Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 78
Текст из файла (страница 78)
(42.14) Если положить Е = тс'+Е' и допустить, что величины Е' и е<р пренебрежимо малы по сравнению с тс', то (42.!4) сводится к не- релятивистскому радиальному уравненйю. При этом выражение в скобках в правой части (42.!4) будет равно (2т/йе)(Е' — еу), как и должно быть. Уровни энергии в кулоиовском поле. Если положить е р = — 2ее/е, то с помощью результатов $1б легко найти точное решение урав- в 42. Реллепивистснае уравнение Шрединеера 367 пения (42.14).
Полученное уравнение могло бы характеризовать атом водорода, если бы спин частицы, им описываемой, не был равен нулю (такая частица не может быть электроном). Положим у = аг, тогда уравнение (42.14) можно переписать в виде — — (д — ) + ( — — — — --)к=о и Я ! !<!+ П вЂ” у'' е.ее 4(не'с' — Е') л 2Еу (42.15) Это уравнение будет совпадать с (16.7), если заменить в нем !(!+1) на !(!+1) — у'. Параметр А определяется из граничных условий, накладываемых на функцию !г при д =, а Е можно выразить через 2, исключая и из последних двух уравнений (42.15): Е= тсе(1 + — ',! (42.
16) Так же, как и в случае (16.7), можно установить, что в данном случае решения, конечные при у = 0 и, существуют лишь при условии Д=п'+3+1, (42.17) где л' — нуль или положительное целое число, а у — неотрицательный корень уравнения з (з + 1) = 1(1+ 1) — уе, (42.18) Очевидно, имеются два корня = — —,' + —,'(!г!+ !) — 4~ 1", (42.
19) Формулы (42.16) и (42.20) описывают тонкую структуру нерелятивистских уровней энергии (16.15). В этом можно убедиться, один из которых при ! > 0 положителен, а другой отрицателен. Г1ри ! = 0 оба корня у отрицательны; однако константа т очень мала (если е †зар электрона, то у очень близка к 2!'137), так что для значений Л, представляющих физический интерес, у близко к нулю !если взять верхний знак в (42.19)).
Кроме того, хотя вблизи точки г = 0 функция 17(г) ведет себя как г' и, следовательно, имеет сингулярность в начале координат, интеграл от функции Р(г), определяемой формулой (42.8), сходится, так что полный электрический заряд остается конечным. Таким образом, при всех ! мы будем брать верхний знак (42.19). Тогда равенство (42.17) дает + —,'+ ((!+ —,')' —, ]' (42.20) 368 Гл, Х11. Релятивистские валнавыв уравнения разлагая выражения для энергии в ряд по степеням у'. С точностью до членов порядка у' получаем Е = л]с~ Г[ — —; — -„-; — — (42.21) у' у л 311 — )1 2пв 2йв 1 4 2 где п = и'+ [+ 1 — полное квантовое число, определяемое равенством (16.14) и принимающее только положительные целые значения.
Первый член в правой части (42.21) представляет энергию покоя. Второй член тсвуз тгввв 2пв 2$впт соответствует (16.15). Третий член характеризует энергию тонкой структуры и снимает [-вырождение состояний с данным значением л. Как видно из (42.21), полная „ширина" системы подуровней, образующих тонкую структуру, составляет (при данном и) тс'у' и — 1 (42.22) и —— 2 Эта величина значительно превышает экспериментально наблю- даемую в спектре атома водорода.
й 43. Релятивистское уравнение Дирака Исходным пунктом для нахождения релятивистского волнового уравнения Дираку" послужила гамильтонова форма волнового уравнения (23.1): 1[г --1р (г, !) = Нгр(г, йь (43.1) Классический релятивистский [гамильтониан свободной частицы дается положительным квадратным корнем из правой части (42.2). Однако, если подставить его в (43.1) и заменить р оператором — гй йтаб, то получающееся волновое уравнение будет несимметрично по отношению к временной и пространственным производным,а потому не будет релятивистски инвариантно. В связи с этим Дирак видоизменил гамильтониан так, чтобы и пространственные производные входили в него линейно.
'1 См. работу Дирака [4] или его книгу [3], гл. ! 1. (Более подробно с теорией Дирака можно познакомиться также по книгам Фока [11), де-Бройля [12], Паули [13, 14], Соколова и Иваненко[18] и Карсена [16]. В последней кинге содержится подробная библиография, отиосяпгаяся как к уравнению Дирака, так и к другим релятивистским волновым уравнениям. Несколько иной подход имеется в работах [17, !8]. — Прим. перев.) р ВЗ. Реннншвистсксе уравнение ссирака 369 Уравнение для свободной частицы. Простейший гамильтониан, линейный относительно импульса и массы, имеет вид Н = — са р — сутс'.
