Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(50.8) Ю Знаковым множителем уиуя', появляющимся в силу соотноше ния (46.32), в настоящем параграфе можно пренебречь. 448 Гл, Х1 У. Кван пювая влектрадинаника В нерелятивистском случае приближенное выражение для (50.8) можно получить, заменяя одноэлектронные волновые функции Дирака и, (и, г) йа волновые функции Шредингера в„(г). Из соотношения (43.21) и результата задачи б гл. Х1! следует, что оператор скорости равен — са; в нерелятивистском случае его можно заменить на ( — 1В)т) игаб. Тогда матричный элемент (50.8) примет вид Н;, = — Е )в (- ~ „8 — '1 ) и„(г) е™геик йгаб и „,(г) еЬ.. (50.9) Множитель е'"' можно поместить как до оператора йгаб, так и после него, поскольку в подинтегральное выражение входит только компонента градиента в направлении вектора екм перпенидкулярного и. Вероятность перехода с поглощением.
В дальнейшем мы будем пользоваться нерелятивистским приближением, так как получающиеся в этом случае результаты допускают непосредственное сравнение с результатами гл. Х. Амплитуда некоторого волнового функционала в момент времени 1 дается формулой (29.9), откуда, принимая во внимание (50.9), получаем (отнесенную к единице времени) полную вероятность поглощения светового кванта в состоянии и. л: 1 ~ 4 ~ Н;, ~Я в1ав(шайи) вк " ш11 у 8аевапьк ) ~' — „, 1в вт~(шв,Я) Предположим теперь, как и в $35, что состояния и и и' принадлежат дискретному спектру, а частоты ш падающего излучения распределены в некотором интервале около точки (ń— Ему~Я.
Тогда излучение можно охарактеризовать его интенсивностью 7(еа) йо в бесконечно малом интервале частот е(ш. Суммирование по состояниям поля излучения и, л удобно заменить интегрированием по га. Каждый квант дает вклад йш/ЕР в плотность энергии, что соответствует возрастанию интенсивности на величину йсв/Ы Поэтому можно заменить сумму Х( ) пик интегралом (50.11) З аО, Теория излучения 449 Зависящий от времени множитель в правой части (50.10) имеет резкий максимум при ш„= О, что в силу (50.7) эквивалентно равенству 12а2 = ń— Е„,. Другие множители изменяются относительно медленно; после замены (50.11) их можно вынести за знак интеграла по еа, который тогда принимает вид а!ил (а2ачг72) 1 а1$,! 2 2 Поэтому для вероятности поглощения (50.
1 О) находим — ~ ) гг„е1аиееи1 дгаб гг„,г!г '» (50.12) что совпадает с соответствующим выражением (35.17), получен- ным в гл. Х. Вероятность перехода с излучением. Соотношение (50.7) означает, что в состоянии и электрон обладает большей энергией, чем в и'. Теперь мы можем найти (отнесенную к единице времени) вероятность переходаэлектрона из состояния п в и'с излучением одного светового кванта. При этом существен член с ай! в (50.4), и матричный элемент, аналогичный (50.9), имеет вид — Е 92~ ~ ~~'~ ~) ) а)и е ги'рил дгадггиНт (50.13) где пил представляет число световых квантов, первоначально имевшихся в электромагнитном поле в состоянии й, 2.
Расчет, аналогичный тому, который привел нас от формулы (50.9) к (50.12), дает следующее выражение для вероятности излучения: —,—,—, ) а„,е-гюлеил дгадгу„~Ь~ + Щ221! Два члена здесь, очевидно, обусловлены соответственно слагаемыми лил и 1 в множителе(пил+1)'", фигурирующем в (50.13). Первый член, пропорциональный интенсивности падающего излучения, совпадает с выражением (35.19) для вероятности вынужденного излучения.
Второй член не зависит от интенсивности первоначально имевшегося излучения; покажем теперь, что он совпадает с вероятностью спонтанного излучения, полученной в гл. Х. Для упрощения второго члена в (50.14) заменим суммирование по и интегрированием по ш или по а221. Для этого нужно 29 л. шиьф 450 Гя, Х1 'з'.
Кваннзавая электродинамики вычислить число состояний электромагнитного поля с круговой частотой в интервале от ю дою+ Ию. В $11 при рассмотрении периодических граничных условиИ было показано (см. (11.3)), что число плоских волн с волновыми векторами в интервале Ый,ЩО7е, равно (1.12л)з Ы,акяа1е,. Поэтому, если в некоторой фиксированной системе координат йаправление волнового вектора к характеризовать полярными углами О, а, то число плоских волн с круговой частотой в интервале Йо и направлением распространения в телесном угле дддвз будет равно (- — — ) ейп О ЙО «(зр Ива. Как и раньше, во втором члене (50.!4) можно произвести интегрирование по а>; в результате получим 2 ,,)) Р,ее з"'"е„к йгайн„йт! сйп ООООа, (50.15) Выражение под знаком суммы в (50.15) представляет собой (отнесенную к единице времени) вероятность спонтанного излучения светового кванта с волновым вектором к и поляризацией Л в угловой интервал дОЫЧз.
