Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Не!зепЬегй '1чг. Раи1! %., 2з. !. РЬуз., 56, ! (1929). 7. Не(зепЬегй ЪЧ., Ран!1 )У., Бз. 1. РЬуз., 59, 168 (1930). 8. ) о гбао Р., %! 6 пег Е., Ез. 1. РЬуз., 47, 631 (1928). 9. Орреппе!шег .1. И., РЬуз. Кеч., 35, 562 (1930). 1О. Р а и 11 тт'., РЬуз.
)тема 58, 716(1940). (Имеется русский переводи книге: В. П а у л и, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947.) 11. О ! г а с Р. А. М., Ргос. СагпЬг. Р)61. 3ос., 36, 150 (1934). 12. ттЬ111а Ь е г Е. Т., Гт а!зон О. Х., А Соогзе о1 Мобегп Апа1уяз, 4ГЬ еб., СагпЬг(бйе — 1юпбоп, 1935. (Имеется русский перевод 3-го издания: Е.
У и т те к е р, Г, В а тс о н, Курс современного анализа, М.— Л., !937.) 13". Соколов Л. А., Иваненко Д. Д,, Квантовая теория поля, М.— Л., 1952. 14*. Л хи езе р Л. И., Бе рестецк и й В. Б,, Квантовая электродинамика, М.— Л., !953. !5*. Бегал юбое Н. Н., Ш и р кон Д В., Введение в теорию квантованных полей, М.— Л., !957. ГЛАВА Х 1Ч КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА й 48.
Эленгромагннгное поле в вакууме Будем следовать методике, развитой в $ 45. Уравнениями движения электромагнитного поля являются уравнения Максвелла, и мы начнем с нахождения функции Лагранжа, вариация которой приводит к этим уравнениям. Зная функцию Лагранжа, можно ввести и канонические импульсы и составить функцию Гамильтона. Квантование производится путем замены классических скобок Пуассона квантовыми.
Мы не будем рассматривать возможность антикоммутации амплитуд поля, так как из опыта известно, что сильные электрические и магнитные поля можно изменить классическим путем н что фотоны подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Уравнения Лагранжа Уравнения Максвелла для вакуума можно получить, если в (35.2) приравнять нулю р и 1: го[ Е+ — — = О 1 ОН с Ог 1 ОЕ гоЕН вЂ” — — = О с дг (48.
1) б[чН = О. г[[ч Е=О, И Более подробное изложение можно найти в работах, указанных в примечании ! на стр. 388, а также в обзорных статьях Ферми [1] и Розенфельда [21, в книге Гайтлера [31 и в лекциях Дайсона [41. Применим теперь развитый в предыдущей главе метод квантования к электромагнитному полю. В этом случае в классической волновой теории нет даже намека на фотоны, тогда как квантовая теория успешно объясняет корпускулярно-волновой дуализм, обсуждавшийся в гл.
1. Удобно рассмотреть сначала электромагнитное поле в вакууме (й 48) и лишь затем учесть взаимодействие между полем и электронами ($49). В $ 50 решаются некоторые задачи, иллюстрирующие теорию". Посколдку,мы не ставим своей задачей установить инвариантность теврзев относительно преобразований Лоренца, мы будем всегда пользоваться не четырехмерными, а трехмерными обозначениями. Р 4В, Электромагнитное ноле е вакууме 423 Функцию Лагранжа удобнее всего выразить через потенциалы А, р, частично определяемые равенствами Е= — — — — бгаб р, Н=го1А. 1 дА с дс (48.2) Как отмечалось в 2 35, эти формулы не определяют потенциалов полностью, так как йапряженности электрического и магнитного полей (48.2) не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов, Плотность лагранжиана можно записать в виде 1 г1 дА тв 1 д = — ( — — + дгаб р)1 — — (го1 А)'.
8м 'хе дс ! 8а (48.3) Если величины А„ А„, А, и р рассматриваются как переменные поля, то уравнения Лагранжа следуют из (45.8). Вариация по компонентам А дает три уравнения, которые совместно можно записать в виде 1 1 д г1дА — — го1 го1 А — — — ( — — + дгаб р) = О. 4а 4лс дс ( с дг Это есть не что иное, как второе из уравнений (48.1). Варьируя по се, получаем 1 . г1 дА — — б)тг( —,—,+ ягаб Р) = О ) е что совпадает с третьим уравнением (48.1).
Два других уравнения Максвелла автоматически вытекают из определения потенциалов (48.2). Уравнения Гамильтона. На основании (45.15) и (48.3) можно определить импульс, канонически сопряженный с А,; '= —. (-,—.—,'--.,) 1 ддк дд (48.4) Аналогичные выражения получаются и для двух других импульсов. Поскольку ф не входит в плотность лагран>киаиа, импульс, канонически сопряженный с р, тождественно равен нулю. Так же обстояло дело с функцией д в нерелятивистском уравнении Шредингера ($ 46) и в уравнении Дирака ($ 47); как и там, это означает, что потенциал Ф нельзя рассматривать как переменную поля и надо исключить его из функции Гамильтона".