(43.2) Подставляя зто выражение в (43.1), получаем волновое уравнение (Е + са ° р + 1утсв)вр = О или (1й —, — Рйса . згад + 13тс' )ср = О. а (43.3) Рассмотрим теперь четыре величины а„аю а, и б. Если уравнение (43.3) описывает свободную частицу, то в гамильтониане не должно быть членов, зависящих от пространственных координат или от времени. Действительно, наличие их означало бы соответствующую зависимость энергии,что приводило бы к возникновению сил. Производные по координатам и времени, фигурирующие в Е и р, также не могут входить в х и Р, так как уравнение (43.3) должно быть линейно относительно этих производных. Итак, величины а и Ф не зависят от г, 1, р и Е и, следовательно, коммутируют со всеми этими переменными. Это еще не означает, что а и й представляют собой числа, так как они могут не коммутировать друг с другом.
Дополнительные сведения об а и 3 можно получить, потребовав, чтобы любое решение (43.3) удовлетворяло-и релятивистскому уравнению Шредингера (42.4) (обратное — необязательно). Это требование является разумным,так как в отсутствие внешних полей для волновых пакетов, удовлетворяющих (43.3) и характеризующих движение „почтй классической" частицы, должно выполняться классическое соотношение (42.2) между энергией, импульсом и массой (см.
задачу 1). Поэтому умножим уравнение (43.3) слева на (Š— са р — 1Утс'); при этом получим (Ев — се(иврв + аврв в+ и~~рв + (и„а„+ ина„) Р,Р + + (ауи, + а,а„) Р„Р, + (аса, + а и.) РсРЛ вЂ” т сансв— — тсв [(и,р+ Ри )Р, + (а Р + 1)и )Рв + (а,С6 + Раас)Р,'1) Р = О. (43.4) Здесь подразумевается, что Е и р выражены через дифференциальные операторы по формулам (42.3). Уравнение (43.4) совпадает с (42.4), если величины а, су удовлетворяют соотношениям акв = ив = ае = Ре = 1, хса„+ ани = а„и, + аса„= сс,сс, + а а = О, (43.5) а Ст + Ри = ин13 + 13ау —— ас13 + ассе = О. Про такие четыре величины говорят, что они попарно антикоммутпруют и квадраты их равны единице. 24 Гт Х11. Релягоивиотелие волновые уравнения 370 Поскольку ни р не коммутируют, а антикоммутируют друг с другом, они не могут быть числами.
В гл. И мы видели, что величины такого типа можно выразить с помощью матриц, причем матричное представление оказывается удобным при проведении вычислений. Прежде всего заметим, что поскольку гамильтониан (43.2) эрмитов, то эрмитовыми должны быть и все четыре матрицы а, 17. Следовательно, они являются квадратными. Задача заключается в том, чтобы найти явный вид этих матриц в каком-нибудь представлении, когда, например, одна из них диагональна (в связи с чем другие матрицы уже не будут диагональны, так как они не коммутируют с данной).
Простоты ради потребуем, чтобы представление имело наинизший возможный ранг. Матрицы а и Р. Квадрат каждой из четырех матриц равен единице, и, следовательно, их собственные значения равны + 1 и — 1. Потребуем (вполне произвольно), чтобы матрица р была диагональной, и расположим ее строки и столбцы так, чтобы все собственные значения, равные +1, были сгруппированы в матрицу ранга и, а все собственные значения, равные — 1, — в матрицу ранга пь Поскольку р антикоммутирует с а, она не может быть постоянной и, следовательно, оба числа, и и т, должны быть отличны от нуля.
Схематически р можно представить в виде у=(,' ',) что сокращенно изображает матрицу (43.6) (1О.. 0 1 0 0 О 0 (43.7) 00. 00. — 1 0 Π— 1 М Матрицы 1 н 0 совпадают с единичной и нулевой матрицами 1 и О, определенными в 1 21. Сплошные линии в (43.7) разделя1от входящие в (43.б) субматрицы 1, О, О и — 1". Рассмотрим теперь матричное уравнение ее,р+ ри = О, 11-й элемент которого имеет вид (а,)н(ф, + ф,) = О.
В 43. Релятивистское уравнение дарана 371 Здесь Рд и ф, представляют собой два собственных значения матрицы 11, расположенные в соответствии с (43.6) или (43.7). Если у,. = Рь то (а,)н = 0; с другой стороны, если знаки д; и ф, противоположны, то (и,),, не обязательно должно быть равно нулю. Поэтому матрицу а. можно записать в виде (43.8) гдеа„имеет п строки ш столбцов, а а„,имеет ш строки п столбцов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
