Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Поскольку при возведении (43.8) в квадрат получается единичная матрица, мы имеем а„а,в = 1, а,ва,д — — 1. (43.9) Единичная матрица в правой части первого из уравнений (43.9) имеет п строк и столбцов, а во втором уравнении — пд строк и столбцов. Легко показать, что коль скоро и и и равны 1 и 2 или 2 и 1, то невозможно найти матрицы, удовлетворяющие соотношениям (43.9). Поэтому рассмотрим две возможности, приводящие к матрицам минимального ранга": и = т = !и п = т = 2. Матрицы а„и а, можно, очевидно, записать в таком же виде, как и (43.8). Мы уже получили три матрицы вида (43.6) или (43.8) при и = т = 1. Это спиновые матрицы Паули (33.3): о) '' =( о) 'в=~о — !)' (4310) Они подчиняются соотношениям (43.11) а,о = — а„а =1а, а также двум другим, получающимся циклической перестановкой х, у и г.
У любой матрицы с двумя строками и столбцами имеется четыре элемента, так что ее можно представить в виде линейной комбинации четырех линейно независимых матриц о„ади а, и 1. В связи с этим легко показать, что нельзя найти матрицу, антикоммутирующую со всеми тремя матрицами (43.10). Поэтому рассмотрим случай п = дп —.- 2 и положим для простоты а„= и„, н т. д. Соотношения (43.9) теперь примут вид с4д = 1, а равенство и,аи + а„а„= 0 перейдет в а„аид + авда д = О. Из этих и других аналогичных соотношений, получаемых циклической перестановкой х, у, г, сразу же получим, что а„можно прирав- дд Матрицы более высокого ранга соответствуют частицам со спинам, превышающим д/д.
24 — да Рл. Х11, Реляоныостские волновые уравнения 372 нять о, и т. д. Таким образом, находим явные представления матриц Р, ен 0 0 — 1 0 0 0 0 0 "е= ~о ! 0 0 — ! 0 0 ! 0 0 0 Очевидно, эти матрицы эрмитовы. Для краткости будем обозна- чать их следующим образом: !3 = ( )ю а = ~ ) ° (43.13) Здесь каждый „элемент" представляет собой матрицу с двумя стро- ками и столбцами". Решения для свободной частицы. Теперь, когда величины а и !У представлены в виде матриц, уравнение (43.3) будет иметь смысл, только если и сама волновая функция и является матрицей с четырьмя строками и одним столбцом: (43.14) Тогда уравнение (43.3) фактически представляет собой систему четырех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, линейных и однородных относительно четырех компонент Р.
Будем искать решения в виде плоских волн: иь!(г,1) = и,ек' ">, 1= 1, 2, 3, 4, (43.15) где и, — числа. Выражения (43.15) являются собственными функциями операторов энергии и импульса (42.3), принадлежащими соответственно собственным значениям йсо и лй. Подставляя (43.15) О Релятивистский характер уравнения дирака становится более явным, если уравнение 143.3) умножить слева на Р. Это увеличивает симметрию между производными по пространственным координатам и по времени, так как четыре матрицы Р, Ро имеют такие же свойства, как и Р, и. 111 (г, 1) и ( г ! ) Р з ( г 1 ) та (Гэ !) Ре (г~ 1) 0 1 о О!' 0 0 (43.12) о — ~) а СЯ.
Релитиеистскае ураеиеиие дирака 373 и (43.12) в (43.3), получаем систему алгебраических уравнений для пв где теперь Е = йса и р = аи — числа: (Е + тс')и, + ср,и, + с (р, — 1р,) п4 — — О, (Е + тес)и, + с (Р, + (Ри) и, — сР,и, = О, (Š— тсс)и, + ср,и, + с (р — !р,) и, = О. (43.16) (Š— тс')ие+ с(р, + (ри)и, — ср,и, = О. Эта система уравнений однородна относительно и; и имеет решения, только если детерминант из коэффициентов обращается в нуль. Этот детерминант равен (Ес — тесе — сере)с, и, следовательно, связь энергии с импульсом имеет вид (42.2). Чтобы при заданном импульсе р получить явные решения, нужно выбрать определенный знак энергии, например положить Е + (ссра + тесе) У» с(р„+»ри) и Е„+ тс' ' с (ри — (р„) Е,+те' ' из=1» не= О, (43.17) и,=О, и,=1.
