Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 86
Текст из файла (страница 86)
у 4а. Квантование нерелятивистского уравнения Шредингера 407 Интересно отметить, что матрицу а нельзя диагонализовать, так как )ч' имеет отличное от нуля собственное значение. В противном случае первое из уравнений (46.27) означало бы, что квадраты всех собственных значений а равны нулю. Это означало бы, что а, а потому также а' и Х, тождественно равны нулю и, следовательно, матрица еч' ни в каком представлении не могла бы иметь вид (46.28). Явные выражения матриц а и а", согласующиеся с (46.27) и (46.28), имеют вид (о о)' ав ( 0) (46'29) Два волновых функционала, описывающие два возможных состояния данной системы, можно представить в виде Ч(О) = (,'), Ч(1) =(',) ° (46.30) Легко видеть, что первому из них принадлежит нулевое собственное значение оператора 1ч', а второму — собственное значение, равное 1.
Из (46.29) и (46.30) легко получаются соотношения: аЧе(п) = пЧ"(1 — и), аиЧл(и) = (1 — п)Чг(1 — п), п = О, 1. (46.31) Поэтому а и а* снова играют роль соответственно операторов уничтожения и порождения. В практически встречающихся задачах число состояний системы бесконечно, и выписывать явные матричные представления типа (46.28) — (46.%) оказывается неудобным. Однако можно найти результат действия операторов а, и а; на волновой функционал Чв(п„..., и„...), соответствующий собственному значению и, (О или 1) оператора 1ч».
Искомые соотношения имели бы вид (46.31), если бы не то обстоятельство, что система подобных уравнений (с дополнительными индексами) не удовлетворяет первым двум равенствам (46.25). В связи с этим мы поступим следующим образом. Расположим состояния системы в произвольном, но определенном порядке: 1,2,, )е. Тогда действие операторов а, или а„* на Чл с точностью до знака определяется равенствами (46.31), причем появление знака плюс или минус в правой части зависит от четности или нечетности числа занятых состояний, предшествующих состоянию 11.
Иначе говоря, вместо соотношений (46.21) получаем а»Чг(п„..., п, ) = 8»п»Чл(п„..., 1 — и„,...), а1,Чг(п„..., п„,...) = 8 (1 — п») Чл(п„..., 1 — и,...), (46.32) 8» = ( 1)"', = 2,' и . ! -1 Гл. Х1П. Квантование волновых лилей Вычислим, например, результат действия операторов а„а, и ива, на волновой функционал 1Р, причем для определенности будем считать 1>1». Если при каждой операции результат отличен от нуля, то в первоначальном волновом функционале оба числа л, и и, должны равняться 'единице. При действии оператора а, а, освобождается сйачала 1-е, а затем 1в-е состояние и появляется множитель О,О,. При действии оператора а,й„освобождается сначала 1в е состояние, так что Он остается неизмейным, Но в этом случае при освобождении 1-го состояния в предыдущих состояниях имеется на одну частицу меньше, чем раньше, так как О-е состояние теперь уже свободно (тогда как раньше оно было занято).
Соответственно изменяется знак Оо В результате в соответствии с первым из соотношений (46.25) мы получим а,а,!Р = — а,а,!Р. Аналогично можно показать, что соотношения (46.32) согласуются с результатом действия двух других операторных уравнений (46.25) на произвольный функционал 1Р. Поскольку совокупность волновых функционалов характеризует все возможные состояния системы многих частиц, они образуют полную систему, и из (46.32) вытекает справедливость операторных уравнений (46.25).
й 47. Квантование уравнения Дирака В качестве второго примера рассмотрим квантование релятивистского уравнения Дирака (43.3), описывающего свободный электрон. Уравнение для одной частицы снова будем рассматривать как классическое уравнение поля. Соответствующая теория квантованного поля описывает движение многих невзаимодействующих свободных электронов.
