Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 83
Текст из файла (страница 83)
абзац, следующий зз формулой (27.26). д 45. Клаееаиеекие и квантовие уравнения наля 393 В силу (45.11) и (45.15) вариация Е, получающаяся в результате варьирования вр и вр, имеет вид Ы = / ( — 6"„Ьр+ — 6',Ь(р) (с=3( Ьр+ Ь'рУ(т= = 1 1 Ь(лвр) + л Ьвр — врдл)~1т = ЬН+ Ьв'. + ( (лдвр — врдл)в(т, (45.15) Вариация Н при соответствующем варьировании вр и л есть ЬН= ~ ( — Ьвр + — Ьл) Ит. (45.17) Из определения функциональных производных (см.
выше) следует, что дн 8Н ° 8 86à — — ° Ьр = зр ~',зл 8(этРэх) (45.18) дн 8Н ~лГ 8 8Н дл эл „„, 8х 8(эл/эх) Сравнивая уравнения (45.16) и (45.17) при произвольных вариациях Ьвр и Ьл, получаем классические уравнения Гамильтона для поля: (45.19) Теперь можно найти уравнения Гамильтона, позволяющие определить, как меняется со временем функционал Р от вр и л. Представим Р в виде объемного интеграла от соответствующей плотности функционала Г(вр,л), причем для простоты будем предполагать, что она не зависит явно от времени и от градиентов вр или л. На основании полученных ранее результатов можно показать, что Р = ~ ( — вр+ — л) в(т = ~ ( — — — — — ) в(т = (Е, Н). (45.20) 8и .
8п . дя 6Н дп дНв зи эл дрр дл дл дн) Это уравнение служит также определением скобок Пуассона для двух функционалов от переменных поля. Правая часть (45.20) не изменится, если Р будет зависеть также от атаб вр или атаб л (см. задачу 2). Иэ соотношения(45.20)вытекает, что если функция Н не зависит явно от времени, то она является интегралом движения. В 'этом случае Н есть полная энергия поля.
Квантовые условия для иоля. Аналогия между координатами и импульсами частиц д,, ро с одной стороны, и средними по объему ячейки от вро Р,, с другой, указывает на то, что в качестве правил перестановки для поля можно принять соотношения (вр„врв1 = ~Ри РД = О, (ун РД = (ДЬвг (45.21) 394 Гл. Х111, Квантование волновых полей Здесь скобки Пуассона определены в соответствии с (23.9). Зто означает„ что теперь волновое поле рассматривается уже не как функция, а как оператор, который, как и в $ 23, можно предста- вить в виде матрицы. Допустим теперь, что объем ячейки очень мал. Тогда с помощью (45.12) и (45.15) соотношения (45.21) можно выразить через вр и вп [вр(г, 1), вр(г', 1)1 = (вг(г, 1), вг(г', 1)) = О, (вр(г, 1), п(г', 1)1 =- ИЬ(г, г'), где о(г, г') =- 1/ать если г и г' лежат внутри одной и той же ячейки; в противном случае д(г, г') = О.
Функция д(г, г') обладает тем свойством, что интеграл ~ 1(г)о(г,г')аг равен среднему значе- нию 1 для ячейки, внутри которой находится г'. Таким образом, в пределе, когда объемы ячеек стремятся к нулю, д(г, г') можно заменить трехмерной д-функцией Дирака д (г — г'), определяемой соотношением (11.14). Тогда правила перестановки для канониче- ских переменных поля примут вид 1вр(г, 1), вр(г', 1)] = (вг(г, 1), вг(г', 1)1 = О, (вр(г, 1), вг(г', 1)) = Ид(г — г'). (45.22) Уравнение движения для любой квантовой динамической переменной Р получается, как и в 9 23, путем замены в (45.20) классической скобки Пуассона на квантовую: ИР=(Р, Н). (45.23) Если известны явные выражения Р и Н через вр и вг, то скобку Пуассона можно вычислить с помощью (45.22). Таким образом, равенства (45.22) и (45.23) полностью описывают поведение квантового поля, характеризуемого гамильтонианом Н.
Поля е несколькими компонентами. До сих пор в настоящем параграфе мы имели дело с полями, которые можно описывать с помощью одной вещественной амплитуды. Если поле характеризуется несколькими компонентами вр„вр„..., то плотность лагранжиана имеет вид 1(врь дгаб вр„вры вр„бган вр„вр„..., 1). При этом если все компоненты поля вр„вр„... варьируются независимо, то для каждой иэ них вариационный принцип (45.3) приводит к уравнению вида (45.8) или (45.11). Для каждой компоненты вр, можно аналогично (45.15) определить канонически сопряженный импульс вг, = дв /двр,.
Плотность гамильтониана имеет вид и= "'„'вг,ф, — А, (45.24) у ед. Квантование нереяятивиетевого уравнения Шредингера 39б а уравнения Гамильтона представляют собой систему двух уравнений типа (45.19), записанных для всех значений з. Уравнение(4523) остается неизменным, а правила перестановки (45.22) заменяются следующими: [вр,(г, 1), вр„,(г', 1)] = [ве,(г, 1), п,,(г', 1)) = О, [вр,(г, Е), ве,,(г', 1)! = Иб„,б(г — г'). (45.25) Непосредственный интерес представляет случай одного комплексного поля ер, для которого можно написать вр = 2 и(вр, + гврв), гр = 2 н(вр, — Йре), (45.26) где функции вр, и тв вещественны.
