Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Эти соотношения, как и следовало ожидать, не зависят от времени. Подставляя (48.25) и (48.26) в гамильтониан (48.22), получаем Гл, Х1'в'. Квантовая вявнтродинаяино 432 Импульс квантованного поля. Плотность импульса электромагнитного поля равна вектору Пойнтинга (г/4л) Е (г, 1) х Н(г, 1), деленному на св. В связи с этим полный импульс поля можно выразить через канонические переменные с помощью (48.10): О = — — ) Е Х Нв!х= — ) Р Х (го1А)дв. Подставляя сюда выра>кения (48.17)„(48.25), (48.26) и (48.30), получаем О = 1Л к(рмяйл — Рйлбнл) = лл ! у =- —, - '1й((анлаьл+ анлалл) — (а~;авл-+ а;,лаял)1= л(с ~(№л+ 2) — (Мйл + -2-)] = .в~'. ли№л, (48.33) где, как и при переходе от (48.31) к (48.32), на область суммирования более не накладывается ограничений. В данном случае для плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях, члены, соответствующие нулевой энергии, сокращаются.
Формулы (48.32) и (48.33) показывают, что энергия и импульс плоской волны квантуются, причем единица энергии равна Лйс, а единица импульса — Ви. В $ 50 будет также явно показано, что взаимодействие между веществом и излучением позволяет объяснить как интерференцию света, так и дискретные свойства световых квантов. алл!Р(.. ллл" )=( — а — "') *~"( пил — ! ) а У( и ) (2 а ( нл+1))мйв( и +1 ) (48.34) Оператор А(г, 1) в представлении плоских волн,'В следующих двух параграфах при рассмотрении взаимодействия электронов с электромагнитным полем нам придется иметь дело с векторным потенциалом. Поэтому нужно получить выражение для А(г, 1) в представлении плоских волн, характеризуемом собственными значениями пал операторов №л.
Волновой функционал в этом представлении можно записать в виде лр(...лнл-...); он описывает состояние электромагнитного поля, в котором имеется лнл световых квантов с импульсом Йи и поляризацией вал. На основании (48.28) и результатов 1 46 операторы анл и а~л обладают свойствами р 48. Электромагнитное аале в вакууме 438 В силу (48.17) и (48.25) имеем А(Г, 1) = Е-Н* ~' еилТ(алле-1лгг+ а'"леглвг) е(л' -(- + (алле(лгг +, алле-(лм) е-и г] = ь- ~ ~ вил ~алле (и'-лед+ а„е- (л о-лге]. (48 35) Здесь опять отождествление аи, с а ьв позволяет производить суммирование по всем значениям М. Легко видеть, что выражение (48.35) для векторного потенциала является эрмитовым, как это и должно быть. Из соотношений (48.34) следует, что величины алл и алг представляют собой соответственно операторы уничтожения и порождения светового кванта в состоянии 1(, Я.
Поэтому линейный по А член в гамильтониане описывает непускание и поглощение световых квантов. Правила перестановки операторов, взятых в различные моменты времени. Правила перестановки (48.11) — (48.13) для компонент Е и Н интересно обобщить на случай различных моментов временилг. Как и в случае квантованного уравнения Дирака (8 47), полученные результаты показывают, при каких условиях измерения электромагнитного поля в различных пространственно-временных точках влияют друг на друга. Подобно (48.35), легко выразить Е и Н через операторы ал,.
Е(г, 1) = 7. и ~~', 11(еил(алле'(" — лвв — алле (и ™] (48.38) и(( 1) = г -чг ~~" 1(ф( 'г( елл) (ал е'(л-г — лго Зй е — ((л е — лго] ил В силу (48.28) коммутатор двух декартовых компонент напряжен- ности электрического поля равен (К, (г, 1), Е,,(г', Р)] = Е-' Д4глйс/свил авил„з1п(1( д — 'ксе), (48.37) о = г — г', Суммирование по состояниям поляризации 2 можно провести так же, как и в случае (48.19): 2,'влл,,вил,, 61п(й р — ассе) = хвгЯЬ... — 1(,)с,,) 81п(й д — Ксе) = 1 л и Это обобщение получено Иордаиом и Паули 16].
