Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Подставляя (47.15) в (47.10), находим Н = '>'свв„где Н„, = а*(К, з; 1) а(К, з; 1). (47.17) сев Из результатов $46 следует, что собственные значения опера-' торов Н„, равны 0 и 1, так что в каждом состоянии (характеризуемом ориентацией спина, значением импульса и знаком знергии) может находиться не более одного злектрона. Можно выписать также и явные выражения для а„подобные (4б,32). Подставляя (47.15) в гамильтониан поля (47.б), получаем Н = ~ 1 (сйссрс'асс агаб ср, — тсв р;*Цсврс) с)в = = ~,Г~ ~ а*(К, з; 1) а(К', з', 1) о;(К, з; г) х сс ' вв мв' х (сбсасс агаб — тсвсУл) о,(К', з', г) с1г. Из уравнений (43.!б) следует, что функции о,, определяемые формулой (47Л1), удовлетворяют равенству 2 (сбсасс дгад — тс71 с) ос(К, з, г) — Еь в о,(К, з', г).
с На основании (47.14) мы получаем Н = л,'ао(К, З; !) а(К, З; 1) Ес„= ,'~ Нв,Емп (47.18) ю пв где Ею имеют вид (47.12) и (47.13), Поскольку операторы Ню коммутируют друг с другом, а следовательно, и с Н, отсюда непосредственно вытекает, что числа Ны представляют собой интегралы движения. в 47. Квантование уравнение Дирака 413 Состояния с отрицательной энергией и позитроны. Все результаты, полученные до сих пор в настоящем параграфе, не зависят от того, коммутируют или аитикоммутируют .различные операторы ер и а. Поэтому может показаться, что теория Дирака способна описывать как частицы с целым спином подчиняющиеся статистике Бозе — Эйнштейна, так и электроны, подчиняющиеся принципу Паули.
Однако легко видеть, что оператор энергии поля (47.18) имеет отрицательные собственные значения сколь угодно большой абсолютной величины, соответствующие электронам в состояниях с отрицательной энергией (3 = 3,4). Существование подобных собственных значений означает, что при учете электромагнитных взаимодействий равновесное состояние поля вообще невозможно, так как электрон будет излучать фотоны, переходя при этом в состояния со все более низкой энергией. Если предположить, что частицы подчиняются статистике Бозе— Эйнштейна, то избежать этой трудности невозможно. Дирак предложил" исключить из теории нежелательные переходы в состояния с отрицательной энергией, предположив, что в нормальном состоянии вакуума все состояния с положительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной энергией заняты: №1 = №2 = О, №3 = №4 = 1 для всех К.
(47.19) Это состояние поля является равновесным, так как в силу принципа Паули переходы в состояния с отрицательной энергией невозможны. Кроме того, предполагается, что бесконечная плотность электронов с отрицательной энергией не дает каких-либо наблюдаемых электромагнитных или гравитационных эффектов, но отклонения от вакуумных значений (47.19) можно наблюдать обычным образом. Поэтому из операторов полной энергии (Н) и полного заряда (еМ), где е — заряд электрона (отрицательный), следует вычесть вакуумные значения этих величин: ~н", Е„, и ~,' .р,' с. В результате для полного наблюдаемого заряда получаем выражение: С~н,( т, №, — ~ М(,), М2,=1 — р1 = а(й 3; 1)аа(М, а; 1).
К 4-1,2 в-3,4 (47.20) Собственное значение нового оператора Мк, равно нулю (единице), если состояние ку заполнено (свободно). Аналогично для полной наблюдаемой энергии имеем: ~( ~ 7'7 *Ею+ 2,' ~Ч' ~Е~~). К 4-1,2 4-3,4 и Си, также 19Ь 414 Гл, ХП1. Квантование волновых лелей В силу (47.20) каждая частица с положительной энергией ведет себя как отрицательно заряженный электрон, тогда как огпсутствие частицы с отрицательной энергией проявляется как положительно заряженный электрон.
При этом (47.21) показывает, что наблюдаемая энергия положительна и равна сумме положительных членов для всех частиц с положительной энергией и для всех отсутствующих частиц с отрицательной энергией. Поэтому „дырки" среди занятых состояний с отрицательной энергией естественно истолковывать как положительно заряженные электроны или позитроны. Из соотношения (47.13)между энергией и импульсом вытекает, что позитроны имеют такую же массу покоя, что и электроны. На основе этой теории Дирак предсказал существование позитронов до их открытия в космических лучах". Мы видели, что теорию Дирака, описывающую частицы со спином л,2, можно квантовать только в соответствии с принципом Паули. Этот вывод представляет собой частный случай общего результата, полученного Паули 110)„согласно которому частицы с нулевым или целым спином подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а частицы с полуцелым спином — статистике Ферми — Дирака.
Связь между спином и статистикой может быть установлена только для релятивистских теорий. Например, состояния с отрицательной энергией, не позволяющие квантовать уравнение Дирака по статистике Бозе — Эйнштейна, появляются только в релятивистской теории, а нерелятивистское уравнение Шредингера в $ 46 успешно квантовалось обоими способами. Соотношения антикоммутации для различных моментов времени. Все использовавшиеся до настоящего времени соотношения коммутации и антикоммутации относились к величинам, взятым в один и тот же момент времени. Однако в релятивистской теории есть основания интересоваться такими соотношениями и для величин, соответствующих различным моментам времени.
