Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Кваитовые условия. Мы получим квантовые условия, допустив, что гамильтониан дается объемным интегралом (46.4), уравнения движения имеют вид (45.23), а первое из соотношений (45.28) представляет собой квантовое условие, накладываемое на волновое поле. ПоскольКу ~р является теперь не классической функцией, а оператором, то и функцию р следует считать не комплексно, а зрмитово сопряженной с у. Поэтому в соответствии с $ 21 мы будем обозначать этот оператор через ~рв. Для удобства заменим л на Итв с помощью (46.3); тогда гамильтониан примет вид Н = ~ ( — атас( тга дгаб 1р+ Утгаерт Ит, (46.5) Пользуясь (21.14) и (21.15), можно показать, что оператор Н эрмитов.
Квантованный гамильтониан, определяемый формулой (46.5), характеризует полную энергию поля; его не следует смешивать с оператором энергии отдельной частицы (22.2), описываемой волновым уравнением (6.16) или (23.1). До сих пор мы не дали явного представления для операторов ч и Н и потому не можем сказать, на что они действуют. Пока мы имеем дело с уравнениями движения, выбор частного представления не является необходимым, но его желательно сделать, имея в виду последующее физическое истолкование развитого формализма. Правила перестановки имеют вид 1ю (г), |р (г')) = (вр» (г), ера (г')) = О, [~р (г), ~ра (г')] = б (г — г').
(46.6) М Правила перестановки для величин, относящихся к различным моментам времени, представляют интерес в связи с релятивистскими теориями (см. 1 47Ь Отсутствие аргумента 1 у переменных поля означает, что они относятся к одному и тому же моменту времени". 398 Гл, Х111. Квантование волновввл полей Подставляя во вместо Р в (45.23), получим ИвГ = [вр, Н]= [~р, ~ — угад'вон' дгад'воях'~]+ [1в, ] )'вр*'во'дх'~, (46 7) где штрихи означают, что в качестве переменной интегрирования вместо г берется г'. Второй член в правой части легко вычисляется при помощи (46.6), и мы получаем „] 11ЬГ ув Ч в1вР)дх =,[ 1' М вГ 4вГдх = = „( Р'во'6(г — г') ах' = 1~во (46.8) (во коммутирует с классической функцией в'). Для вычисления первого члена в правой части (46.7) упростим его, проинтегрировав по частям: ( угад'вова .
угад'вр'дх' = — [вовнЧ"водх'. Поверхностный интеграл обращается в нуль либо в силу быстрого убывания во на бесконечности, либо вследствие периодических граничных условий, накладываемых на ~р. Таким образом, ~1в,,( угад'вон' . угад'1оЯх'] = — [Ч, 1 ЧвнЧ'в~'дх'] = = — [[~р, вова]Ч"ввдх' = — 1 (Ч"вр')б(г — г') дх' = — Чаво. (46.9) Подстановка (46.8) и (46.9) в (46.7) приводит к (46.2); таким образом, уравнения, получаемые в классической и в квантовой теориях поля, согласуются друг с другом. Аналогичное вычисление показывает, что из равенства йв)в = [вов, Н] получается уравнение, эрмитово сопряженное с (46.2); непосредственно видно, что если оператор Н эрмитов, то оно эрмитово сопряжено и с уравнением йу =-[Ч, Н].
Если Г не зависит от 1, то и Н не зависит от времени явно, и из уравнения (45.23) видно, что Н является интегралом движения. Поэтому энергия поля сохраняется. Другой интересный оператор дается выражением Н = [ рвводх. Мы допустим, что он представляет число частиц в поле. Отметим прежде всего, что оператор И эрмитов. Его производная по времени равна ИМ=[М, Н]= (46.10) = ~ ~ враврдх, [ ( — угад'1в*' угад'1в'+ У'~ра'тр)дх'~ ° результат коммутирования Н с оператором Г можно записать в виде [ ] Ч'(хгвнноо'во' — ~рвнвр'в1авр) Йх Йх'.
З Вб Квантование нерепяппивистспого уравнения Шредингера 399 При помощи соотношений (46.6) выражение в скобках под знаком интеграла преобразуется следующим образом вр»врвр»вр' — вр»врвр»вр = вр»[вр»вр + б (г — г ))врс — ер» врвр»вр = = вр»'вр» р' р + вр»вр' б (г — г') — вр»'вр'вр»вр = = вр»'[вр'вр» — б (г — г'))вр + вр»вр'Ь(г — г') — вр»'вр'вр»вр = 0 (здесь принято во внимание, что б-функция отлична от нуля только при г =. г'). Аналогичное, но несколько более сложное вычисление показывает, что [вр»вр, афтаб'вр»' дгаб'вр'] = [~р» дгаеГвр' — (агасГвр»') вр) ° ргаб б(г г') Интеграл от этого выражения по г и г' равен нулю.
