Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Тогда в силу (13.18) отличные от нуля матричные элементы д, будут иметь вид Гл. Х111. Квантование волновых полей 402 [в соответствии с (46.19)]. Равенства (46.20) эквивалентны утверждению о том, что волновые функционалы 1тв ортонормированы и удовлетворяют соотношениям аььР(пм..., пь,...) = п„и1Р(пм..., п — 1, . ) аьвр(пы.... и„...) = (пь + 1) н!Р(п,..., и + 1,...) (46.21) Физическая интерпретация.
Рассматривая М как оператор полного числа частиц квантованного поля, естественно допустить, что М„есть оператор числа частиц в состоянии, описываемом функцией и,(г). Таким образом, мы приходим к результату, что при точном измерении числа частиц, находящихся в каком-либо состоянии, должно получаться положительное целое число или нуль. Тогда из формулы (46.13) следует, что это имеет место и для полного числа частиц. Хотя М представляет собой интеграл движения, числа Мь таковыми быть не обязаны. Подставляя Мь в (45.23) вместо Е, получаем ММ, = (аааь, Н]. Гамильтониан Н можно выразить через а„подставляя (46.11) в (46.5): Н =,~.
а,'а, ) ( — агап ий афтаб и + Рйв и,]аз = 2т = ~а';а, ] и; ( — — 7з+ 1')иват. (46,22) При помощи соотношения (46.12) легко показать, что данный оператор Иь будет интегралом движения в том и только в том случае, когда в (46,22) будут равны нулю все объемные интегралы, для которых 1' или 1 совпадает с д. Эти интегралы представляют собой матричные элементы гамильтониана одной частицы (22.2). Таким образом, необходимое и достаточное условие, при котором Ль является ийтегралом движения„ состоит в обращении в нуль всех недиагональных матричных элементов гамильтониана, содержащих функцию и„".
Особенно интересен случай, когда иь представляют собой собственные функции оператора (22.2), принадлежащие собственным значениям Е„. При этом интегралы в (46.22) равны Е,бя и гамильтониан поля принимает вид Н = Д а;,а Е, = '~ И Еь. (46.23) и Этот результат квантовой теория поля тесно связан с соответствующим результатом, содержащимся в (29.о) и относящимся к амплитуде вероятности для отдельной настины.
у 4б. квантование нереаятивиотекого уравнения Шредингера 403 В данном конкретном Аг-представлении оператор Н также диагонален, волновому функционалу !Р(п„..., п„,...) соответствует собственное значение оператора полной энергии ~ п,Его Очевидно, в этом случае все Агн суть интегралы движения. Первое из соотношений (4б.21) позволяет интерпретировать ал как операгпор уничтожения частицы в состоянии к, так как он превращает волновой функционал в кратное другого функционала, для которого числа частиц в данном состоянии меньше на единицу. Аналогично ай можно рассматривать как оператор порождения, так как он увеличивает число частиц в состоянии к на единицу.
Связь с уравнением Шредингера для системы многих частиц. Теория квантованного поля тесно связана с уравнением Шредингера для системы многих частиц, рассмотренным в 2 32. Если и, представляют собой собственные функции галгильтониана одной частицы (22.2), то теория поля показывает, что существуют стационарные решения, в которых число частиц, находящихся в ге-м состоянии пд, представляет собой целую положительную величину или нуль, а энергия равна ~~п,Ел. Каждое решение можно охарактеризовать при помощи волнового функционала Р(п„... гг„...), причем все функционалы гее образуют полную систему и для каждой последовательности чисел п„ ...
имеется только одно решение. Если взаимодействие между частицами отсутствует, то стационарные волновые функции системы многих частиц, аналогичные функции уг (32.1), можно записать в виде произведения волновых функций и,(г) е-"' 'г" отдельных частиц, Задавая число частиц, находящихся в каждом состоянии, можно однозначно определить линейные комбинации таких йроизведений, симметричные по отношению к перестановке координат любой пары частиц. Число частиц в каждом состоянии снова равно положительной целой величине или нулю, а полная энергия дается суммой энергий всех частиц. Итак, развитая в настоящем параграфе теория квантованного поля эквивалентна уравнению Шредингера для нескольких не- взаимодействующих частиц, если брать при этом только симметричные решения.