П 1= Е., + тс' ср, и =— »в Е, +те'' Аналогично выбрав перед квадратнымкорнем отрицательный знак Е = — (с'р'+ т'се) У, получим два других решения, которые запишем в виде с(р„+»р„) пе»' — Е +те ср, п,=О, и,=1, (43.18) с(ре — »ри) — Е + тс»' ср, п4 — Е +те» и,=О, п,=!, Каждое из этих четырех решений можно нормировать, умножая на величину ! (Е». + тс»)»1) тогда»р'»р = !, где р* — матрица с одной строкой и четырьмя столбцами, эрмитово сопряженная с»р. Ясно, что решения (43.17) соответствуют положительной, а решения (43.18) — отрицательной энергии.
В нерелятивистском случае, когда энергия Е =- — Е близка к тс' и велика по сравнению с с)р~,для решений с положительной энергией функции и, и ие Тогда мы будем иметь два линейно независимых решения, которые удобно записать в виде Гл. ХН. Релятивистские волновеее уравнения 374 по порядку величины в с/р раз меньше вв и и, (р — скорость движения частицы); для решений с отрицательной энергией соотношения обратны.
Чтобы выяснить, в чем состоит физическое различие между двумя решениями, соответствующими данному знаку энергии, введем три новые спиновые матрицы о„', ов и а,' с четырьмя строками и столбцами (43.19) (~ О) В начале $ 44 мы увидим, что матрицу '/е ло' можно рассматривать как оператор спина. В пренебрежении малыми компонентами волновой функции легко убедиться, что ч~ есть собственная функция оператора о., принадлежащая к собственному значению +1 для первых решейий (43.17) и (43.18) и к собственному значению — 1— для вторых решений.
Плотности заряда и тока. Чтобы получить уравнение непрерывности, умножим (43.3) слева на ив, а эрмитово сопряженное уравнение — И вЂ” + Ис(афтаб св) и+ еов1)шее=0 ш Таким образом, собственные значения компонент оператора скорости равны ~с. Этот результат можно сделать физически наглядным с помощью соотношения неопределенности (3.1).
Очень точное определение мгновенного значения скорости [которая, согласно (43.21), в релятивистской теории отличается от импульса] требует точного измерения координат частицы для двух слегка отличающихся моментов времени. Такое точное измерение координат означает, что импульс частицы остается полностью неизвестным, вследствие чего все его значения примерно равновероятны. Таким — справа на т и вычтем результаты один из другого. Тогда если ввести вещественные величины Р (г, 1) =- ~р*вр, 8 (г, 1) = — свр*авр, (43.20) то получится уравнение (42.7).
Выражение для Р имеет нерелятивистский вид (7.1); поскольку величина Р не отрицательна, ее можно интерпретировать как плотность вероятности координат. Можно показать, что в нерелятивистском случае выражение(43.20) для 8 переходит в (7.3) (см. задачу б). Оператор — са непосредственно связан со скоростью частицы. Действительно, вычислим с помощью (23.2) производную по времени от радиус-вектора г. Пользуясь выражением (43.2) для гамильтониана и перестановочными соотношениями (23.16), получаем ух 1 — — — (хН вЂ” Нх) = — са .
ш в я' р ЕЗ. Релятивистское уловление дирака 375 образом, очень большие импульсы будут значительно более вероятны, чем малые, а это соответствует близости скорости частицы к скорости света. Электромагнитные потенциалы. Члены с электромагнитными потенциалами можно релятивистски инвариантным образом ввести в (43.3); производя обычную замену ср ср — еА и Е- Š— еер (предполагается, что уравнение описывает частицу с зарядом е).
