Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 93
Текст из файла (страница 93)
э 4б). Поскольку электроны подчиняются принципу Паули, эти функционалы можно определить, указав, какие из одноэлектронных состояний и являются занятыми. В нашем случае величины Ь представляют собой операторы уничтожения, а Ь' — операторы порождения. Поскольку в каждый член (49.21) входят по два оператора каждого типа, интересующие нас матричные элементы будут отличны от нуля только для волновых функционалов, соответствующих одинаковому полному числу электронов, причем все электроны, кроме, может быть, одного или двух, должны быть в одинаковых состояниях.
Кроме того, поскольку операторы уничтожения в (49.21) находятся справа от операторов порождения, матричные элементы будут отличны от нуля только для таких функционалов, которые соответствуют наличию двух или более электронов. Таким образом, для отдельного электрона выражение (49.21) представляет собой нуль-оператор; тем самым исключается бесконечная продольная собственная энергия одного электрона. Покажем теперь, что это исключение связано с заменой (49.12) на (49.13). Разность энергий (49.14) можно записать в виде х ~ч, ~ (/г — г'~-'2г,(п, г) пг,(п', г') Ь(г — г')йтИг'. (49.22) 2 Поскольку оператор Ь(п',1) уничтожает электрон в состоянии и', а Ь*(п,!) создает электрон в состоянии и, для диагональных матричных элементов (49.22) и' = п.
При этом Ь* (и, 1) Ь (и', 1) можно заменить на Ж„Ь„„4 следовательно, каждый наличный электрон Гл. Х1'т'. Квантппвал влекп~родинамика вносит бесконечный вклад в среднее значение (49.22). Поэтому замена (49.12) иа (49.13) эквивалентна вычитанию из гамильтоииаиа бесконечной электростатической собственной энергии всех электронов. Среднее значение (или диагональный матричный элемент) оператора (49.21) в состоянии с двумя (или более) электронами представляет собой сумму членов, каждый из которых характеризуется двумя занятыми электронными состояниями.
Например, член, соответствующий состояниям 1 и 2, содержит матричные элементы от четырех комбинаций Ь, умноженных иа соответствующие объемные интегралы; обозначим эти комбинации сокращенно через Ь,Ь;ЬаЬы ЬтЬ;Ьабы Ь,ЬтЬ,Ь, и Ь,'Ь',Ь,Ь,. Из соотношений аитикоммута ций (49.19) следует, что второе и третье из этих выражений равны друг другу и противоположны по знаку первому и четвертому выражениям. Далее, в силу (49.19) мы имеем (см. задачу 12) Уа(1, 1,...)Ь;Ь;ЬАУ(1, 1,...) = = 'и'а(1, 1,...)Ь1,1т',Ут(1, 1,...) = + 1. (49.23) Это равенство показывает, что часть среднего значения (49.21), соответствующая заполненным состояниям 1 и 2, имеет вид е'„! ! !г — г')-т „л,')!р;(1, г) !' ~)мр,(2, г)1айтот'— ! — е') (!г — г'/-т ч„"1р,(1, г)тр;(2, г) ч, Ю,(2, г')и,(1, г') йтйт'.
! (49.24) Второй интеграл в (49.24) называется обменной энергией. Ои появляется также, если вычислять среднее значение оператора кулоиовского взаимодействия с помощью аитисимметричиой волновой фуикции типа (32.7). й 50. Теория излучения Квантовая теория излучения состоит в рассмотрении по методу возмущений члена еа А (а часто и члена Яеа/г) в гамильтоииаие (49.15). Производились расчеты ряда физически интересных процессов, описывающихся выражениями различного порядка относительно электрического заряда е".
В большинстве случаев иет необходимости пользоваться кваитоваиным уравнением Дирака !что предполагается в (49.15)). Действительно, обычно в каждый О детали ряда вычислений и ссылки на оригинальные работы можно найти в книге ! айтлера !31. з 50. Теория излучения 445 данный момент времени рассматривается только один электрон и можно пользоваться теорией з 43. В настоящем параграфе будут рассмотрены только простейшие процессы испускания и поглощения света атомом, причем мы по-прежнему будем пользоваться полным аппаратом теории квантованных полей.
Будем считать, что взаимодействие рассматриваемого электрона с атомным ядром и с другими электронами можно описать с помощью эффективной потенциальной энергии (е(г) типа Хартри (см. З 38). Получаемые выражения совпадают с найденными в гл. Х полуклассическим путем. В конце этого параграфа будет показано, каким образом с помощью квантовой электродинамики можно дать количественное объяснение диффракционного опыта, рассматривавшегося в $ 2. Уравнения (49.15) или (50.2) описывают как волновые свойства излучения (появление диффракционной картины), так и его корпускулярные свойства (ионизация атома в результате поглощения светового кванта).
1й!Р = Н'Р, — 1Й1г'* = Ч'иН, (50.1) где гамильтониан Н дается выражением (49.15). В связи с этим можно показать, что временная зависимость матриц, характеризующих динамические переменные типа чр и А, обусловлена соответствующей зависимостью волновых функционалов Р, применяемых при вычислении матричных элементов (см. задачу 16 гл.
