Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Результат сравнить с ответам к задаче 3. ЛИТЕРАТУРА 1. Вегйшапп Р. О., !п1годис1!ап 1а 1Ье ТЬеогу о1 йе!айчйу, Раг1 1, Ыетч Ноги, 1946. (Имеется русский перевод: П, Б е р г и а н, Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947.) 2. Т о 1 ш а и й. С., йе1а1(ч!1у, ТЬегшадупаш!сз апб Созшо!ойу, Ох1огб— Ыечч Ног)г, 1934. 3. 8 сйгдб1п бег Е., Апп. б. РЬуз., 81, 109 (1926). 4. О! гас Р. А. М., Ргос. йау. 8ос., 1!7А, 610 (1928). 5. О ! г а с Р. А. М., ТЬе Рппс!Р1ез а1 анап(иш Месиапкз, 36 еб., Ох1огб— ' Ыеш Ног)г, 1947.
(Имеется русский перевод 2-го издания: П, Д и р а к, Основы квантовой механики, М. — Л., 1937.) б. Сопдоп Е. О., 8Ьог1)еу О. Н., ТЬе ТЬеогу о! А1опнс Брес1га, СашЬг!дйе — (лпдоп, 1935. (Имеется русский перевод; Е. К а н д о н, Г. Ш о р т л и, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949.) 7. 8о ш ше г1е ! д А., Апп. д. РЬуз., 51, ! (1916). 8. Е а ш Ь %.
Е., йер. оп Ргойг. !п РЬуз., 14, 19 (1951). 9. Р а и !1 )Н., %е! аз 1! ор1 Н., Не1ч. РЬуз, Ас(а, 7, 709 (1934). 10*. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и и Е. М., Теория, роля, М.— Л., 1948. 11*. Ф о к В. А., Начала квантовой механики, Кубуч, !932. 12'. де Бр ой л и Л., Магнитный зпектрон, ОНТИ, 1936. 13". П а у л и В., Общие принципы волновой механики, М.— Л., 1947. 14". П а у л и В., Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947. 15*.
Со к'он он А. А., Ив а н е н ко Д. Д., Квантовая теория паля, М. — Л., ! 952. ! б. С о г з о п Е. М., !и!гадис!!ап 1о Тепзогз, бр!пагз апб йе!а1пбзВс гиачеЕг)иа(!апз, (лпдоп — О!азйотч, 1953. 17'. 3 а й цен Г. А., ЖЭТФ, 28, 530 (1955). 18*. За й цен Г. А., ДАН СССР, 113, 1248 (1957). ГЛАВА Х111 КВАНТОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ Ц излагавшейся до сих пор квантовомеханической теории мы имели дело. с такими системами, которые в классическом предельном случае можно было считать состоящими из частиц. Теперь нам предстоит обобщить теорию таким образом, чтобы ее можно было применять к электромагнитному полю, обеспечивая тем самым основу для построения последовательной квантовой теории излучения. Благодаря квантованию волнового поля последнее приобретает некоторые корпускулярные свойства; так, в случае электромагнитного поля мы получаем теорию световых квантов (фотонов).
Метод квантования можно применить также и к ~-полю, описываемому нерелятивистским уравнением Шредингера (6.16) или же одним из релятивистских уравнений, (42.4) или (43.3). Как мы увидим (см. 3 46), теория одной частицы переходит при этом в теорию многих частиц; в нерелятивистском случае это эквивалентно переходу от уравнения(6.16) к уравнению(16.1) или (32.1). В силу этой эквивалентности может г!оказаться, что квантование у-поля дает просто другой формальный подход к задаче многих частиц. Однако новый формализм может описывать и такие процессы, при которых происходит возникновение или уничтожение частиц (радиоактивный ])-распад, взаимодействие мезона с нуклоном).
Настоящая и следующая главы должны служить введением в квантовую теорию поля". В 2 45 мы начнем с обсуждения классического и квантового уравнений движения волнового поля, не специализируя при этом его природу. В качестве первого примера в й 46 будет дано применение развитой методики к уравнению (6.16), поскольку в этом случае рассмотрение относительно п осто и не усложнено условием релятивистской инвариантности. вантование уравнения Дирака (43.3) проводится в $47. Производилось также квантование и некоторых других волновых уравнений (включая релятивистское уравнение Шредингера), но '! Дальнейшее рассмотрение можно найти в книгах Вентцеля [1], Гейзенберга (2), приложение, 1 9 — 12, Дирака [3), гл.
1О и 12, а также в работах Голдстейна [4), гл. ! 1 и Корбена н Сталя [5], стр. 210 — 2! 2. (См. также книги Соколова и Иваненко [!31 и Ахиезера и Берестецкого [14]. — Прим. верех.) р 45 Кяассинеские и кванснавие уравнения иаяя эти вопросы представляют интерес главным образом в связи с теорией мезонов и здесь не рассматриваются.
Электромагнитному полю посвящена следующая глава. й 4б. Классические и квантовые уравнения поля В $23 был развит общий метод квантования уравнений движения классической системы. Мы исходим из функции Лагранжа и убеждаемся в том, что с ее помощью получаются правильные классические уравнения. Далее с помощью функции Лагранжа находятся импульсы, канонически сопряженные с координатами системы, и вводится функция Гамильтона. Затем, заменяя классические скобки Пуассона квантовыми, мы получаем квантовые уравнения движения из соответствующих классических уравнений Гамильтона. Покажем теперь, каким образом можно перенести этот подход без каких-либо изменений на случай волнового поля и(г, 1), которое мы временно будем считать вещественным ".
