Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Промежуточное состояние второго типа соответствует такому процессу, когда детектор ионизуется, испуская световой квант, а источник поглощает его и переходит в основное состояние. Ясно, что в этом случае в промежуточном состоянии энергия не может сохраняться. Матричный элемент второго порядка для всего процесса получается суммированием выражений типа (29.20) по всем возможным промежуточным состояниям светового кванта, принадлежащим к обоим типам. Принципиальная сторона проводимых далее вычислений не зависит от частных особенностей опыта, схема которого изображена на фиг.
1. Мы не будем явно определять фактически получающуюся диффракционную картину; вместо этого будет показано, что квантовые и классические результаты совпадают для любой установки, состоящей из идеально отражающих диафрагм как со щелями, так и без них. Такой вывод не может вызвать удивления, так как уравнения Максвелла имеют одинаковый вид как в классической, так и в квантовой электродинамике.
Тем не менее интересно явно проследить, каким образом получается это сов- П Мы допускаем, что вероятность спонтанного излучения света атомом- источником достаточно мала, так что справедливы замечания, сделанные и примечании 1 на стр. 229. Тогда полная вероятность перехода, отнесенная к единице времени, будет постоянной, если только промежутки времени достаточно велики, чтобы энергия сохранялась при переходе из начального состояния н конечное. я' 50. Теория иэлучения падение. Ниже будет показано, что при суммировании по промежуточным состояниям светового кванта получается выражение, эквивалентное решению электромагнитного волнового уравнения для точечного источника (функция Грина).- ме 7'и„,+,," и„=О, з=х, у, г, (50.18) причем йч мя = О.
Поскольку на идеально отражающей поверхности тангенциальные составляющие напряженности электрического поля и векторного потенциала обращаются в нуль, граничное условие имеет вид и х п,=О, (50,19) где я — вектор нормали к поверхности диафрагмы или к стенкам ящика. Покажем, что если эти функции принадлежат различным собственным значениям еи„, то они ортогональны. Для этой цели умножим уравнение (50.18) на пя,,(г), соответствующее уравнение для идч(г) — на ия,(г), вычтем второе из первого и просуммируем результат по 5 = х, у, г. В результате с помощью теоремы Грина получим (ид,, — "'-"* — иы -"~ — ') оА= -', ~'- 1 пм пьсят, (50.20) где д1дп означает компоненту градиента в направлении внешней нормали.
Поверхностный интеграл в левой части равенства берется как по диафрагме, так и по стенкам ящика. Согласно условию (50.19), тангенциальные компоненты н обращаются в нуль на Представление электромагнитного поля. В рассматриваемой задаче разложение напряженностей электрического и магнитного полей по плоскимволнам,введенное в $48 и применявшееся ранее в настоящем параграфе, оказывается неудобным, так как плоские волны не удовлетворяют должным граничным условиям на поверхности диафрагмы. Функции, удовлетворяющие этим условиям, очень сложны, и мы не будем пытаться найти для них явные выражения, а просто предположим, что они существуют и образуют полную систему и, следовательно, векторный потенциал можно разложить по ним.
Предположение о том, что поверхность диафрагмы' является идеально отражающей, означает, что, вообще говоря, эти функции должны быть вещественными. Помещая всю систему в большой, но конечный замкнутый ящик с идеально отражающими стенками, можно добиться того, чтобы наша система функций принадлежала дискретному спектру.
Компоненты векторных функций ня(г) в декартовой системе координат удовлетворяют волновому уравнению второго по- рядка Гя. Хе У, Квантовая вяектаодинамика граничных поверхностях, откуда следует, что и тангенциальные производные от этих компонент также равны нулю, Но, поскольку е)1чи = О, производная по нормали от нормальной составляющей вектора и, обращается в нуль. Следовательно, на граничных поверхностях вектор и„перпендикулярен поверхности, а вектор Эид18п паРаллелен ей. ПоэтомУ их скалЯРное пРоизвеДение Равно нулю, поверхностный интеграл в левой части (50.20) обращается в нуль, и еслиеод,-е'=сод,то ) нд, идй»=0, Равным образом и любые вырожденные решения (50.18) можно выбрать так, чтобы они были взаимно ортогональны, и нормировать решения во всей области.