Тогда мы получим [Š— ар + а ° (ср — еА) + ртсе] ~р = О. (43.22) Здесь через Е и р обозначены операторы (42.3). Умножая это уравнение слева на [Š— ер — а (ср — еА) — рте'], можно привести его к виду, аналогичному (42.1О). В результате получим [(Š— ер) е — [а ° (ср — еА)] е — тесе + + (Š— ер) а.
(ср — еА) — а (ср — еА) (Š— ер)] р = О. (43.23) Второй оператор в (43.23) можно преобразовать с помощью соотношения (а ° В) (а - С)'=- В ° С+ 1а'(ВхС), (43.24) где В и С коммутируют с а, но необязательно коммутируют друг с другом (см. задачу 7). В данном случае В = С = (ср — еА). Воспользуемся также равенством (ср — еА) х (ср — еА) = — се (А х р + р х А) = [ейс го1 А = 1ейсН [см. (23.15)]. Подставляя это выражение в (43.24), получаем [а (ср — еА)]' = (ср — еА)' — ейса' Н. Два последних оператора в (43.23) можно переписать в виде [вновь принимая во внимание (23.15)] — еа (ЕА — АЕ) — сеа (ур — р~р) = дА = — 1ейа ††(ейса .
дгае[~р = (ейса ° Е. де Тогда вместо уравнения (43.23) находим [(Š— е~р)' — (ср — еА)' — тас'+ ейсо' Н -1- (ейса В] ер = О. (43.25) Здесь первые три члена в точности совпадают с (42.9). Физический смысл последних двух слагаемых удобно выяснить, переходя к нерелятивистскому случаю. 376 Гл, Х11. Релятивистские волновые уравнения Для этой цели можно было бы поступить точно так же, как и в случае уравнения (42.10). Можно, однако, и просто положить Е = Е'+ шов, (43.2б) считая затем Е' и еув малыми по сравнению с шсв; это эквивалентно подстановке (42,11) с последующим пренебрежением соответствующими членами. Тогда приближенно получаем (Š— ер)' — иасв 2тса (Е' — еув), и уравнение (43.25) принимает вид Е гр [2т (Р с А) + ь|' этс а ° Н вЂ” этс а Е1вр. (43.27) Если выделить в у множитель е-г"'апа, то Е' будет эквивалентно оператору Й(д[д[), действующему на остальную часть волновой функции. Таким образом, (43.27) представляет собой нерелятивистское уравнение Шредингера (23.24), в которое входят два дополнительных члена, содержащих непосредственно напряженности Н и Е.
Член, содержащий Н, имеет вид энергии магнитного диполя с моментом (ей[2тс) а'. Ранее [см. (43.17)] было показано, что при Е- 0 в нерелятивистском случае третья и четвертая компоненты волновой функции свободной частицы велики по сравнению с первой и второй. Пользуясь уравнением (43.22), легко показать, что зто имеет место и в общем случае, когда частица подвержена действию полей. Как видно из (43.19), действие матрицы а' на четырех- компонентную волновую функцию сводится к действию а только на большие компоненты.
Таким образом, две большие компоненты в (43.27) вместе с членом, содержащим Н, дают в точности нерелятивистское уравнение со спиновыми матрицами Паули и с правильным значением магнитного момента электрона [см. (39.10)]. Покажем теперь, что в практически интересных случаях член с Е в (43.27) по порядку величины равен (пв/св) ер и в нерелятивистском пределе им можно пренебречь".
Прежде всего заметим, что среднее значение а по порядку величины равно (и/с)[грвгрс[т, так как, согласно (43.13), а перемешивает большие и малые компоненты (раньше было также показано, что — са есть оператор скорости). Если линейные размеры содержащей электрон системы обозначить через а, то ер по порядку величины равно еКа и й/а р шп. Таким образом, отношение членов с Е к еу в (43.27) составляет (по порядку величины) евчЕ [ е тс' еЯа св я для сферически симметричного электростатического потенциала он обусловливает спин-орбитальное вэаимодеяствие, энергия которого по порядку величины девствительно равна (в/с)чем [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