Следовательно, выражение (50.15) дает полную вероятность спонтанного излучения при переходе и — п'. Чтобы сравнить ее с соответствующим выражением в $36, рассмотрим частный случай дипольного излучения, заменяя в связи с этим в подинтегральном выражении е '"'" на единицу, а угад на — (ака/$) г [см. (35.20)). Тогда получим ез „з Х 1 ~э вез екк ~ Вн.гюнт 21пбв(ОвЬР. (50.16) в а Направления поляризации волнового вектора можно выбирать как угодно, лишь бы они были перпендикулярны друг другу и вектору к.
Пусть одно из них лежит в плоскости векторов к и матричного элемента (г)„,„, а другое — в плоскости, перпендикулярной ей. Тогда будет иметь место излучение только в первом направлении, и в подинтегральное выражение войдет множитель 21пзО, где Π— угол между и и (г)„,н. Таким образом, поляризация и угловое распределение испускаемого излучения согласуются с найденными в $ 36. Полная вероятность спонтанного дипольного излучения в силу (50.16) составляет я2я 21пз О~ 1вн,гю„~Ь ~йз„,гв„йъ) гйп ОЯ Озв = за~ /(г)„.„)з, (50.17) что совпадает с выражением (36.22). з 50. Теория излучения 4Ы В квантовой электродинамике вероятности спонтанного и вынужденного излучения получаются единым образом, тогда как в гл.
Х они вычислялись совершенно различными способами. Как указывалось выше, спонтанное испускание связано с наличием единицы под знаком корня(яка+ [)и, фигурирующего во второй из формул (48.34). Зта единица в свою очередь получается из правил перестановки (48.28), так что здесь мы имеем дело с чисто квантовым эффектом. С формальной точки зрения можно сказать, что вероятность спонтанного излучения равна вероятности вынужденного излучения, которое имело бы место при наличии в каждом состоянии электромагнитного поля по одному кванту (см.
задачу 4 гл. Х). Но, согласно(48. 32), наименьшая возможная энергия поля соответствует наличию половины кванта в каждом состоянии. Это наводит на мысль, что спонтанное излучение можно было бы рассматривать как результат действия нулевых колебаний электромагнитного поля. Однако нужно отметить, что в отношении переходов с излучением эти колебания оказываются вдвое эффективнее настоящих квантов, а поглощаться они вообще не могут. Анализ диффракциоипого опыта.
В качестве [последнего примера рассмотрим диффракционный опыт, обсуждавшийся в 9 2'1. Чтобы по возможности упростить вычисления, оставим в установке, изображенной на фиг. [, только существенные части. Таковыми являются источник света Я, диафрагма с двумя щелями А и приемник света, который можно располагать в различных точках плоскости В. Будем считать, что источником служит возбужденный атом, способный испускать световой квант. Пусть роль приемника играет атом другого типа, находящийся в основном состоянии и ионизующийся при поглощении кванта, испускаемого атомом-источником (фотозффект). Диафрагма предполагается сделанной из идеально отражающего материала. Атомным строением диафрагмы мы пренебрегаем; роль ее сводится просто к наложению определенных граничных условий на электромагнитное поле.
Интересующий нас физический процесс состоит в том, что первоначально возбужденный атом-источник испускает световой квант, а атом-детектор поглощает его и ионизуется. Однако фактически самый процесс перехода светового кванта нельзя наблюдать, не обращаясь к установке типа изображенной на фиг. 2, а такой эксперимент нас сейчас не интересует. Величиной, которую нам действительно нужно вычислить, является вероятность перехода из состояния, в котором атом-источник возбужден, атом-детектор находится в основном состоянии и кванты отсутствуют, в состояние, где атом-источник не возбужден, атом-приемник ионизован и кванты также отсутствуют. Зная указанную '1 См.
также работы Рака [16), Гейаеиберга [17[ и Ферми [1[, а ! О. 29 — га†Гл, Х! Ч, Квантовал злектроданамака 452 вероятность, мы сумеем ответить на вопрос о том, как зависит вероятность ионизации от положения приемника на плоскости В, если источник света расположен в точке б. Мы увидим, что эта вероятностл будет пропорциональна интенсивности, вычисляемой по классической электродинамике в предположении, что источник света находится в точке 5. Таким образом, квантовая электродинамика описывает как диффракционную картину, характерную для световых волн, так и вырывание фотоэлектронов, характерное для световых квантов. Из вида гамильтониана (формулы (50.2) и (50.3)] следует, что электроны различных атомов взаимодействуют друг с другом только через электромагнитное поле.
Поэтому интересующий нас процесс описывается лишь вторым приближением теории возмущений". Поскольку в начале и в конце кванты отсутствуют, в промежуточных состояниях имеется один квант, а атомы либо оба находятся в основных состояниях, либо источник возбужден, а приемник ионизован. Промежуточное состояние первого типа соответствует такому процессу, когда источник переходит в основное состояние, испуская световой квант, а детектор поглощает его и ионизуется. Поскольку в промежуточных состояниях энергия может и не сохраняться, энергия светового кванта не обязана совпадать с энергией возбуждения источника (см. $29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
