Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 90
Текст из файла (страница 90)
что йч А сохраняется. Удобно воспользоваться оставшейся у нас свободой в выборе калибровки так, чтобы в некоторый момент времени йчА была всюду равна нулю. Тогда йчА будет равна нулю всюду и в любой момент времени. Ясно, однако, что это дополнительное условие не совместимо с правилами перестановки (48.8). Например, поскольку йч Р = О, коммутатор А и йч Р должен был бы обращаться в нуль; однако в силу (48.8) он равен [А„(г, !), йч'Р(г', !)] =! —, д(г — г'). Возникновение такого несоответствия не может вызывать удивления.
Действительно, в уравнении (48.8) предполагается существование трех независимых пар канонических переменных, в то время как условия йч Р = О и йч А = О оставляют только две линейно независимые пары. Поэтому следует изменить правила перестановки так, чтобы они соответствовали дополнительному условию. Это сделано в задаче 2. Оказывается, что коммутатор А (г„!) и Р(г', !) не обращается в нуль при конечных значениях г — г'. На первый взгляд могло бы показаться что это противоречит физическому принципу, согласно которому измерения, проводимые в один и тот же момент времени в различных точках пространства, не должны влиять друг на друга (см. [> 47).
Однако векторный потенциал А сам по себе не является физическойвеличиной; непосредственно доступны измерению только напря>кенности электрического и магнитного полей. Пока>кем теперь с помощью (48.8), что правила перестановки для Е и Н удовлетворяют названному принципу и, кроме того, согласуются с дополнительным условием йч Е = О. Можно показать также (см. задачу 3), что такие >ке результаты получатся, если воспользоваться видоизмененными правилами перестановки, приведенными в задаче 2. Правила перестановки для Е и Н.
Напряженности электрического и магнитного полей определяются соотношениями Е = — 4>всР, Н = го1 А. (48.10) Пусть правила перестановки для А и Р имеют вид (48.8). Сразу же видно, что [Е,(г, !), Е,,(г', !)] = [Н,(г, !), Н,. (г', !)1 = О, (48.11) Гя. ХГ К. Квантовая влектродинамаяа 428 первые два уравнения Максвелла (48.1) получаются как частные случаи общего уравнения движения (45.23) (см. задачу 5): ИЕ, = [Еха Н1 = 8— ] [Е„(Н," ,+ Н;х)1 хЬ' = (йс (гог Н), (48.16) ИН,= [Н, Н1= — „] [Н, (Е„'+ Е х)ДсЬ' = — Ис(гос Е),. Представление через плоские волны.
В ряде применений оказывается полезным представление потенциалов и полей прн помощи полной ортонормнрованной системы плоских волн. Последние представляют собой векторные функции г, поляризованные перпендикулярно волновому вектору (так что выполняются условия х)1ч А = х[1ч Р = 0), н имеют внд пах(г) = Ь- авххе"', я = 1, 2. Векторы н выбираются в соответствии с (11.3), так что функции нхх удовлетворяют периодическим граничным условиям на стенках куба объемом Ьв. Величины вхх представляют собой еднннчные векторы, образующие вместе с н правовннтовую систему, так что и вхх= 0 н дЬ пах=О.
Легко проверить, что условие ортонормнрованностн принимает внд [ Нхх Нх х аг = два Ьхх. Разложим А н Р по функциям пах .. А(г, 1) = Д' [дхх (1) нхх(г) + дхх(Г) пах(г)], Р(г, 1) = ~'[Рхх(Г) пхх(г)+Р~х(1)йхх(г)), (48.17) Хх Операторы дхх н р1х эрмнтово сопряжены соответственно с дхх н р,м так что операторы А н Р эрмнтовы. Штрихи показывают, что суммирование производится по половине к-пространства, вследствие чего плоские волны нах пе совпадают с и хх. Возьмем правила перестановки для ~7 н р в виде [~ах(Г), Рх х (Я] = [Д1',х(1), Рх х (1)] = Идхх бх х (48 18) (все другие пары коммутнруют) н убедимся, что отсюда вытекают должные правила верестановкн для А н Р. Очевидно, что [Ав(г, 1), А,,(г', 1)] = [Р,(г, 1), Р,,(г', Г)] = О, у 48.
Электромагнитное лоле е вакууме 429 На основании (48.17) и (48.18) мы получим также [А,(г, 1), Р, (г', ()1 = ~' ~' [[()лл(1), рл л(1)) и„,в(г) иуелле(г) + (гл лча -1- [(7ол(1), рм;(1)[йллм(г) и„-„(г')) = = 1гвл Долл веггл 'е (48.19) 2; (ев(ге, еггл,велл,в' = овв' Мы имеем также (((( Егы (г — г'г Евл (» — в г э э =а,э,, Подставляя эти выражения в (48.19) и переходя при больших 1 от суммирования к интегрированию (1.-е." ,-+ (2вг)-о ) ((тл ), можно переписать (48.19) в виде [А,(г, 1), Ру(г', 1) = Иову[(2ее)-в [ е(к( айте~в — И вЂ” —, [(2л)-' ~ — „, еск ('-'> (Ьл~ ' (48.20) здесь первое выражение в квадратных скобках равно Ь (г — г') второе слагаемое представляет собой функцию Грина Оо(г, г') определяемую равенством (26.12).
