Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 92
Текст из файла (страница 92)
(49.7) б!ч Р„= О, го(Р =О. Здесь Р, представляет собой соленоидальную, а Р, — потенциальную части вектора Р. Если теперь положить Р, = (4пс)-' вегас! 7, то третье уравнение (49.7) удовлетворяется, а первое уравнение (49.6) принимает вид — = 4эвсэР . зА зе (49.8) Если теперь равенство б!ч А = — О выполняется в какой-либо момент времени, то оно будет верно и всегда, так как из (49.8) и второго из уравнений (49.7) следует, что (а/з!) 8!ч А = О. Поэтому мы выберем калибровку потенциалов так, чтобы б(ч А = О.
Зтот интеграл равен по величине и противоположен по знаку первому содержащему р члену (е ! чнра~фв). Таким образом, потенциал р не входит в гамильтониан и может быть выбран произвольно, Мы воспользуемся этим произволом для того, чтобы при разделении Р (или Е) на солсноидальную и потенциальную части последняя выражалась только через 7. Положим Р=Р,+Р, Гл. ХХ К, Квантовая электродинамики 438 Потенциал о вновь появляется в гамильтониане (49.5) через член Р'. Учитывая выражение для Р, и интегрируя по частям, объемный интеграл от Р' можно записать в виде / Райт = / Р, 'сЬ + ! (2Р, + Ра) ° Ра(Ь = 1 = ~ Райт + — ~ (2Р, + Р,) ° вагаб !о ° йт = ! Р~~~Ь вЂ” 4— ~ Р !ч (2Ра + Ра)дт. Но 41чР, = О„а из дополнительного условия следует, что б!ч Р, = — Р~с. Поэтому член с Р' в гамильтониане принймает вид 2лс' ) Ра~Ь = 2пс' ~ Р,'Ит + — ) Реса.
(49.9) При нашем выборе Р ~'!и = 4лс б! ч Р = — 4пи. Это уравнение можно проинтегрировать с помощью функции Грина (26,15), полагая в ней й = О. В результате получим ,,(,, 1) ~ е(',О,.л; При помощи (49.9) и (49.10) гамильтониан (49.5) можно переписать в виде Н = ! Ра(а ((йс дгаб + еА) и — тс'Щйт + + ~ [2ж'Р~+ — ( о!А)'1й~+ — О е(-'--) ~~,-' й~й~", (49.11) здесь сИч Р, = б!ч А = 0 и Р(г, 1) = еиа(г, 1) Р(г, 1).
Последний член в (49.11) представляет собой энергию кулоновского взаимодействия электрических зарядов, распределенных с плотностью о(г, 1). Он получается сам собой, в результате исключения т из безвихревой части Р, и не должен вводиться в теорию с помощью особого предположения. Соленоидальные векторы (Р, и А) обычно называются поперечной частью электромагнитного поля, поскольку, как и в $48, напряженности электрического и магнитного полей в соответствующих плоских волнах перпендикулярны направлению распространения.
Везвихревой кулоновский вектор (Р„) называется продольной частью поля, так как в силу (49.10) составляющая вектора Р, в данной точке, обусловленная находящимся в другой точке бесконечно малым элементом заряда, направлена вдоль вектора, соединяющего две эти точки. д 40 Вэаимодедствие электронов с электромагнитным нолем 439 Квантование полей. Мы получим квантовую теорию взаимодействующих друг с другом электронного и электромагнитного полей, если допустим, что а) уравнение движения для любой величины имеет вид (45.23), б) компоненты электронного поля подчиняются соотношениям антикоммутации (47.8) и в) для электромагнитного поля справедливы правила перестановки (48.21) с заменой Р на Р,. Будем считать также, что все компоненты ср и срэ коммутируют со всеми компонентами А и Р,.
В классическом случае порядок следования множителей типа асг и ср, в гамильтониане (49.11), разумеется, не имеет значения. Однако в квантовой теории они не коммутируют друг с другом, и результаты вычислений могут зависеть от расположения множителей в гамильтониане. В конце настоящего параграфа мы увидим, что правильный вид гамильтониана получается, если везде, кроме подинтегрального выражения в кулоновском члене, оставить все операторы на своих местах. Указанное подинтегральное выражение содержит член 4 4 о(1', 1)д(г'с 1) = ~ ~враг(гс 1)ср;(гс 1)ср,(г', 1)ср,(г',1), (49.12) 1-1 с-1 вместо которого мы напишем " 4 4 ~ ~сР,'(Гс 1) сРс(Г', 1) сР1(Гс, 1)сР1(Гс 1).