Х1П), Таким образом, теперь'зависимость динамических переменных от времени переносится на волновые функционалы. Прежде чем идти дальше, упростим гамильтониан, приближенно изобразив действие ядра и других электронов на данный электрон при помощи потенциальной энергии типа Хартри 1л(г). Тогда выра- Формулировка в терминах вероятностей переходов. Квантовая теория поля, развивавшаяся в последних двух главах, основывалась исключительно на гейзенберговской форме уравнений движения для компонент поля (ср.
$ 23). При таком подходе в центре внимания находятся не состояния системы, а динамические переменные. Однако теперь задача состоит в вычислении вероятностей переходов между состояниями системы электронов и электромагнитного поля, что позволит найти число квантов, испускаемых и поглощаемых атомом в единицу времени.
Для этой цели можно воспользоваться нестационарной теорией возмущений (см. $29), развитой впервые Дираком 114] как раз в связи с данной задачей. Состояния поля характеризуются волновыми функционалами, подчиняющимися уравнениям типа Шредингера: Гл, Х1!е. Квантовая электродинамики 446 жение (49.15) примет вид Н = Н, + Н', Н,= [вр*[!оса дгабвр+ 1'(г)тр — гпсв!)зр]вЫ-- + ] [2псврлв+ — (го1 А)'] Ыт, Н' = е ] р*а ° А р йт. (50.2) Невозмущенный гамильтониан Н, перепишем в другом виде, разложив А по плоским волнам, а зр по собственным функциям уравнения (49.17), в котором ядерный потенциал — Уеа/г заменяется на н' (г). При помощи (49.20) и (48.32) получим Но = Х И«Е«+ ~~ Ье!с [№л + г ] (50.3) гс М„= Ь„Ь«я №л= —.— аялаял. глас Правила перестановки определяются соотношениями (49,19) и (48.28): (Ь» Ь']е=[Ь: Ь:]в=0 (Ь.
Ь'] (аям ая.] = (аял, ал'л] = О, (аял, ая л] = Ьмеблл. гяас Тогда из уравнений (50.1) (где оператор Н заменен на Н ), (50.3) и (50.5) следует, что лР гармонически зависит от времени с часто- Операторы а и Ь коммутируют друг с другом. Энергию возмущения Н' также можно переписать в другом виде при помощи разложений (49.!8) и (48.35).
Поскольку теперь пере- менные поля зависят от времени только через волновые функцио- налы, в этих разложениях можно приравнять ! произвольной постоянной (например, положить | =; 0). В результате получим Н' = е1 ч ~и," Г ~Ь„'ллг(п, г)сял ° ая х ««ЪЛ х (анке™'+ айке-™")Ь«,ил,(п', г) сЬ. (50.4) Чтобы определить невозмущенные волновые функционалы, нужно задать квантовые числа п для состояний, занятых электро- нами, а также числа световых квантов пил с данным волновым век- тором и поляризацией: ! 'Р, если состояние и занято, (50.5) ] О, если состояние л сноболно. НяЛ'= пял!Р.
ле бО, Теория излучения 447 той, определяемой суммой энергий наличных электронов и световых квантов. Вычитая бесконечную нулевую энергию электромагнитного поля, мы видим, что зависимость У' от времени определяется выражением ехр ~ — — „(2'Е„+ 2,' йсггпвь)~1 (50.6) где штрих означает, что суммирование производится только по состояниям п, занятым электронами. Теперь мы можем применить развитую в $ 29 нестационарную теорию возмущений. Из вида выражения (50.6) следует, что имеют место только переходы с сохранением полной энергии электронов и световых квантов. Нам понадобятся матричные элементы оператора Н' в представлении, в котором матрица Н, диагональна.
Для вычисления их можно воспользоваться результатом действия (50.4) на волновые функционалы то, принимая во внимание соотношения (48.34) для а, соотношения типа (46.32) для Ь и условие ортонормированности, характеризуемое первой фурмулой (46.20). Матричные элементы оператора возмущения. Энергия возмущения Н', определяемая равенством (50.4), дается суммой членов, в каждом из которых содержится по одному оператору Ь и Ь', а также либо а, либо гг». Поэтому результат действия Н' на волновой функционал сводится к уничтожению электрона в одном состоянии с последующим порождением электрона в том же или в другом состоянии и к уничтожению или порождению светового кванта, Физически это соответствует переходу электрона в поле с потенциалом у' (г) из одного состояния в другое с одновременным поглощением или испусканием фотона, Рассмотрим сначала переход с поглощением кванта.
Начальный волновой функционал!Рте иян описывает состояние системы, в котором имеется пик квантов в состоянии й, Я и электрон в состоянии и' (могут быть также другие кванты и электроны, не принимающие участия в переходе). Конечный волновой функционал грве '"' описывает состояние системы с (пкк — !) квантами в состоянии и, Л и электроном в новом состоянии и (кроме того, имеются и другие световые кванты и электроны, если они были в начальном состоянии). Частота перехода го„= сов — гот дается формулой (50.7) Матричный элемент Н' для этого перехода равен ": Н', = ЕЕ Чч ~ ВК) ~ ~йГ,(П, Г)С™тань ° аяПГ,(П', Г) йт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