Таким образом, мы имеем 1 ид, ° иде)» = бдд,. (50.21) Поступим теперь так же, как и в $48, разлагая векторы А и Р для поля в вакууме по функциям ид: А(г, 1) = ~ 4д(1) нд(г), Р(г, 1) = ~ р,(1) ид(г). (50.22) Здесь дд и рд представляют собой эрмитовы операторы, удовлетворяющие правилам перестановки (4д(1) р (1)1 = елб (д,(1), д,,(1)) = 1р„(1), р,,(1)) = О. Подставляя (50.22) в гамильтониан электромагнитного паля (48.7) и принимая во внимание (50.21), получаем Н, =,у, гвсс~рд + — ~, цдд~,1 (го1 ид) . (гое и,) йх. д М Интеграл в правой части можно упростить, интегрируя по частям 1 (го1 ид) (го1н,) а» = 1 ид .
го1 го1 и, й» (поверхностный интеграл обращается в нуль в силу граничных условий). Это выражение можно еще более упростить, если выразить и, в декартовых координатах и воспользоваться равенствами (50.18) и (50.21): ( (го1 н,) . (го1 и,) а» = — ) ид рви, й» = тв а,й с' в ~ нд' и~с1»= в бди св Тогда гамильтониан поля принимает вид (50.24) 5 50. Теория излучения Квантовые уравнения движения для 4» и р» в силу (45.23), (50.23) и (50.24) записываются в виде ф, = 4лс'р», р„= — ~", дл. Эти уравнения легко интегрируются, и мы получаем 'чи + а»е™г нн', р» —— — — '(а и-™" — а»ег"").
4яс' Здесь а» и ໠— операторы, не зависящие от времени; легко проверить, что они подчиняются правилам перестановки типа (48.28): ° 2яйеа (а», а»,) = 6»„, ш» (все другие пары операторов а коммутируют). Поэтому а» и а» можно отождествить соответственно с операторами уничтожения и порождения квантов электромагнитного поля в состоянии гс. Гамильтониан (50.24) принимает вид Н„„= ~ лео»'(И»+ — ) Н» = '-а,а,. Поскольку го» соответствует фигурировавшей в $48 величине с/г, это выражение совпадает с (48.32). Матричные элементы.
Матричный элемент второго порядка (29.20) можно записать в виде суммы двух членов, соответствующих двум рассмотренным выше типам промежуточных состояний. Первый из них можно записать в виде ~~ (Н'В)е, ч»(Н'з)о»~ 1 » Езъ — Езч — Мо» (50.25) где (Н',:)„,— матричный элемент для перехода атома-источника из возбужденного состояния (с энергией Е,,) в основное (с энер- гией Е „) с излучением кванта в состоянии )сп: (Н'з),», — — —, (2 ~ ) йгза(г') и„(г') ° йгас)' и В,(г') г(х'.
Н Как и раньше в настоящем параграфе, мы переходим к представлению, в котором зависимость от времени переносится с операторов на волновые функционалы. Это удобнее для применения нестационарной теории возмущений. Гя. Х ~ 'э'. Квантовая эяектродинамика Через (Нв)ьоо обозначен матричный элемент для перехода атома- приемника из основного состояния (с энергией Е„,) в ионизованное (с энергией Ев,.) с поглощением кванта в состоянии к: (Н'в)ьов = те( ) ~ и'в:(г) пк(г) ' ягаби'во(г) "». Аналогично второй член можно записать в виде у (Н б)в,,вЯ'в)кив Пвв — Пв — .тк (50.26) При помощи полученных ранее результатов легко показать, что (вэ з)о, м = (вэ э)оо, н (Н а)м, о = я в), ов Как известно из рассмотренной в $29 нестационарной теории возмущений, вероятность перехода, отнесенная к единице времени, имеет заметную величину, только если при переходе из начального состояния в конечное энергия сохраняется.