Покажем прежде всего, что уравнения вида (45.8), получаемые независимым варьированием вр и вр, эквивалентны уравнениям, полученным в результате варьирования вр„и врв. В силу соотношений (45.26) имеем б 2 м(а [з1 б 2 у[а+(б) бг = .а~, Зуч~ ' б(, = ~ар„О„,~ Таким образом, сумма и разность уравнения для вр, и умноженного на 1 уравнения для врв дают уравнения Лагранжа, получаемые при независимом варьировании вр и вр в интеграле (45.3).
Аналогичным путем легко показать, что импульсы, канонически сопряженные соответственно с вр и у, равны": ге = 2- И (ге, — !вес) и л = 2- Н (ве, + !вес). (45.27) Тогда ве,вр, + гевврв = веер -1- гевр и функция Гамильтона остается не- изменной. Из соотношений (45.25) (где з = 1 и 2), (45.26) и (45.27) можно получить правила перестановки для вр, вр, л и ве. Мы имеем [вр(г, 1), ге(г',1)) = Иб(г — г'), [вр (г, 1), н (г', 1)) = И б (г — г'), (45.28) тогда как все другие пары переменных коммутируют. й 46. Квантование нерелятивисгского уравнения Шредингера Применим прежде всего развитый выше метод квантования поля к нерелятивистскому уравнению Шредингера (6.16). Это означает, что мы будем рассматривать (б.! 6) как классическое уравнение движения некоторой жидкости.
Как мы увидим, теория квантованных полей эквивалентна уравнению Шредингера для системы многих частиц типа (16.1) или (32.1). По этой причине квантование поля П См. примечание ! пв стр. 39б. Гл. Х111, Квантование волновых нолей 396 называют также вглоричнылв квантованием. Прн терминологии первичным квантованием является переход от классической механики частицы к уравнению (6.16). Уравнения Лагранжа и Гамильтона.
Плотность лагранжиана можно взять в виде' 1=(Ь7Ф вЂ” дгас( р йгадгр — 'к(г, 1) рр. (46.1) йв Как показано в конце предыдущего параграфа, при выводе уравнений Лагранжа функции вр и ф можно варьировать независимо. Уравнение типа (45.8), получаемое при варьировании тр, имеет вид — (йф = — — р р + 11 (~, 1) е.
йв 2т Оно комплексно сопряжено с уравнением (6.16). Последнее получается варьированием по ф.. лгр = 2 т вр+ У(Г, ()вр. (46.2) Импульс, канонически сопряженный с вр, равен = — ';.= 1дф. (46.3) Однако величина ф не входит в плотность лагранжиана и, следовательно, импульс вх тождественно равен нулю ". Поэтому второе из правил перестановки (45.28) (или соответствующее классическое соотношение, выраженное с помощью скобки Пуассона) не может удовлетворяться, в связи с чем величины ф, л нельзя рассматривать как каноническй сопряженные переменйые. Их, однако, легко исключить из функции Гамильтона, так как вг в нее не входит, а функция р связана с гв по формуле (46.3) ', Плотность гамильтониана есть и = жф — 1, = — — ата(( ж .
агап вр — — ~Ъвр. (46.4) (В 2т а г) Из обозначений (46.27) не следует с необходимостью, что и комплексно сопряжено с и, так как эти величины определяются как канонические им. пульсы. Легко видеть, что если функция Ь вещественна, то величины л и л действительно являются комплексно сопряженными, в этом случае импульсы я, и я,, фигурирующие в (46.2У), также будут вещественными. в) Вывод о том, что я можно отождествить с ф, связан с наличием в волновом уравнении (46.2) только первой производной по времени, так как в этом случае при помощи волнового уравнения ф можно выразить через (в и ее пространственные производные.
Если же в волновое уравнение входит вторая производная по вреиенн, то функции и и ф будут независимы. В этом случае импульс повязан с ф, а не с р, и как р, л, так и й, н будут представлять собой пары канонически сопряженных переменных. Нерелятивистское уравнение Шредингера и уравнение хгирака относятся к первому типу, релятивистское уравнение Шредингера — ко второму. З дд, Квантование нереяятивиетекого уравнения Шредингера 397 Уравнения Гамильтона, вытекающие из (45.19) и (45.18), имеют вид 7 7а 3Ь вр = — — 1гер+ — тавр от = — 'к"тв — — Чета а 2т ' а 27п Первое из этих уравнений совпадает с (46.2), а второе 1с учетом (46.3)) комплексно сопряжено с ним. Таким образом, мы показали, исходя из классической теории поля, что плотность лагранжиана (46.1) и вытекающие из нее функция Гамильтона и канонические переменные согласуются с волновым уравнением (6.16) или (46.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