Таким образом, мы приходим к теории частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Можно показать, что обе теории будут полностью эквивалентны и при наличии взаимодействия между частицами". Естественно спросить, нельзя ли как-либо видоизменить формализм теории квантованного поля, с тем чтобы получить теорию частиц, подчиняющихся статисгике Ферми — Дирака. ')Си, книгу Гекзекберга [21, приложение, 1 г г. 26' — га— Гл, Х.Ш. Квингповиние волновых полна Как показано в $32, систему таких частиц можно описать с помощью волновой функции, антисимметричной относительно перестановки координат" любых двух частиц, Соответствующую линейную комбинацию произведений одночастичных волновых функций можно однозначно определить, задавая число частиц в каждом состоянии, при условии, что этй числа могут принимать только значения нуль и единица.
Таким образом, искомое видоизменение теории состоит в ограничении возможных собственных значений операторов 1уа только нулем и единицей. [вр (г), р (г')] в = вр(г) Р (г') + вр(г') вр(г) =О, [вре(г), вре(г')] = вре(г)вре(г') + вре(г')вре(г) = О, (46.24) [вр(г), ври (г')] ~ = вр(г) вре (г') + тре (г') вр (г) = д (г — г'). Тогда из (46.11) и (46.24) непосредственно вытекает, что [а„а,] е = а„а, + а,а, = О, [аа, аД „= а;а; + а;аа = О, [а„а;]т = ааа,"+ а;а, = би. (46.25) Как и раньше, положим Ма = ааа„и заметим, прежде всего, что операторы Ма коммутируют друг с другом, вследствие чего П Имеются а аиду как пространственные, так и спиноные координаты Прим.
перев. Соотношения антикоммутации. Из предыдущего ясно, что область изменения собственных значений операторов 1у', определяется правилами перестановки операторов а„аа. Так из (46.12) следует, что числа )Ч, могут принимать любые целые неотрицательные значения. Но соотношения (46.!2) вытекают из правил перестановки (46.6) для р и ре. Поэтому, желая получить теорию частиц, подчиняющихся принципу Паули, нужно видоизменить равенства (46.6). При этом естественно потребовать, чтобы в том случае, когда гамильтониан имеет вид (46.5), квантовым уравнением движения для вр было волновое уравнение (46.2).
Иордан и Вигнер [8] нашли, что искомое видоизменение состоит в замене в (45.22) и (46.6) коммутаторов [А, В] — = А — ВА на антикоммутаторы [А, В]е = =АВ + ВА. Это означает, что соотношения (46.6) заменяются следующими; у Вд. Кваноование нереяятивистского уравнения Шредингера 4ОЗ их можно одновременно привести к диагональному виду.Собственные значения их можно найти из матричного уравнения М, = а;а„а;,а, = ав(1 — аяа,)оа = а;а„= 1Н„(46.26) при получении которого были использованы соотношения (46.25).
Если матрица М, приведена к диагональному виду и имеет собственные значениЯ пя, и„,..., то Ясно, что Х1 также Диагональна и собственные значения ее равны пав, и"вв, ... Поэтому матричное уравнение (46.26) эквивалентно алгебраическим уравнениям для собственных значений л„'= лм пв' = и„", Эти квадратные уравнения имеют по два корня, равных 0 и 1. Поэтому собственные значения каждого из операторов Ф, равны 0 и 1, и частицы подчиняются принципу Паули.