Поэтому интерес представляют лишь такие ионизованные состояния, для которых Ев; — Ево = Ею — Ево. Обозначая эту разность через йаэ, можно записать сумму (50.25) и (50.2б) в виде — аэв = Р+ Я, .(50,28) 'с Фигурирующие здесь электронные волновые функции а в достаточной степени локализованы либо около источника, либо около приемника. Интересуясь главным образом макроскопическими наблюдениями, можно считать область, в которой эти функции заметно отличны от нуля, бесконечно малой. Тогда зависимость вероятности перехода от положений источника (г') и приемника (г) определяется выражением в квадратных скобках в (50.27).
При больших размерах „ящика", в который помещена система, суммирование по й можно заменить интегрированием по еию причем контур С выбирается в соответсувии с (29.24). Плотность состояний д(1) мы определим так, чтобы величина р(й)йеио представляла число состояний электромагнитного поля в интервале круговых частот йеаю Итак, можно положить р уо. Теория излучения где Р— главное значение интеграла, а Я вЂ” умноженный на л вычет подинтегрального выражения в полюсе лол = го. Функции Р и К, очевидно, вещественны.
Вероятность перехода пропорциональна квадрату модуля (50.25), т. е. величине рз + )7з (50.29) Классическая диффракциоиная картина. Полученный только что результат нужно сравнить с классическим выражением для интенсивности света в точке г при наличии источника в точке г'. Эта интенсивность дается решением волнового уравнения (35.9) для векторного потенциала А (г, г), создаваемого. плотностью тока )(г, г): 1 за 4и (50.30) Нужно найти решение уравнения (50.30) для случая, когда плотность тока ) сосредоточена в малой области пространства и гармонически зависит от времени. Из дальнейшего будет ясно, что в случае чисто гармонической зависимости ) от времени возникают некоторые аналитические трудности.
Поэтому мы сделаем физически естественное допущение о том, что ] характеризует затухающий осциллятор, а затем перейдем к пределу, когда постоянная затухания становится пренебрежимо малой. Положим, таким образом, ](г, Г) = я(г)е — у~совий = — я(г)(е( — т+ччы+ еч-"г-™ы]. 1 л В силу линейности уравнения (50.30) его стационарные решения имеют вид А(г, () = — А(г) е< тч-ччы+ — А(г)е< — т-ччы (50.31) г где функция А(г) удовлетворяет уравнению уз А(г) + — л (ги + (у)з А (г) = — — ] (г). (50.32) Последнее можно решить таким же образом, как и неоднородное волновое уравнение (2б.7). Разложим А(г) по полной системе вещественных векторных функций пн(г), удовлетворяющих введенным выше граничным условиям: А(г) = ~; А; пу(г).
Поскольку вектор А(г) необязательно веществен (хотя векторный потенциал А(г, Г), разумеется, является таковым], коэффициенты разложения А, могут быть и комплексными. Подставляя (50.33) Гл. Х!'г'. Квантовая электродинамики 458 в уравнение (50.32) и принимая во внимание (50.18), получаем — —, ~ А,[гаев — (го + (у)а) на(г) = — — ~ ) (г). с' д' с При помощи условия ортонормированности (50.21) отсюда можно найти коэффициенты А„: А, =,, ) ца(г') Я(г') (Ь'. (50.34) Подставляя (50.34) в (50.33), получаем следующее выражение для компонент вектора А(г) в декартовой системе координат: А, (г) = 4лс ) ~' /Р(г') Г ~~'," и," (г ) иа'.( ),1 с(т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