Согласно (26.15), она равна (4вг!г — г'!) л. Таким образом, коммутатор (48.20) принимает вид [А,(г, 1), Р;(г', 1)1 = Иомео(г — г) 4 Э ' ~,~) (48.21) 4м дв'в де в что соответствует предположению, сделанному в задаче 2. Остальные коммутаторы обращаются в нуль. Этим подтверждается правильность выбора правил перестановки (48.18). Индексы з, у' означают декартовы компоненты векторов; у последней суммы в (48.19) штрих отсутствует, так как сумма со штрихом по 1( и — 1( эквивалентна обычному суммированию по всему 1(-пространству. Прн наличии трех взаимно перпендикулярных векторов елл три числа е лл,, представляли бы собой направляющие косинусы, характеризующие направление у; при этом мы имели бы ~ елл„елл,,', = дв,, Поскольку фактически имеется только два единичных вектора еал, перпендикулярных друг другу и к, можно написать Гл. Х1 $'.
Квантовая элентроданамина 430 Энергия квантованиого поля. Подставляя (48.17) в гамильтониан поля (48.7) и принимая во внимание, что операторы ()н( и 4а„и рн„н рая коммутируют друг с другом, получаем йв 4весв Рилр(ел+ 4 Ч(аул ~' н( 4а (48.22) (й()нл = (Ч(а, Н1 = 4(е(йсврюв 1айв 4 (48.24) Исключая рнм найдем уравнение второго порядка для дал.. (7 1 = 4ле рк„= 7(~~с4аа Оно легко интегрируется; в результате получим по образцу (48.23) (7нн(1) = а„,е "а+ а~",,е™' (48.25) Теперь первое уравнение (48.24) дает р„„(1) '~ а „вЂ” гла 1 '~ а„" ма (48.2б) еяе 4 не Здесь мы учли, что суммирование производится по половине й-пространства, в связи с чем все интегралы типа ~на, и,, ат обращаются в нуль.
Найдем теперь собственные значения Н с учетом правил перестановки (48.18). Это можно сделать, выбирая такие линейные комбинации амплитуд плоских волн, в которых Н формально приводится к сумме энергий ряда гармонических осцилляторов (см. $ 46). Каждая пара индексов и, Л теперь соответствует двум линейно поляризованным плоским волнам, распространяющимся в противоположных направлениях вдоль оси К.
Таким образом новые линейные комбинации (7анинн и раяпня должны иметь вид анне((я в — вав а(', е1(н ен ыо (48.23) где аа( и аня — операторы, не зависящие от г и П Первое из этих выражений описывает плоскую волну с положительной круговой частотой Хе, распространяющуюся параллельно вектору й, а второе эрмитово сопряжено с выражением для плоской волны той же частоты, распространяющейся в противоположном направлении, Руководствуясь замечаниями, сделанными в предыдущем параграфе, определим теперь зависимость ()(а и ран от времени.
Уравнения движения для этих величин в соответствии с (45.23) имеют вид з 48, Элентромоенитное поле в ваняоме 431 Равенства (48.25) и (48.26) позволяют найти а и а*: 1 у 4п1е аал = —,1Ф л+, ркл) Е'"", 1 ~ 4п)с акл= г (Чкл — — ~ рлл) е '""'. (48.27) Аналогичные соотношения имеют место и для эрмитово сопряженных операторов.
На основании (48.27) и (48.18) можно найти правила перестановки для а, а*: г йс 1акл, аь;1= (аил, аьл)= „бк~ балл -. л* Н = .5, — (аллалл+аклакл). и (48.29) Если, по определению, положить )с Мах = а;лаюо №л = — алла~„(48.30) то из результатов $ 46 следует, что собственные значения операторов Мах и №, равны О, 1, 2,... Гамильтониан (48.29) в переменных Х принимает внд Н = .5;" Ы(1л) л + И' + 1). (48.31) Из выражений (48.23) и (48,25) видно, что аал можно ото>кдест- вить с а кл, а №,— с М к;. Тогда в сумме (48.31) можно отказаться от суммирования только по половине и-пространства, и мы полу- чаем окончательно Н = Хлс)с (№л+ 1) (48.32) Равенство (48.32) эквивалентно квантовой гипотезе Планка: энергия каждой плоской электромагнитной волны составляет целое кратное элементарного кванта )1о = Ф)сс.
Однако, кроме энергии квантов, имеется еще нулевая энергия гармонических осцилляторов. Каждое состояние поля вносит в нее вклад, равный половине кванта, а так как число состояний бесконечно, то бесконечна и нулевая энергия. Однако появление ее не встречает возражений, так как она не взаимодействует с заряженными частицами". ') См. также замечания, следующие за формулой 150.!7). (все другие пары операторов коммутируют).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