Равенство (45.24) дает плотность функции Гамильтона и= Р— — д,= 2тссврв+--(го1 А)' — сР дгаб 4 (48.5) П По поводу другого подхода сн, работу Дирака, Фока и Подольского 181. 424 Гл, Хл у. Квантовая влентродинамина !производная дА1д! при помощи (48.4) заменена членами, содержащими Р!. Уравнения Гамильтона (45.19) имеют вид дд дР 1 — = 4ввс'Р— с вагаб Р— =- — — — го! го! А.
(48.6) д1 д! = 4н Первое из них совпадает с (48.4). Его необходимо было получить снова, так как в гамильтоновском формализме мы имеем дело только с выражением (48.5) и с каноническими переменными А и Р. Теперь можно воспользоваться этим уравнением, чтобы определить величину Е = — 4лсР.
Тогда, если определить также Н какго!А, второе уравнение (48.6) совпадает со вторым уравнением Максвелла (48.1). Первое и четвертое уравнения (48.1) удовлетворяются автоматически — по определению Е и Н. Третье уравнение Максвелла нельзя получить как уравнение Гамильтона, связанное с выражением (48.5). Однако можно условиться придавать смысл лишь таким решениям уравнений Гамильтона, для которых в некоторый определенный момент времени 6!У Е = О или б!У Р = О. Если при этом удастся показать, что приведенные равенства представляют собой интегралы движения, то принятое условие будет непротиворечиво и отбираемые таким путем решения образуют замкнутую совокупность. Согласно второму из уравнений (48.6), производная по времени от б!У Р равна —,б!УР = — — йчго! го1 А = О.
д 1 д1 4.в Поскольку уравнения поля являются уравнениями первого порядка по времени, это означает, что, наложив условие йУ Е = О в один момент времени, мы действительно обеспечиваем справедливость третьего из уравнений (48.1) в любой другой момент. Отсюда видно, что последний член в (48.5) ничего не вносит в гамильтониан.
Действительно, интегрируя по частям, интеграл ПО ОбЪЕМу МОЖНО ПрЕОбраЗОВатЬ К ВИду С~ Гб!у Р Пв = О; ПОВЕРХ- постный интеграл обращается в нуль либо в силу достаточно быстрого убывания Р на больших расстояниях, либо вследствие периодических граничных условий, наложенных на Р на стенках большого куба. Таким образом, гамильтониан поля имеет вид и = ~ ~2ввсЯРв+ — (го( А)в ~ Ит (48.7) и потенциал Р в него не входит.
Этот результат находится в соответствии с обычным выражением для полной энергии электромагнитного поля (1/8вв) ! (ЕЯ + Нв) йт. Квантовые уравнения. Квантование классического электромагнитного поля производится следующим образом.
Будем исходить из гамильтониана (48.7) и канонических переменных поля А, Р. .Г 48. Электромагниеаное лоле в вакууме 425 Поскольку потенциал р более не входит в наши формулы, удобно выбрать калибровку так, чтобы р = О. Уравнение движения для любой величины имеет вид (45.23), и правила перестановки переменных поля (45.25) в данном случае записываются в виде [ А, (г, 1), А, (г', 1)) = [Р, (г, 1), Р„ (г', 1)) = О, [ А, (г, Г), Р; (г ', 1) ) = И б„, б (г — г').
(48.8) Каждый из индексов г, з' может равняться х, у илн и Уравнение движения для какой-нибудь компоненты А, например А„имеет вид И А, (г, 0 = [А, (г, 1), Н) (аналогичные уравнения имеют место для А„и А,). Компонента А, коммутирует с.членом (гог А)' в гамильтойиане, а также с суммой Р„'+ Р„'входящей в Р'.
Таким образом, нужно лишь прокоммутировать А, с Р„'. В результате получится (умноженный на 2лс') интеграл по г' от [А„, Р е) (штрих означает, что аргументом является не г, а г'): [А (г, 1), Р'(г', 1)] = А,Р„'" — Р„''А, = = [Р„'А, + Иб(г — г')) Р„'— Р„''А, = = Р,' [Р„'А,+ И б(г — г')) + Иб(г — г)Р„'— Р„''А,= = 2Иб(г — г)Р,(г', 1).
Интегрируя по г', находим ИА (г, 1) =- 2весв) 2Иб(г — г)Р,(г', 1)еЬ'= 4гесеИР, (г, 1). (48.9) Это совпадает с соответствующим классическим уравнением, а именно с первым из уравнений (48.6) при чв = О. Уравнение движения для компоненты Р, имеет вид ИР,(г, 1) = [Р„(г, 1), Н). (аналогичные уравнения имеют место для Р, и Р,). Величина Р не коммутирует только с той частью подинтегрального выражения Н, которая содержит сумму квадратов у- и а-компонент гог А.
Вычисление соответствующего коммутатора производится. непосредственно, но является несколько утомительным (см. задачу 1). В результате получается выражение для Р, соответствующее второму из уравнений (48.б). Таким образом, если положить по определению Е = — 4псР и Н = гог А, то квантовые уравнения для А и Р будут совпадать с первым, вторым и четвертым уравнениями Максвелла (48.1).
426 Гл. Х1 >>, Квантовая влвктродинаяика Подобно классическому случаю, третье уравнение Максвелла нужно рассматривать как дополнительное услоепе. Если в какой- либо момент времени йч Р = О, то зто соотношение будет выполняться и в любой'другой момент времени, так как производная от него по времени равна нулю. Тогда из (48.9) видно, что производная по времени от йч А всегда равна нулю, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