28 л, шибав Гл, Х1У, Квантовая электродинамики Суммирование по и при больших Е можно заменить интегрирова- нием: 7.- в ~ К-1 з! и (й ° о — Ксг) - —. (2сс) в ~ К 1 з)п (й о — Кст) е)т 2 с-с оа = (2л) в 1 (21К) 1(е12 в — мс е — 12 е+11сс)е(т (2вс)-в с1' (21К)-1(е12 в -мс е12 в1-11сс) е)г = — (2сс)-в 1 К-'е1" вгбп Ксх сЬ;,. Последнее выражение мы обозначим через — с0о(о, г), где .0в отличается от функции 0 в (47.29) только тем, что К, в данном случае равно нулю. Равенства (47.30) и (47.33) показывают, что Во(11, т) получается в результате действия оператора — (4лвос) 1(д,1до) на функцию, равную+и для се>д, нулю для а .-. ст > — о и — л для— — а > сг.
Таким образом, Ро имеет вид (47.34) при всех о (а не только в бесконечно малой окрестности точки ! сг ~ ): Що, г) = (4пас) '[6(о — сг) — 6(о+ ст)1, о = ~г — г'). (48.39) В силу (48.37) и (48.38) получаем [К,(г, 1), К,,(г', Г)~ = 2 1 асс д д д д 1 = — 4ледсв ~ — ',"-'-- —, — —, ]О (г — г', 1 — Р). с С' де де асс днс.1 О( (48.40) Пользуясь (48.3б), можно получить также правила перестановки для компонент Е и Н: ~Е.( г) )~.(' 1')1= = Е-в ~ 4111йсК(е„1„вя2„— в„з.св,,;) з!п(11 р — Кст).
(48.42) Очевидно, что при е =- в' выражение (48.42) обращается в нуль; таким образом, параллельные составляющие напряженностей электрического и магнитного полей коммутируют друг с другом во всех пространственно-временных точках. При е =4 е' можно положить е = х, е' = у. Оси х, у, г образуют правовинтовую систему, так что в1с1, какз,о вм2, квк!„и = (вс1 л ек2)с = К Таким же образом можно найти коммутатор двух компонент напряженности магнитного поля ~Я,(г, 1), Яе(г', 8)~ = ~К,(г, 1), К,,(г', 1')~. (48.41) З йа Взаимодействие злектронов с злектромагнитным нолем 435 Поступая так же, как при переходе от (48.37) к (48АО), получаем (Е,(г, 1), Н„(г', 1')] = 4п1йс — —,, Ро(г — г', 1 — 1').
(48.43) Индексы х, у, е в (48.43) можно подвергнуть циклической перестановке. Поскольку во все зти перестановочные соотношения входит функция Реи определяемая формулой (48.39), ясно, что все компоненты напряженностей электромагнитного поля коммутируют всюду, кроме бесконечно малой окрестности светового конуса с (1 — 1') = ис ( г — г' ~. Поэтому, если две пространственно-временные точки не могут быть связаны световым сигналом, то напряженности поля в этих точках коммутируют друг с другом и допускают одновременное точное измерение.
Это показывает, что квантованное электромагнитное поле распространяется с классической скоростью света с. Вопрос о связи между этими перестановочными соотношениями и принципом неопределенности был рассмотрен Бором и Розенфельдом [71. 9 49. Взаимодействие электронов с электромагнитным полем В 9 47 было проведено квантование релятивистского волнового уравнения Дирака для свободных электронов.
Объединим теперь эту теорию свободных электронов с квантовой теорией электромагнитного поля в вакууме, рассмотренной в $48. В результате получается так называемая квантовая элекслродинамиха, описывающая взаимодействие электронов с электромагнитным полем. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Прежде всего нужно найти функцию Лагранжа, варьирование которой дает (уже известные нам) уравнения движения электронного и электромагнитного полей. Уравнение Дирака для электронного поля имеет вид (43.22): 19 — 1 — есрвр+ а ( — (йслгаб вр — сАр)+ тсз~Зер= О, (49.1) дг где е — заряд электрона, т.