При помощи соотношений антикоммутации (47.8) можно показать, что выражение (49.!2) отличается от (49.13) дополнительным слагаемым 4 ~ ср,' (г, 1) ср1 (г', 1) 6 (г — г'). 1-1 Поэтому переход от (49.12) к (49.13) эквивалентен вычитанию из гамильтониана (49.11) величины еэ [ ~ Гс" (с, 1) ср(т', 1) д (т — с') (49.14) Если срв (г, 1)ср(г', 1) не обращается в нуль, то это выражение, очевидно, бесконечно; ниже будет показано, что так обстоит дело всегда, исключая случай, когда в поле нет ни одного электрона. Квантовые уравнения движения вытекают из (45.23), если заменить в гамильтониане (49.11) выражение (49.
12) на (49.13). Уравнения электромагнитного поля совпадают с полученными в $48, с той лишь разницей, что Р заменяется на Р„и появляется член с электрическим током [как во втором уравнении (49.6)[, Уравнение О Замесим, что оба выраженсся (49.12) н (49.13) эрмнтовы. Гл, Х1'т'. Квантовая влвктродинамика 440 электронного поля совпадает с (49.1), с заменой потенциала т выражением е т (т'' 0 'р(т'' б й ! т — т' ) Можно показать, что производные по времени от антикоммутаторов и коммутаторов (47.8) и (48.21) равны нулю, так что, если зти соотношения, как и предполагалось, справедливы в начальный момент времени, то они выполняются и в любой другой момент (см.
задачу 11). Учет статических полей. До снх пор мы предполагали, что плотности электрического заряда и тока обусловлены только электронами, описываемыми у»полем Дирака. Статическое распределение заряда легко учесть, добавляя в правую часть третьего из уравнений (49.2) величину 4лд„а в левую часть (49.1) величину — ср,вр, где уат, = — 4тао,. Нетрудно видеть, что при этом единствейное изменение в гамильтониане (49.11) будет состоять в добавлении члена ) е(а,трэврс(т. Наибольший практический интерес представляет тот случай, когда " ле т'в Это соответствует фиксированному (бесконечно тяжелому) точечному ядру с атомным номером 2, расположенному в начале координат.
Добавляя этот потенциал и принимая во внимание замену (49.13), получаем вместо (49.11). Н = ) р* [вт (Ис вегас( + сА) тр — — вр —. тсартр1 ои -(- + Д2 с'Р, '+ — (го1А)'~ с(с+ — ~ )' 5' -'в ' ',— 'йъйт'; (4915) н штрихи здесь означают, что аргументом является вектор г', а не г Применение теории возмущений. Естественно попытаться найти собственные значения гамильтониана (49.15), которые будут представлять собой уровни энергии системы электронов, электромагнитного поля и кулоновского поля ядра. Однако все подобные попытки потерпели неудачу, и есть основания считать, что таких О Величина е представляет собой заряд электрона н потому отринательна. Э ЕО, Вэапмодейсглвие электронов с элекглромаалиглным полем 441 собственных значений вообще не существует, т. е.
данный гамильтониан диагонализовать невозможно. Это заключение связано с теорией возмущений, основанной на предположении о малости заряда е. Если приравнять е нулю, то выражение (49.15) будет равно просто сумме гамильтонианов свободного электрона (47.6) и электромагнитного поля в вакууме (48.7). Эти гамильтониапы уже были приведены к диагональному виду; соответствующие собственные значения принадлежат решениям, описывающим системы с заданным числом свободных электронов и световых квантов, не взаимодействующих друг с другом.
При конечных значениях е ни ядерный член (порядка Лея~, ни кулоновское взаимодействие между электронами (порядка е ) не приводят к трудностям фундаментального характера. Как будет показано ниже, последний член привел бы к бесконечной электростатической или продольной собственной эиергии (имеюшейся также и в классической теории точечных зарядов), если бы мы несколько произвольно не заменили выражение (49.12) на (49.13). Более серьезные трудности обусловлены членом еа А, описывающим взаимодействие электронов с поперечным электромагнитным полем.