Уравнения Лагранла и Гамильтона. Волновая функция Дирака Н имеет четыре компоненты, которые мы обозначим через ~р~ (1' = 1,2, 3, 4). В качестве плотности лагранжиана можно взять выражение А = ~р, ~И'р,. — Лбе ~~он бган р+ влсв ~Я,рр,) (47.1) 1 где матрицы ая и Ол имеют вид (43.12). Теперь следует воспользоваться обобщением теории поля на случай нескольких компонент (см. конец $45). Варьируя вр, — одну из компонент р, получаем уравнение типа (45.8): гисв ~;Робя+ 1лс ~ дгаб Р,. ан — Иф, = О. (47.2) Э 47 Кванеаавание уравнения Дарана 409 Четыре уравнения типа (47.2) можно записать в виде одного уравнения — 1йвр* + 1йс вагаб вра а + тсвврар.
= О, где вр' — матрица, эрмитово сопряженная с т и содержащая одну строку и четыре столбца. Это уравнение эрмитово сопряжено с (43.3). Аналогичным путем легко показать, что при варьировании (независимом) по компонентам 1Рг полУчаютсЯ четыРе уравнения, которые совместно можно записать в виде 1йвр — 1йса вагаб вр + тсврвр = О, (47.3) совпадающем с уравнением Дирака (43.3).
Импульс, канонически сопряженный с врр есть дь пГ= д . =В%. (47.4) Как и в случае нерелятивистского уравнения Шредингера, импУльс ввн канонически сопРЯженный с ни тождественно Равен нулю; йоэтому д; следует исключить из гамильтониана при помощи (47.4). При этом плотность гамильтониана будет равна Н= ~герр; — 7 = с ~'веваи дга<1 вр, + ' в 5'ввДрь (47.5) я вв Квантовые условия. Как и в случае нерелятивистского уравнения Шредингера, гамильтониан удобно переписать с помощью соотношения (47.4): Н = ~ ((йс '~' р,ая дгаг( вр, — тс' ~ (еф;рр, ) ~Ь= я = ) (1йсврва .
вагаб вр — тсввр*)йр) оъ. (47.б) Выражение (47.6) является вещественным, хотя это и трудно сказать по его внешнему виду. В этом можно убедиться, про- интегрировав по частям половину первого члена, для чего удобно переписать интеграл в виде Н = ) ~ — 1йс(врва ° агав( вр — вагаб врв ° авр) — тсвврарвр1г)т. (47.7) Легко показать (см. задачу 12), что первое из уравнений Гамильтона (45.19) приводит к уравнению (47.3), второе 1с учетом (47.4))— к эрмитово сопряженному уравнению. Этим завершается доказательство согласованности выражений (47.1), (47.4) и (47.5) с уравнением Дирака.
Гл. Х111. Квантование волновых нолей 410 Интеграл по поверхности обращается в нуль либо вследствие обращения вр в нуль на бесконечности, либо в силу периодических граничных условий. В $ 32 мы уже видели, что электроны подчиняются принципу Паули.
Поэтому при квантовании поля мы будем считать, что компоненты вв подчиняются соотношениям антикоммутации. Последние с помощью (47.4) можно записать в виде (Уй(г), вРг(г')] = [вР,'(г), вР;(г')]+ — О, (вв,(г), вр,'(г')]+ —— дя б (г — г'). (47.8) Замена д, на вг связана с тем, что теперь компоненты вр, представляют собой не функции, а операторы. Под ов мы подразумеваем матрицу с одной строкой и четырьмя столбцами, элементами которой являются операторы вр,'.. Квантовое уравнение движения для чв получается заменой в (45.23) Р на ун причем гамильтониан Н дается формулой (47.6) или (47.7): гйвр, = [врн ) ] гйс ~твв'аы вагаб'~р; — п1с' ~'., вод' ~ври, ')бт' '] (47.9) м и Штрихи означают, что в качестве переменной интегрирования вместо г берется г'. При помощи соотношений (47.8) второй член в правой части можно преобразовать следующим образом: вон ] — тс' ~ вр*,'Яр',Ы ~]= и = — тс' 2' Ц„~ (р,, вГ'„'Я бт' = ье = — тс' ~ ~в, ~ (врввр;,' р', — во,",во',вд) г)х' = — — тг' ~ ~„.,~ (вр,вр + вв,вв)вв амт†= — тсв~;~в,б,н ~ вр;6(г — г') бт' = — тсв ~'Р;уе М Первый член в правой части (47.9) вычисляется таким же образом, поскольку о, антикоммутирует как с ло так и с вагаб' вр;.