При помощи таких соотношений можно исследовать причинные связи между событиями, происходящими в различные моменты времени в разных точках йространства, и тем самым изучать релятивистские свойства теории поля в целом. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим какую-нибудь физически наблюдаемую величину (например, плотность числа частиц или заряда), которую можно изобразить оператором, зависящим от г и ). Интересно выяснить, при каких условиях ее можно изме- '1 Дальнейшее обсуждение формальных аспектов теории поаитрона можно найти в книге Вентцелн [Иа гл.
5. [См. также работы Иваненко и Соколова [13) и Лхиеаера и Берестецкого [14). — Принс иерее.) я 47. Кванвпавание уравнения дарана 4сб Эти уравнения легко интегрируются, и мы получаем а(й,; 1) =а(й,я; О)са» ((с я. 1) а» (1с я. О)ссяьвпн. (47.22) Равенства (47.16) справедливы для того случая, когда оба мо- мента времени совпадают. Эти моменты можно принять за начало отсчета времени; тогда на основании (47.22) находим [а((с, я; 1), а((с', я", 1')]+ — — [а*(1с, я; 1) а'(1с', я', 1')], = О, [а(1с, я; 1), а»(й', я", Р)] в = сии д„, е' 'ю „о„, (47.23) Подставляя (47.23) в (47.15), можно вычислить соотношения антикоммутации для операторов вр, взятых в различные моменты времени. Ясно, что [вр,(г, 1), р,(г', 1')], = [вр~(г, 1), вр](г', 1')].
= О. (47.24) рить в различных точках пространства — времени так, чтобы одно измерение не мешало другому. Такие измерения можно произвести, если операторы, характеризующие наблюдаемую величину в разных точках, коммутируют друг с другом.
В этом случае соответствующие матрицы можно одновременно привести к диагональному виду, и, следовательно, оба измерения дадут точные результаты (собственные значения). Можно ожидать, что величины, взятые в различных точках пространства, но в один и тот же момент времени, будут коммутировать, так как никакое действие не может быть передано на конечное расстояние за нулевой промежуток времени. В нерелятивистской теории это необязательно должно иметь место, так как в ней не налагается ограничений на скорость передачи взаимодействия. В релятивистской же теории следует ожидать коммутации любых величин, если расстояние между точками, в которых они взяты, превышает умноженный на с соответствующий промежуток времени.
Поэтому соотношения коммутации или антикоммутации для величин, взятых в различные моменты времени, могут служить для непосредственной физической проверки релятивистского характера теории, тогда как в нерелятивистской теории они не представляют большого интереса. Обобщение соотношений антикоммутации (47.8) или (47.1б) на случай разных моментов времени удобно произвести с помощью уравнений движения для операторов а. В силу(45.23), (47.1б) и (47.18) имеем 1йа(1с, я; 1) = [а(к, я; 1), Н] = Е„.а([с, я; 1), !йа»(й я; 1) = [а*(1с, я; 1), Н] = — Ежа»(й я; 1). Гл. Х111.
Кваитовалил волновьст лолой 416 Антикоммутатор (с и у" принимает вид [вс,(г, 1), тг,'(г', 1')]„= = Д (а(й, а; 1), а'(й', з', 1)),о,.($с, з; г) 1),((г, з'! г) = = Д о;($г, з; г) о,(К, з; «') с! "в~ о'". (47.25) вытекающего из выражений (43.17) и (43.18). Однако соотношением (47.2б) все же можно воспользоваться, если переписать экспоненциальные выражения в (47.25) так, чтобы индекс г не входил туда явно. Положим -!вавил Еыт .. Е~ т с ' =сов — ' — г сйп — = Ь в (Ехв!т (Екв т)п(!Ею(т/В) где т = 1 — г', lсо = тс/й, а величина )ех,)/й = +с(кт+ф'~ не зависит от з.
Это выраженйе можно переписать в виде — и:, М !а )Ею', тгп ст(ссв + Гс1) У =~ат а I с(Е +Е1)У* Остающийся множитель Ею можно заменить оператором Еюо;(1г, а; г) = Д (Рйсаи ягад — пгста)у)ог(й, з; г). Подставляя в (47.25) и пользуясь Ь (г* ! ) р! (г'* 1')1+ = ~." о ( (47.26), получаем г') х а тго сс (Гсв -(- ~ф К >( ~(61, — + соя ° дгас(+ 1с/сф;,,) ок(1г, з; г) 1-т М.(т — > и" Ст(ГСВ + "'В) 4 с(кв + !с1) У» =( я а дп — + сссг, ° вегас) + 1с)соф;,) ~ч" =(!а! а Вп —,+ соя угад -(- (с/сф,) О(г — г', 1 — 1'), (47,27) Если бы энергия Ею не имела различных знаков при различных з, то последнюю сумму можно было бы сразу упростить с помощью условия полноты ~ и;(И, з) ц,((г, з) = аю Е 47, Квантование Лравнвния дарана 4в7 где Рв въ 'Ч 7- в св т вго вг("'+ "в)и в(» +~о1)й (47.28) Можно показать, что при Р = г выражение (47.27) переходит в третье из соотношений (47.8) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