Координаты поля. Волновое поле характеризуется своими амплитудами в любой точке пространства и в любой момент времени, подобно тому, как система частиц характеризуется координатами ро определяющими положение частиц, и зависимостью а, от времени. Поле, очевидно, имеет бесконечное число степеней свободы и аналогично системе бесконечного числа частиц.
Поэтому за координаты поля естественно принять амплитуды т(г, Г), взятые во всех точках г; они аналогичны рассматривавшимся в $ 23 координатам частиц 5,(1). Такой подход, однако, не обязателен. Вместо него можно было бы разложить и по какой-либо полной ортонормированной системе функций н„: р(г, 1) = Яа,(1)и,(г). (45.1) Здесь коэффициенты разложения а, можно рассматривать как координаты поля и писать уравнения поля либо для о, либо для ан. В данном параграфе в качестве координат поля мы будем применять амплитуды р(г, Г). При рассмотрении некоторых других вопросов удобнее будет пользоваться коэффициентами ан.
Уравнения Лагранжа. Функция Лагранжа ~.(~)о 4о г), использованная в $ 23, представляет собой функцию времени и функционал от возможных траекторий д,.(1) частиц системы. Истинные траектории получаются из вариацйонного принципа (23,3): ч 5 ) Ы=О, бдв(1,) =6~,.(1,) =О. н см. 16, П. 390 Гл, Х111, Квонтовочое волновал волей Аналогично можно ожидать, что функция Лагранжа для поля является функционалом от амйлитуды ~:(г, г).
Обычно ее можно представить в виде интеграла по всему пространству от плотности лагранжиана А: С = ] 1(вр, агап вр, вр, Ойх, (45.2) где ф =- д р(ЭК Наличие а аб р в аргументе 1 обусловлено непрерывной зависимостью р от г (несчетно бесконечное число степеней свободы). В аргумент могли бы также входитьи производные более высокого порядка от вр, но в задачах, представляющих физический интерес, они, по-видимому, не появляются. Вариационный принцип, соответствующий (23.3), имеет вид ь ь 1 б ! 1лй= б ! ! 1йе(х=,! ! (И)Фее= О, (45.3) !'1 11 ь где варьирование совершается при условиях двр(г, р ) =- бвр(г, ( ) = О. (45.4) Если плотность лагранжиана 1. имеет вид, указанный в (45.2), то ее вариацию можно записать в форме 61. = — бвр+ У вЂ” — д ! — )+ —,.
бвр, (45.5) д1 дь дт дь д р д(атРдх) дх! дт где суммирование по х, у, г означает сумму членов, получающихся заменой х на у и г. Через дф обозначена разность между первоначальным и проварьированным значениями вр; она, очевидно, равна производной по времени от вариации вр. Это и аналогичное выражение для Г(двр/дх) можно переписать в виде де ( ")' (дх! дх( Тогда уравнение (45.3) примет вид ! ! ~ — бвр + 'У.- —, — ---(Бвр) -]- — „,'- — (бвр)~ йе(х = О.
(45 6) 1 Члены под знаком суммы здесь можно проинтегрировать по частям по пространственным координатам; при этом интеграл по поверхности обращается в нуль либо вследствие достаточно быстрого убывания т на больших расстояниях, либо в силу периодических граничных условий на стенках большого, но конечного ящика. Последний член в (45.6) можно проинтегрировать по частям по О причем граничные члены обращаются в нуль в силу (45.4). Таким образом, уравнение (45.6) можно переписать в виде / (] —.— л — „]х — д — ] — 8 —,(8— '.]]в ов О. (457) З" 45.
Классические и квантовые уравнения полл 397 Поскольку условие(45.3) имеет место для произвольных вариаций бчр во всех точках пространства, равенство (45.7) эквивалентно дифференциальному уравнению (45. 8) Последнее представляет собой классическое уравнение поля, выте- кающее из плотности лагран>киана Х(вр, дгас( уь 'р, (). Функциональная производная. Чтобы дальше проследить аналогию с механикой частил, желательно переписать уравнение (45.8) таким образом, чтобы в него входила сама функция Лагранжа Ь, а не ее плотность д.. Поскольку совокупность значений вр и врд во всех точках.
аналогична системе цв и ц,. в теории частиц, необходимо ввести производные от (. по чр и чр, взятые в отдельных точках. Такие производные называются функциональными и обозначаются символами И./ау> и И./ам ". Чтобы получить выражения для этих производных, можно разделить пространство на малые ячейки и заменить интегрирование по объему суммированием по всем этим ячейкам.
Обозначим индексом / средние значения величин типа вр, дгас( ми ф для г'-й ячейки, а объем ячейки обозначим через а»и Тогда выражение ~~„'Ь[вр„(дгас(у>)и вро /) 5»,. в пределе, когда все б»,. стремятся к нулю, совпадает с /.. Аналогично интегрирование по времени в (45.6) или (45.7) можно заменить суммированием у(дЬ к д дЬ аь , ~ а р „„, ах ( а (ди/ах) 11,, бву' Д»' + ~ (аф), бвР' б»с где вариация /.
теперь получается в результате независимых вариаций мв и фи Предположим, что все двр, и бф,. равны нулю, за исключением агу,. Функциональную производную от /. по м в точке, находящейся в /-й ячейке, естественно связать с отношением И. и оврг Положим, по определению, йь . 5Ь дЬ д г дЬ вЂ” 1(ш — - - = — — ~ — [- — — — ) ° (45.9) ат =,, „бт,дв, ат „„, ах [-а(ат/ах) > О По поводу другого сиособз изложения см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