е. отрицательное число. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля имеют вид (35.2): го1 Е+ — — =О, го1 Н вЂ” — — = — 1, 1 дп ~ ди 4м с дс ' с дс с ' (492) с)1чЕ = 4лр, 41чН = О. Плотности электрического заряда и тока, фигурирующие в (49.2), даются равенствами (43.20): р = сер*у,,) = — ссврмавр. (49.3) 28 — зев 436 Гл, Х1'в'.
Квантовая влектродинамика Мы предполагаем пока, что плотности а и 1 связаны только с электронами. Уравнение непрерывности (35.3) можно получить, умножая (49.1) слева на врв, эрмитово сопряженное уравнение — справа на вр и вычитая результаты один из другого. Искомая функция Лагранжа равна сумме соответствующих функций для электронного и электромагнитного полей с заменой (в первом случае) операторов И (а/ае) и — Ис вагаб соответственно на И (а/де) — еу и — Ие дгаб — еА, Таким образом, в силу (47.1) и (48.3) имеем е.
= 1' вр* [И вЂ”, — ервр+ а ( — Ис вагаб — еА) вр+ тека еЬ -1- + з — ~ [( — д, +эгле(т) + (го1 А)в~ еЬ. (49.4) Можно показать, что вариация (49.4) по врв дает уравнение (49.1), вариация по р — эрмитово сопряженное уравнение, а вариация по А [с учетом (49.3) и (48.2)) приводит к уравнениям (49.2) (см. задачу 9). Функция Лагранжа (49.4) обладает недостатками, отмеченными ранее в связи с (47.1) и (48.3).
Поскольку величины |р* и р не входят в (49.4), для них нельзя определить канонически сопряженные импульсы и, следовательно, ~рв и р нельза рассматривать как канонические координаты в теории Гамильтона. Как и прежде, импульсы, канонически сопряженные с вр, и А., равны соответственно Ивр; и Р = (4лс)-' 1(1~с) (а А,И)+ (д р/дх)~. Таким образом, гамильтониан принимает вид 1 [ Р ов дг) = 1 вра(а.
(Ис дгаб + еА) вр + ервр — тека сЬ + (49.5) + [ [2ввсвР~ + — (го1 А)' — сР агап р1 йт (здесь врв фигурирует не как координата, а как канонический импульс). Нетрудно показать, что уравнениями Гамильтона для вр и для канонически сопряженного импульса Иив являются соответственно (49.1) и эрмитово сопряженное уравнение. Уравнения Гамильтона для А и Р имеют вид — = 4~с'Р— е дгаб р, дА дг (49.8) ав — = — — гос го1 А — евраавр, де 4м э" 49.
Бэаимодейотвие электронов с электромагнитным нолем 437 Таким образом, если, как и прежде, положить, по определению, Е = — 4лсР и Н = го! А, то мы получим первое, второе и четвер- тое уравнения Максвелла (49.2). Исключение ер. Как и в $48, третье из уравнений (49.2) надо рассматривать как дополнительное условие. Поэтому нас будут интересовать лишь те решения уравнений Гамильтона, которые в некоторый момент времени удовлетворяют условию 8(ч Š— 4пс рввр = О. Если производная по времени от этого соотношения равна нулю, то оно будет справедливо во все моменты времени, и указанный отбор решений будет возможен и непротиворечив.
На основании второго уравнения (49.б) и определения вектора Е мы имеем з (с!(чŠ— 4лечр~вр) = 4пс ~с б(ч(враавр) з! (эрчер)1 В силу определений (49.3) и уравнения непрерывности для плотности заряда и тока это выражение обращается в нуль. Теперь легко понять, что содержащие !р слагаемые в правой части(49.5) взаимно уничтожаются. Действительно, второе из них можно проинтегрировать по частям, что дает — с ! Р бгас! !ос(т = с~Р 8(чР е(т = — ~РЗс!т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
