Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 88
Текст из файла (страница 88)
задачу 14), Правила перестановки для плотности заряда. В теории Дирака без модификации (47.20), учитывающей наличие позитронов, плотность заряда дается выражением о(г, 1) = евр*(г, 1) р(г, 1) = е ~ р,' (г, 1) вр, (г, 1). Чтобы выяснить, в какой степени измерения о в различных точках пространства — времени влияют друг на друга, нужно вычислить коммутатор [а(г, 1), о(г', р)! = е'~[вру(г, 1)вр;(г, г)вр,*(г'г р)вр,(г', р)— н — р;(г', Р) р,(г', Р) р,'(г, 1) вр;(г, 1)1. При помощи (47.24) и (47.27) его можно привести к виду [о(г, 1), о(г', 1')] = ев.'5„'вр,'(г, 1) вр,(г', р) [дя — "+сан дгад+Ысф,,') х х Р(г — г', 1 — 1') — э. с., где з.
с. означает эрмитово сопряженное выражение. Вообще говоря, р(г, Е) коммутирует с а (г', р), только если Р(г — г', 1-р) = О, что заставляет нас исследовать структуру функции Р. Для атой цели заменим сумму по й в (47.28) интегралом т) [ср. (11.14)1: Интегрирование по полярным углам вектора й легко выполняется, и мы получаем Р(г, 1) = (2вввгс) ' [ lс()св + )сво)- и з!и )сг а! и сг()гв -)- )гво) и |й = о = — (4л'гс) ' — ~ ()си + lсвв) и сов Кг сйпс)()тв-1- lсвв) исУс. ов Подстановка )г = )го зй х дает СО Р (г, 1) = — (4л'гс) — ' — ~ сов(lс г ай х) а)п(lсвс1с)тх) йх. (47.30) и См.
работу Лирика 1!11. 27 л, шиее— 418 Гл. Хллв. Квоипювоиие волновых оолва Подинтегральное выражение в (47.30) можно переписать в виде — з(п(1гос1 ей х + /ге«81в х) + — зт (Кос( . ей х — /го«за х). (47.31) Дальнейшее преобразование зависит от соотношения между величинами с1 и «. Допустим сначала, что с1>«(«) 0 всегда); тогда можно положить 1гос1с'лх + й «зпх = й (сЧи — «а)и сЬ (х ~ 6), 1п О =— вт и интеграл в (47.30) примет вид — ] мп[гсп(х+ О)]ох+ — ] мп[гсй(х — 0)]дх, г — = /го(сЧ' — «и) Уч (47.32) Это выражение совпадает с одним из интегральных представ- лений функции Бесселя": ло(с) = — ] 81п(гсйх)дх.
Оба интеграла в (47.32) одинаковы; их сумма равна вту (г).Оче- видно, при с1 < О, (с1] > «интеграл в (47.30) равен — вт/ (г). Чтобы рассмотреть случай, когда сГ лежит между «и — «, предположим сначала, что «> сг =- О. Аргументы синусов в (47.31) преобразуем следующим образом: й с1 сИ х + и «зп х = 4- /се(«а — с (а) и зп (х + 0 ), 1п 0' =— —,. Тогда интеграл в (47.30) примет вид — $!П[е зп(х+ 0 )] вгх — — ] ейп[е'яп(х — 0 )] ах, г' = хо («' — сЧ') и. Так как подинтегральные выражения здесь представляют собой нечетные функции от х+ О' и х — О', то оба интеграла обращаются в нуль.
Таким образом, интеграл в (47.30) равен вв 7о[Й (сЧа — «') и] для с1 ) «, 0 для «) с1 > — «, (47.33) — тв.[о[Ко(сЧа — «')и] для — «) сй Тем самым показано, что измерения плотности заряда в двух различных точках пространства — времени не будут влиять друг на друга тогда и только тогда, когда пространственное И См. книгу Уиттекера и Ватсона [!21. Задачи 419 расстояние между точками превышает )с((. В этом случае никаким физическим способом нельзя передать возмущение нз одной точки в другую.
В четырехмерном пространстве — времени типерповерхности с( = +г образуют световой конус, представляющий собой геометрическое место всех световых импульсов, проходящих через пространственную точку г = 0 в момент времени 1= О. Заметим, что если т, увеличиваясь, пересекает световой конус при 1 О, то выражейие (47.33) скачком изменяется от + гг до О. Это позволяет получить явное выражение для Р(г,1) в точках, бесконечно близких к световому конусу.
Производная от скачкообразно возрастающей функции есть Ь-функция (со знаком „плюс"); таким образом, в силу (47.30) получаем Р(г, 1) (4гггс)-'[Ь(т — с() — Ь(т + сЩ, с( ~ г. (47.34) Интересно отметить, что если в соотношение (47.27) подставить функцию Р из (47.34)„то при 1= 0 правая часть (47.27) переходит в Ьпб(г). Это показывает, что в пределе (47.27) совпадает с третьим из соотношений (47.8), как, разумеется, и должно быть (см. также задачу 14). Чтобы убедиться в этом, отметим, что при 1 0 члены (соя. дгаг)+го(тай),) Р(г, 1) обращаются в нуль, так как при 1= 0 в (47.34) две Ь-функции взаимно уничтожаются. Однако член (В,1дт)Р (г, 1) при ( = 0 обращается в — (2ггт) 'Ь'(г).
