Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 81
Текст из файла (страница 81)
а т Это означает, что оба ряда асимптотически ведут себя как е" и регулярные решения получатся только в том случае, когда ряды обрываются. Пусть это имеет место при т = и', так что а„.ь, = = Ь„,ь, =О. Тогда оба уравнения (44.21) приводят к соотношейию а,а„, = — лЬ„о и' = О, 1, 2, ... (44.25) Полагая в (44.24) т = и' и принимая во внимание (44.25), найдем уровни энергии. В силу (44.16) имеем 2ве($ + и ) = у(ат — аа) = — ° 2Еу 2 йе Возводя это выражение в квадрат, получаем (тасе — Ер)(з + и')а = Е'уа и, следовательно, Е тса [1+ (44.26) Соотношения (44.23) и (44.26) эквивалентны формуле, впервые выведенной Зоммерфельдом 171 на основе старой квантовой теории.
Эта формула находится в очень хорошем согласии с наблюдаемым спектром атома водорода'. Если разложить (44.26) в ряд по степеням у', то наличие тонкой структуры становится очевидным. С точностью до членов порядка ув получим результат, напоминающий (42.21), но несколько отличающийся от него: Е = шс'[1 — зл' зл' [(( ! 4)1' (44.27) Л Имеется, однако, небольшое, но важное отклоненне от этой формулы; см. работу Лэмба 131. Гл, Х11. Релятивистские волновая уравнения 384 Здесь и = л'+ )а~ — полное квантовое число, фигурирующее в (1б.14), а )а) принимает целые положительные значения. Из (44.27) легко найти, что при данном п „ширина" системы подуровней, об- разующих тонкую структуру, составляет тсвтв и — 1 и' 2н Эта величина много меньше получающейся из релятивистского уравнения Шредингера 1см.
(42.22)1 еи хорошо согласуется с опытом. Классификация уровней энергии. При л' >0 допустимы все положительные и отрицательные целые значения /с (как видно из формулы (44.12), 1в не может быть равно нулю]. Однако при и' = 0 может возникнуть противоречие между соотношениями (44.22) и (44.25); действительно, они дают соответственно ув у Ьв и ав в+й ав а (44.28) Поскольку в ( )1с~, первое из этих выражений будет положительным или отрицательным в зависимости от того, положительно или отрицательно число я, тогда как второе выражение всегда отрицательно.
Поэтому если и' = О, то 1с может принимать только отрицательные значения. До сих пор мы показали только, что значение 1, характеризующее уровень энергии, равно Й~ — '/в. Чтобы связать с уровнем энергии значение орбитального квантового числа 1, следует перейти к нерелятивистскому приближению, считая 1 хорошим квантовым числом. Поскольку в этом случае 6 много больше Р, в (44.10) можно заменить р на — 1 и о' на о. Тогда (1.
+ —,' Д )'= ~Ц1 + 1) + — ', ]й + Л .1.. Это выражение равно /(1+ 1) йв. Таким образом, мы получаем /=1+ — » 1 г' — 1 — 1, + ) 1(в ) 4 1 /=! — —. 2 Рассмотрим, например, уровни энергии в атоме водорода для случая и = 3. Радиальное квантовое число и' может равняться О, 1 или 2, а 1в может быть равно ~(3 — и'), исключая случай ЕЕ. уравнение дарана в Чентральном поле 385 только — 3.
В нерелятивнстской будут 1 015 5 3 — воч 2 М 3 вР 2 В и' = О, когда й может равняться классификации уровни энергии и' )е Π— 3 2 1 2 2 1 — 2 1 2 1 1 — вРг г — ! Π— бн В силу (44.23) и (44.26) состояния с одинаковыми значениями (К! или 1' имеют одинаковую энергию. Из формулы (44.27) видно, что энергия возрастает с увеличением (Х~.
Состояния с отрицательной энергией. Мы видели, что релятивистские уравнения Шредингера и Дирака допускают решения, для которых частица имеет отрицательную кинетическую энергию й отрицательную массу покоя. Они соответствуют отрицательному знаку перед квадратным корнем из правой части классического выражения (42.2).
В квантовой теории пренебрегать решениями с отрицательной энергией, как это делалось в классической механике, уже нельзя, поскольку ничто не мешает заряженной частице совершить радиационный переход из состояния с положительной в состояние с отрицательной энергией. Дирак предложил считать, что все состояния с отрицательной энергией, получаюшиеся в результате решения уравнения (43.22), целиком заполнены.
