетворяет соотношению (5.6). Для ван-дер-ваальсовского газа, дифференцируя (11; 6.8) и полагая т(Р=О, получим (5.8) вткуда 1 7 дУ) 1 1 — (Ь/У) У (,дТ)Р Т 2а (У вЂ” Ь)» рт уз (5.9) У ~!т ( дг ) 1 = дт ~( т (( дУ ) +Р~~)~, (5.12) откуда следует искомое уравнение ®+ = (—' :) (5.13) Разлагая правую часть в ряд по 1/У и ограничиваясь членом первого порядка, получим 1 ~)1+1 (5.10) Для большинства газов при комнатной температуре (2а)т«Т)— — Ь > О, поэтому для них коэффициент а больше, чем для идеального газа.
Водород и инертные газы представляют исключение (Ь > 2а(ЯТ), для них «отталкивание» между молекулами превышает «притяжение». 2. Выведем так называемое калорическое уравнение, связывающее уравнение состояния Р= Р(У, Т) с энергией о'=о (У, Т). Для этого исходим из выражения для дифференциала энтропии (4.13): "=Ф(Т), ++КТ)+ ~ ( ) Условие, что «В вЂ” полный дифференциал, согласно (4.4) дает 118 [гл. ш основы чвимодинамики Применим это уравнение к идеальному газу. Как следует из уравнения состояния (П; 6.6), Т (дР)дТ) = Р, поэтому (',8) =О, (5.14) т. е.
энергия идеального газа не зависит от объема, что совпадает с (П; 3.38). Применим (5.13) к ван-дер-ваальсовскому газу. Определим из (П; 6.8) (дР)дТ)у и подставим в (5.13); получим ( )- — — т. е. е = — — +)(Т). дфох а а д'у' )т У'а ' (5.15) Здесь — (аЛ~) — энергия, обусловленная притяжением молекул, а 7(Т) — не определяемая отсюда функция одной температуры. Уравнение.(5.13) позволяет очень изящно получить закон излучения черного тела (Больцман, 1884 г.). Подробнее равновесное (черное) излучение в полости будет рассмотрено в гл.
1Х. Для получения интересующего нас результата достаточно предположить, что энергия равновесного излучения в полости объема У с температурой стенок Т равна 8(У, Т)=У з(Т), (5.16) где а(Т) — плотность энергии излучения (энергия в 1см'), зависящая только от температуры Т. Из электродинамики известно э), что давление изотропного излучения Р— 3 (). (5.17) Подставляя (5.16) и (5.17) в (5.13), получим де Т вЂ” = 4е.
дт (5.18) Это дифференциальное уравнение легко интегрируется разделением переменных, что дает: а(Т) =аТа, (5.19) где а — постоянная интегрирования. Соотношение (5.19) называется законом Стефана — Больчмана. Г. А. Лорентц в речи, посвященной памяти Больцмана, назвал термодинамический вывод соотношения (5.19) «истинным перлом теоретической физики». 3. Введем одну из важнейших калорических характеристик тела — его теплоемкостан ( дГ ) эаа.
уел. ( дТ ) эая, усл.' (5.20) э) Р. Б е к к е р, Теория электричества, т. 11, Электроииаи теория, Гостекиздат, 1941, стр. 42. 119 кьлорнческне свойствь взщзствь 65! т. е. теплоемкость — это количество теплоты, обратимо переданное телу при заданных условиях, в расчете на 1 градус изменения его температуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