Он обусловливает все процессы взаимодействия электронов со световыми квантами и будет использован в следующем параграфе для рассмотрения актов испускания и поглощения света атомом. Один из результатов этого взаимодействия состоит в появлении у свободного электрона бесконечной поперечной собственной энергии, связанной с виртуальным испусканием и поглощением фотонов.',*В дальнейшем мы будем игнорировать этот эффект ы. Мы будем пользоваться главным образом методом возмущений и рассмотрим прежде всего матричные элементы кулоновского взаимодействия между электронами, оставляя пока без внимания поперечное электромагнитное поле.
Данный пример представляет интерес в том отношении, что он показывает, каким образом исключается бесконечная электростатическая собственная энергия и каким образом квантовая теория поля приводит к обменному взаимодействию между электронами (подчиняющимися статистике Ферми — Дирака и описывающимися антисимметричными волновыми функциями). Рассмотрение члена еа А в рамках теории возмущений будет произведено в $ 50. Матричные элементы оператора кулоновского взаимодействия.
Рассмотрим гамильтониан (49.15), исключив из него поперечное '1 Релятивистски инвариантный способ вычитания бесконечностей данного типа развит в статьях Томонага [8, 91 и Швингера [10, 11]; ськ также работы Фейнмана [12], Дайсона ]4, 13] и кингу Гайтлера [3], гл. б. Гл. Х1У, Квантовая электродинамики 442 электромагнитное поле: Н = ~ тре (гйса ° пгад тр — — тв — гпсвЯвр) Ик + 2'в' Эта апроксимация оказывается удовлетворительной, пока скорости электронов малы по сравнению со скоростью света, так как тогда вероятность испускания световых квантов довольно мала. В этом случае при описании электронов можно пользоваться нерелятивистским уравнением Шредингера (с учетом спина), хотя мы по-прежнему будем применять уравнение Дирака.
Волновое уравнение для одного электрона в кулоновском поле имеет полную ортонормированную систему собственных функций, которые мы будем обозначать через иг,(п,г) ": )' ~ Ю, (п, г) и; (п', г) й в = д„„о (49.17) ~~(1йсаядгад — — Ь, — гнева,,) ж,(п, г) = Е„ю,.(п, г). При л = О зти функции переходят в решения (47.11), соответствуюгцие свободному электрону. Как и в (47.15), разложим тр и тре по функциям тр: вр,(г, 1) = ~ Ь(п, 1) тр; (п, г), я (49.18) где Ь вЂ” операторы, подчиняюгциеся соотношениям антикоммутации типа (47.1б): (Ь(п, 1), Ь(п', Щт = (Ьв(п, 1), Ь'(и', 1)1т = О, (49.19) (Ь(п, 1), Ь*(п', 1)] = д„ж. Подставляя (49.18) в (47.10) и принимая во внимание условие орто- гональности (49.17), получаем М = ) Ц3аврггк = ~ Ь*(п 1) Ь(п 1) = Х Ь1 и„= Ье(п, 1) Ь(п, 1).
и я О Эти функции характеризуют каи связанные состояния, так и состояния с положительной и отрицательной энергией, прнвадлежащие непрерывному спектру; последний превращается в дискретный при наложении периодических условий. Индекс л включает одновременно и спин. ВР. Взаимодействие электронов с электромагнитным полем 443 Аналогично первый член в гамильтониане (49.1б) принимает вид ~~'" Ьа(п, 1) Ь(п, 1) Еп = ~ И„Ет (49.20) Коль скоро второй член в (49.!б) рассматривается как возмущение, то интерес представляют его матричные элементы в представлении, в котором первый член диагонален. Подставляя(49.18) в оператор энергии кулоновского взаимодействия, получаем — Ьа(п, 1) Ьа(п', 1) Ь(п", 1) Ь(п"', 1) х пп' и" и"' х ~Д2г — г~-'2р2(п, г)У2(п', г) и,(п", г ) в2 (п"', г) гЬсйт'. (49 21) Задача состоит, в вычислении матричных элементов оператора (49.21), связывающих два произвольных невозмущенных волновых функционала (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