В этом случае принцип Паули исключает возможность подобных переходов. Соответственно в состоянии вакуума плотность электронов с отрицательной энергией бесконечно велика. Предполагается, что с этими электронами не связаны какие-либо электромагнитные или гравитационные эффекты; однако отклонения от нормального состояния, когда один или несколько уровней отрицательной энергии оказываются вакантными, могут быть наблюдаемы.
Следует ожидать, что отсутствие отрицательно заряженного электрона с отрицательными массой и кинетической энергией будет проявляться как положительно заряженная частица с такими же (по абсолютной величине) положительными массой и кинетической энергией. Таким путем можно сформулировать ндырочную" теорию иозитрона. Однако при наличии столь большого числа электронов мы уже не имеем теории одной частицы, как зто предполагалось при 25 л. шивариЂ Гл. ХП. Релятнвистскш волновые уравнения 386 выводе волнового уравнения. Исходя из уравнения Дирака,можно развить теорию позитрона и построить теорию многих частиц, используя формализм квантованных полей, обсуждаемый в следующей главе.
На первый взгляд могло бы показаться, что для релятивистского уравнения Шредингера нельзя применить тот же метод, так как это уравнение описывает частицы с нулевым спином, подчиняющиеся не принципу Паули, а статистике Бозе — Эйнштейна. Однако Паули и Вайскопф [9] показали, что в этом случае энергия квантованного поля всегда положительна, хотя фигурирующий в волновом уравнении параметр Е может быть и отрицательным.
С другой стороны, плотность заряда в квантованном поле может иметь любой знак в соответствии с неопределенностью знака Р, о которой говорилось в связи с (42.8). Обе рассмотренные в настоящей главе теории предсказывают существование частиц с положительными энергиями и с обоими знаками электрического заряда. Однако наличие спина у частицы следует из уравнения Дирака, откуда вытекает, что именно оно описывает электроны. ЗАДАЧИ 1. Показатгь что для общего решения уравнения (42.4), имеющего вид волнового пакета, средние значения Е' и р' связаны соотношением (Евр = с" рв) -1- т'св.
Рассмотреть связь между зтнм результатом н класснческйм уравнением (42,2). 2. Исходя нз нерелятивистскаго приближения, связанного с (42.11) н приводимыми далее соображениями, показать, что выражение (42,8) для Р в пределе переходит в (7.!). 3. Решить релятивистское уравнение Шредингера для притягивающего потенциала, имеющего вид прямоугольной потенциальной ямы глубины и радиуса а (предварительно сформулировать условия непрерывности прй г = а). При данном а найти явное выражение для минимального значения потенциала рм для которого частица с массой т может находиться в связанном состонний.
4. Непосредственным путем показать, что волновые функции (43,!7) н (43.18) не являются собственными функциями какой-либо из компонент спннового момента количества движения аа'/2, 6. Показатгч что любую двухрядную матрицу можно представить в виде линейной комбинации о„, о„, а, и 1. Испальзун этот результат, показать, что нельзя найти матрицу, антйкоммутирующую со всеми компонентами о.
6. Показать, что выражение для плотности тока (43.20) в пределе созна. дает с соответствующим нерелятнвистским выражением (в качестве м взять волновую функцию свободной частицы). 7. При помощи выражений (43,11), (43,13) н (43.!9) проверить справедливость соотношения (43.24). 8. Доказать, что операторы аг и й, определяемые равенствами (44.9) и (44.10), коммутируют друг с другом и йвйв дается правой частью формулы (44. 12).
9. Обсудить вопрос о свнзи между членом и ° И, фигурирующим в (43.27), и энергией спин-орбитального взаимодействия. 16. Показать, что отрицательный знак перед квадратным корнем, который может появиться при получении формул (42.16) и (44.26), в действительности не соответствует связанным состояниям. Лигаература 11. Показать явно, что исключение У,/а, из двух уравнений (44.28) при и' = 0 дает правильные уровни энергии только при (г.~ 0 (но не при к ) 0). !2, В релятивистских теориях Шредингера и Дирака применить правила отбора Ы =-',- 1, д! = О, л ! для нахождения частот разрешенных переходов в кулановском пале между состояниями с и = 2 и и 3.
В частности, показать, что во второй теории имеется семь линий, пять из которых различны, а в первой теории — три линии, удаленные друг от друга на значительно большее расстояние. 13, Решить уравнение Дирака для притягивающего потенциала, имеющего вид потенциальной ямы глубины 1', и радиуса а, сформулировав предварительно условия непрерывности при г = а. При заданном а найти в явном виде минимальное значение потенциала Н„ длн которого частица с массой т может находиться в связанном состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