Как и раньше, собственные значения оператора 1Н = ~ гНв представляют собой положительные целые числа (или нуль). Найденные выше выражения для гамильтониана (46.22) и (46.23) остаются неизменными, а собственные значения оператора энергии равны ~л,Е,. Уравнения движения. Чтобы найти квантовое уравнение движения для Ч в случае гамильтониана (46.5), нужно решить, остается ли в силе общий вид (45.23) уравнения движения. Указанное уравнение было получено заменой в (45.20) классических скобок Пуассона на квантовые (т, е. на коммутаторы). Основанием для такой записи служила аналогия с теорией частиц, излагавшейся в $23, тождественность алгебраических свойств (23.12) для скобок обоего рода и, наконец, излагавшиеся в гл. Н! (задача 10) соображения соответствия.
Таким образом, отказ от уравнения (45.23) означает также и отказ от классического уравнения (45.20). Поскольку многие интересующие нас величины (число частиц, энергия и т. д.) имеют вполне определенные классические аналоги, мы по-прежнему будем писать квантовое уравнение движения в виде (45.23). Соответственно для оператора Ч мы получим уравнение (46.7), где теперь при вычислении правой части нужно использовать соотношения антикоммутации (46.24). Поэтому соотношение (46.8) заменяется следующим: )' Г(ЧЧв'Ч' — Ч""Ч'Ч) пт = ! Н (ЧЧ» + Ч Ч) Ч ит = = / Н'Ч'д(г — г')пт = НЧ Аналогичное преобразование первого члена в правой части (46.7) не изменяет правой части (46.9).
Поэтому при замене коммутаторов на антикоммутаторы волновое уравнение (46.2) остается неизменным, Легко показать также, что как М, так и значения антикоммутаторов в (46.24) представляют собой интегралы движения. Гл. Х111. Квантование волновал полей 406 Представление антикоммутирующих операторов аа. Явное представление операторов, фигурирующих в (46.25), легко получить в гипотетическом, но поучительном случае, когда система имеет только одно состояние.
Тогда задача сводится к решению матричных уравнений аа = аеа = О, аае + аеа = 1, 1ч' = аеа. (46,27) Но такие уравнения уже решались в задаче 3 в гл. и1. Мы уже видели 1см. (46.26)), что № = И, так что собственные значения 1ч' рав- ны О и 1. Если вырождение отсутствует, то 1ч' можно предста- вить в виде диагональной матрицы го о~ (46.28) О Возможность классически измерить амплитуду поля какой-либо заряженной частицы (подчиняющейся статистике Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирака) означает, что т входит в О линейно, так как в этом случае энергия должна зависеть не только от билинейных комбинаций и, но и от самой функиии. Это в свою очередь означает, что в гамильтониан входят члены, линейные относительно аа или аа и, следовательно, возможно уничтожение или порождение отдельных заряженных частиц.
Поэтому, если в теории имеет место закон сохранения электрического заряда, то и нельзя измерить классическим путем. Физический смысл зитикоммутации. Поскольку антикоммутаторы не обладают алгебраическими свойствами скобок Пуассона, можно заключить, что величины гр и а», удовлетворяющие соотношениям (46.24) и (46.25), не имеют классических аналогов. Это, однако, не означает отсутствия таких аналогов у операторов 1ч' и Н: последние представляют собой билинейные комбинации м или ад и коммутируют друг с другом. Эти выводы можно подтвердить физическими соображениями. Чтобы амплитуду поля можно было измерить классическим путем, она должна быть достаточно велика, а для этого необходимо, чтобы в одном и том же состоянии было очень много частиц (тогда их поля когерентны).
Следовательно, такие частицы должны подчиняться статистике Бозе — Эйнштейна. Так, например, можно утверждать, что световые кванты (фотоны) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, ибо известно, что действительно можно создать сильные электрические и магнитные поля и измерить их классическим путем. С другой стороны, в случае электронов в металле, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, величины типа энергии, заряда и плотность тока можно измерить классически, поскольку они допускают представление в виде билинейных комбинаций амплитуд поля, тогда как амплитуда электронного поля сама по себе не является измеримой".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