Таким образом, из 46.10) следует, что М вЂ” интеграл движения ажно показать также, что интегралами движения являются и правила перестановки, так что если они имеют место в какой- нибудь один момент времени, то они будут верны и в любой другой момент. Ж-представление. Выберем теперь такое представление, в котором оператор А[ диагонален. Поскольку оператор Ж эрмитов, его собственные значения вещественны. Это представление удобно в общем виде ввести при помощи разложения по ортонормированным функциям и„(г) типа (45.1). Для определенности будем считать индекс х дискретным. Положим вр(г, 1) = ~",а,Яи,(г), вр»(г, 1) = ~~,"ав(1)иа(г), (46.11) где и, — численные функции от пространственных координат, а а„— операторы, зависящие от времени. Уравнения (46,11) можно решить относительно а,: а,(Г)= [иа(г)вр(г, 1)е(т, аа= ~и„(г)вр»(г, 1)аг.
Таким образом, умножая обе части второго из правил перестановки (46 6) на й,(г) и,(г') и интегрируя по г и г', получаем,принимая во внимание ортонормированность функций и, [ад(1), а',Я = [ [ и,(г) и,(г)б(г — г)еЬаг' = баь (46.12) Таким же путем легко убедиться, что операторы а, и а„а также ав и ав' коммутируют при всех к и 1. Подстановка (46.11) в выражение для А1 показывает, что М = ~ Хю где Ма = ааави (46.13) 400 Гл. ХП1. Кванглованае волновых полей Легко видеть, что все М» коммутируют друг с другом, и, следовательно, их можно одновременно привести к диагональному виду.
Чтобы найти представление, в котором как М, так и все М» диагональны, запишем операторы и» в виде а, = 2- н(4» -~- (р»), а» = 2 и (о» вЂ” 1р»), (46.14) где операторы 4» и р» эрмитовы. Это всегда возможно, так как, обращая уравнения (46.14), мы имеем о» вЂ” — 2- н(а»+ а»), р» = — 12 н(໠— а'„), а эти операторы, очевидно, эрмитовы. Из соотношения (46.12) вытекает, что (о», ~т) = (р,, р,1 = О, (у, р,1 = 1Ь»~ (46.15) и (46.16) 2(~»+т») 2 Уравнения (46.15) и (46,16) имеют то преимущество по сравнению с эквивалентными им соотношениями (46.12) и (46.13), что их решения уже были однажды получены в связи с задачей о линейном гармоническом осцилляторе. Теперь мы покажем, что с помощью некоторых результатов 2 13 можно найти явные выражения для матриц р» и 4», причем матрицы М, будут диагональны.
Связь с гармоническим осциллятором. Квантовое движение частицы с массой т под действием силы — Кх, где х — смещение из положения равновесия, рассматривалось в 3 13 с точки зрения уравнения Шредингера. Как показано в 2 22 и 23, решение этой задачи эквивалентно диагонализации матрицы энергии рв — + — Кхя 2т 2 где координата х и канонически сопряженный импульс р удовлетворяют правилу перестановки типа (23.13): (х, р] = (й. Для собственных значений оператора энергии была получена формула (13.8): ~(п + — 1й ( — ) л = О, 1, 2, ...
В представлении, в котором энергия диагональна, матрица х дается выражением (13.18)п. 0 Эти результаты можно получить также при помощи только матричных методов, не решая явно уравнения Шредингера (ем. кингу дирака 131, 1 34). д дб, Квантование нереяятивиотсяого уравнения Шредингера 401 ив+ 11И (41) ° *в+в = (цн)я*+1 н = ( 2 ) (46.17) (все прочие матричные элементы ц, обращаются в нуль). Матрицу Р, можно вычислить методом, использованным при выводе (13.18). Мы получаем .(ни+1~% (Рн)яа п,+1 = — (Рн)о,+ь я, = — 1'1 2 -1 (46.18) а все остальные матричные элементы равны нулю.
Теперь при помощи (46.14) можно найти матричные представления для операторов ан и ай ' (и„)„„„,+1 = (пн)п*+ь». = (пя + 1) (46.19) Все другие матричные элементы обращаются в нуль. Поскольку пРи 1Ф /е величины Цю Рн, а„ай коммУтиРУют с г/ь из соотношений (46.17), (46.18) и (46.19) следует, что отличные от нуля матричные элементы связывают пары состояний, для которых все другие и, одинаковы. В задаче о гармоническом осцилляторе матрицу х можно связать с системой волновых функций и„(х), определяемых равенством (13.13), так что хят = Г и„(х) хп„,(х)их. Можно ожидать, что матрицы ц„р„аь и ая также будут аналогичным образом связаны с некоторыми величинами, играющими роль волновых функций в квантовой теории поля.
Эти величины мы будем называть волновыми функционалами )Р от чисел пн; их можно представлять в виде матриц с одним столбцом, удовлетворяющих соотношениям гРа(п„..., п;,...)Р(п,',..., п~,...) = б„,„;... б„,„;, Ра(п„..., пю...)анте(п,',..., ий,...) = =(п + 1)нб~н,... б„,+в „;..., (46.20) ..., ит...) ау гр(п„'..., и;„...) = И и бмн1 ' ' ' бш — 1, о( ° ° шифф !Ра (и„ 26 л Если теперь отождествить х с ц„р ср, а и, т и К положить равными единице, то мы сразу же увидим, что оператор И„+'/в совпадет с энергией осциллятора и собственные значения его равны и,+'/„где и,— положительное целое число или нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