Покажем теперь, что эта величина эквивалентна Ь(г). Пусть 1(г) — непрерывная функция с непрерывным градиентом в точке г = О. Тогда ) 1(г) Ь (г) г(х = ЯО). С другой стороны, — (1(г) (2ггт) ' Ь'(г) г(х = — ~ 1(г) (2ггг) — ' Ь'(г) 4лг' г(т = о ОО чч = — 1 1(т) 2тЬ'Яйт = — Я(т) гЬ'(т) ((г. (47.35) В силу четвертого равенства (11.13) выражение тЬ'(г) можно заменить на — Ь(г), и, следовательно, интеграл в (47.35) равен ЯО). ЗЛ)1АЧИ !. При помощи соотношений (45.12) — (4о.!4) показать, что в „приближении ячеек" классические уравнения Гамильтона для поля совпадают с уравнениями Лагранжа. 2. Показать, что уравнение и = (и, Н) справедливо и тогда, когда плотность функционала Гг зависит не только от т и и, но и от агав т и ягао и.
3. Волновую функцию т(го О можно рассматривать как функционал, которому соответствует плотность т(г, Од(г — г,), Лналогично можно рас- 27'— Ги Х111, Кванпювание волновал полей 420 сматривать и сопряженный с м импульс и. Показать, что, воспользовавшись этими выражениями, можно получить из (45.20) правильные уравнения дви- жения для м и ж. При их помощи вычислить также выражения длн комму- таторов м и я в различных точках пространства, но в один и тот же момент времени. 4. Подробно показать, что результат коммутирования оператора )Ч с ки- нетической энергией рабу' ° йгаб м в (46.10) равен нулю и что коммутатор (46.6) не зависит от времени. 5, Исходя из соотношений (46.14) и (46.15) и нз решения задачи ! гл, Ч1, показать, что матрицу оператора аю определяемого соотношением (46,!1), нельзя привести к диагональному виду, 6.
Обобщить соотношение (46.!!) н последующие формулы на случай непрерывного изменения индекса й. Затем, используя результат задачи 2 гл. П1, показать, что результат измерения числа частиц в бесконечно малой окрестности любой точки равен положительному целому числу или нулю.
ь117. Показать, что если функционалы Ч'ортонормированы, то соотношения (46.21) и (46.20) полностью эквивалентны друг другу, 8. Показать, что алгебраические свойства антикоммутаторов отличаются от свойств. квантовых и классических скобок Пуассона. 9. В тексте показано, что амплитуда электронного поля не может быть классически измерена, так как электроны подчиняются принципу Паули и несут электрический заряд. Объяснить, почему можно наблюдать диффрак- ционную картину, возникающую при рассеянии электронов от кристалла, хотя она представляет собой результат интерференции электронных волн. 10, Показать, что для частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, в нерелятивистском случае величина Н представляет собой интеграл движения.
11, Рассмотреть систему частиц Ферми — Дирака, которан может нахо- диться в двух состояниях. Получить явные выражения для матриц а н Р, аналогичные (46.29) и (46. 30). 12, Показать, что в теории Дирака неквантованные уравнения Гамиль- тона согласуются с соответствующими уравнениями Лагранжа. 13. Показать, что оператор )Ч, определяемый соотношением (47.10), ком- мутирует с гамильтонианом дираковского поля (47.6). 14.
Показать, что соотношение антикоммутации (47.27), связывающее операторы ми м" в различных точках пространства — времени, при совпадении моментов времени переходит в третье соотношение (47.8). (Заменить сумму по 8 в (47. 28) интегралом (47.29) и воспользоваться представлением д-функции, данным в ! ! 1,) !5. Показать, что как при квантовании нерелятивистского уравнения Шредингера, так и в квантованной теории Дирака получается соотношение (й(г, !), о(г', !)) =0, !6 Показать, что если волновые функционалы удовлеворяют уравнениям шредингеровского типа 18Чг= НЧ', — !5Ч'в = ЧгвН, то для производной по времени от матричного элемента любого оператора Р справедлива формула (45.23).
[Сравнить с переходом от (23,!) и (23.2).) Показать также, что если система Р приводит к диагональному виду как Н, так и )Ч, то 'Р гармонически зависит от времени с частотой, определяемой соответствующим собственным значением Н. Л И Т Е Р 1г Т У Р 1г 1, % е и 1 х е! Оч В1пВ7йгппй 1п б!е анап!еп!пеог!е бег Ъе)!еп1е(бег, Ч!еппа, 1943. (Имеется русский перевод: Г.
В е н т цел гн Введенне в квантовую теорию волновых полей, М,— Л., 1947.) Литература 2. Н е 1 з е п Ь е г 6 Мг., ТЬе РЬуяса! Рг1пс!Р1ез о! 1Ье Япап1шп ТЬеогу, СЫ- сабо, 1930. (Имеется русский перевод: В. Г ей вен б е р г, Физические принципы квантовой теории, М.— Л., 1932.) 3.
О ! г а с Р. А. Мч ТЬе Рг1пс!р1ез о! анап!шп МесЬап!сз, 36 еб., Ох1огб— Ыечг Ъогй, 1947. (Имеется русский перевод 2-го издания: П. Д и р а к, Основы квантовой механики, М. — Л., 1937.) 4. О о ! б з ! е1 и Н., С!азяса1 Меспап!сз, СатЬг!66е, 1950. (Имеется русский перевод: Р, Голдстей н, Классическан механика, М.— Л., 1957.) 5. СогЬеп Н, С., 61еЬ!е Р., С!азз!са! Меспап)сз, Хечг Уог1с, 1950. б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