[,, ~*, 1= вон ]'гйс ~'чь" ам бган'врбт'1 = гас ~; ан ° бган вое и л 1 Таким образом, четыре уравнения типа (47.9) эквивалентны уравнению Дирака (47.3). Аналогичный расчет показывает, что у 47, йванагавание уравнения дирака из четырех уравнений агре = [р', Н] получается уравнение, зрмитово сопряженное с (47.3). Оператор полного числа Я электронов в поле можно записать в виде (47.10) Этот оператор эрмитов. Нетрудно показать также, что 1ггг'н' = [М, Н[ = О, т.
е. И является интегралом движения (см. задачу 13). Как и в нерелятивистской теории ($4б), можно показать, что значения антикоммутаторов в (47.8) не изменяются с течением времени. Х-представление. Чтобы найти представление, в котором оператор М диагонален, оказывается удобным разложить гр по плоским волнам, удовлетворяющим уравнению Дирака для свободного электрона. Весь расчет протекает так же, как и в предыдущем параграфе, но несколько осложняется наличием нескольких компонент у дираковского поля.
Различные компоненты мы по-прежнему будем обозначать индексами / или 1 (принимаю1цими четыре значения). Волновой вектор плоской волны (равный импульсу, деленному на гг) будем обозначать через й. Будем считать, что плоские волны подчиняются периодическим граничным условиям на стенках куба с ребром Е. В $43 мы видели, что каждому значению к соответствуют четыре решения, которые мы будем различать индексом а(у = 1, 2, 3, 4). Таким образом, решение уравнения Дирака для одного свободного электрона характеризуется величинами и и з.
Полная система таких решений, ортонормированная в кубе объема 1,а, имеет вид (47. 11) г) — ц.(11 з) Е /ге~а г Здесь величины и; (к, у) представляют собой числа, которые можно найти, умножая четыре значения и„определяемые формулами (43.17) и (43.18), на указанный там нормирующий множитель. Два решения (43.17) мы будем обозначать, полагая з равным 1 и 2; они соответствуют двум ориентациям спина при положительном значении энергии Е~„= + (Пасека+ п1асв)и, з = 1, 2.
(47.12) Два решения (43.18) соответствуют отрицательному значению энергии: Еа'„=- — (йвеайа + твсв) Иг У = 3, 4. (47.13) 4г2 Гл. Х111. Хвансповааие волновых полей Легко видеть, что соотношения ортонормированности для функций он определяемых формулой (47.11), имеют вид У2;ос(К, з; г) ос(К, з; г)юЬ = Ььь,д„„. (47.!4) По аналогии с (4б.11) разложим рс и чс) по функциям о;: срг(г, 1) = ~~ а(К, з; 1) о;(К, з; г), (47.15) ср,'(г, 1) = ~ а*(К, з; 1) о;(К, з; г).
Вв Козффициенты а и а* представляют собой квантовомеханические операторы, зависящие от времени. При помощи условия ортонормированности (47.14) легко показать, что соотношения анти- коммутации (47.8) зквивалентны условиям (,(К, 1),,(К,,',с)] =(а*(К, з; 1),,*(К, з', 1)].=0, 4718 (а(К, з; !), ав(К', з', !)]+ — — дьь,д„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
