Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Х., 8 а и п бега Р. А., Ав(горЬуз. )сиги., 61, 38 (1925). 12. Регш ! Е., 2з. 1. РЬуа., 59, 680 (1929). 13. Н е ! з е п Ь е г 8 Мг.,,) о г б а п Р., Ев. !. Риуз., 37, 263 (1926). 14. 8 с Ь !1! !.. 1., 8 пу бег Н., РЬуз. йеч., 55, 59 (1939). 0 Символ шоб и означает, что к предыдущему выражению можно прн. бавить л, умноженное на произвольное целое число.
362 Гл, ХХ, Атомы, молекулы и атомное ядра 15. Не гх Ь ег 8 б., Мо!есп!аг Зрес!га апб Мо!есп!аг 81гпс1иге, 26 еб. Хеш Уог)с„1950. 16. Ра и ! с п 8 Ь., %с! вон Е. В., )г., 1п!гобпсбоп !о с2пап!шп Месйап!св, Хею Уог!с, !935. 17. Вогп М., Орреппесгпег ). й., Апп. гй РЬуз., 84, 457 (1927), !8. Не! 1(ег \(г., Ь оп поп Р., 2з. !. РЬув., 44, 455 (1927).
19. Мотне Р. М., РЬув. йеч., 34, 57 (1929). 20. В е ! Ь е Н. А., Е!ешеп!агу Хпс!еаг ТЬеогу, Хеис Уог1с, 1947. (Имеется русский перевод: Г. Бете, Лекции по теории ядра, ИЛ, 1949.) 21. йо в ел!е! б Ь., Хпс1еаг Рогсез, Хеш Уог1с, 1948. 22. батов б., Сг!1сЬ!)е16 С.
Ь., ТЬеогу о! А(оппс Хпс!епз апб Хпс!еаг Епегйузопгсез, Ох!огб — Хею Уаттс, 1949. 23. Р е г ш ! Е., Хпс!еаг РЬуз!сз, СМсайо, 1950. (Имеется русский перевод: Э. Ф е р м и, Ядерная физика, ИЛ, 1951.) 24, В! а ! ! !. М., с)ге)з в К о р! Ч. Р., ТЬеогейса! Хпс!еаг Рйуз!сз, Хеи УогК, 1952. (Имеется русский перевод: Д ж. Б л а тт, В, В а й ск о и ф, Теоретическая ядерная физика, ИЛ, !954.) 25.
8асйз й. б., Хпс!еаг ТЬеогу, СагпЬгЫйе, 1953. 26. Во Ь г А., М о 11е! за п В. й., Кй!. РапзКе сс!б. Зе!з. Ма!.-!уз. МесЫ., 27, 16 (1953). 27. 8сйю1пйег,)., Те!1ег Е„РЬуз. йеч., 52, 286 (1937). 28. Ве1Ье Н. А., РЬув. йеч., 76, 38 (1949). 29. Ма)агапа Е., 2з. !. РЬуз., 82, 137 (1933). 30. Не(зеп Ьег8 Ъ'., 2з. !. РЬуз., 77, 1 (1932). 31. М о 11 Х.
Р., Ргос. йоу Зос., 126А, 259 (1930). 32*. Ель я ш ее и ч М. А., Спектры редких земель, М. — Л., 1953, ЗЗ". Гам б а ш П., Статистическая теория атома и ее применения, ИЛ, 1951. 34*. В о л ь к е н ш те й н М. В., Строение и физические свойства молекул, Изд.
АН СССР, 1955. 35*. Эйринг Г., Уолтер Дж., Кимбалл Дж., Квантовая химия, ИЛ, !948. 36*. Ге р ц бе р г Г., Спектры и строение дзухатомных молекул, ИЛ, !949. 37*, Г е р ц б е р г Г., Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул, ИЛ, !949. 38". Волькенштейн М. В., Ельяшезич М. А., Степан о з Б. И., Колебания молекул, т. ! и 2, М. — Л., 1949. 39".
Ландау Л, Д., Смородинский Я. А., Лекциипотеорииатомного ядра, М. — Л., 1955. 40*. А х и е з е р А., П о м е р а н ч у к И., Некоторые вопросы теории ядра, М. — Л., !950. 41*. С о к о л о з А. А., И з а н е н к о Д. Д., Квантовая теория поля, М. — Л., !952. 42*. Росси Б., Частицы больших знергий, ИЛ, 1955. 43'. Экспериментальная ядерная физика, под ред. Э. Сегре, т.
1 и 2, ИЛ, 1955. ГЛАВА Х 11 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ В настоящей главе нерелятивистское уравнение Шредингера будет обобщено на случай движения частицы со скоростью, близкой к скорости света. Это обобщение можно произвести различными путями, и все они совместимы с формулами преобразования Лоренца, известными из специальной теории относительности". Характерной особенностью релятивистских волновых уравнений является то, что спин частицы вводится в теорию с самого начала, и его нельзя добавлять впоследствии, как это сделал Паули в рамках нерелятивистской теории Шредингера. Эта особенность служит полезным критерием, позволяющим судить, можно ли применять то или иное уравненйе для описания частиц определенного вида.
[т[ы рассмотрим два релятивистских уравнения: во-первых, предложенное Шредингером уравнение для частиц со спином нуль, которое впоследствии было применено для описания гг-мезонов, и, во-вторых, уравнение Дирака для частицы со спином '/„описывающее электрон, При обсуждении этих уравнений мы будем уделять основное внимание вытекающим из них следствиям и не будем пытаться доказать их инвариантность относительно преобразований Лоренца. Поэтому мы не будем пользоваться более изящными четырехмерными обозначениями специальной теории относительности, а воспользуемся по-прежнему трехмерными векторными обозначениями.
В инвариантности уравнения обычно можно убедиться по его симметрии относительно пространственных координат и времени, й 42. Релятивистское уравнение Шредингера Вводя свое нерелятивистское волновое уравнение, Шредингер предложил также обобщенное уравнение, учитывающее требования специальной теории относительности ". Оно естественно вытекает из релятивистского обобщения нерелятивистской фор- '> Обзор специальной теории относительности можно найти, например, а книгах Бергмана [Ц, ч. ! или Толмзна [2], гл.
2 — 4.[См. также книгу Ландау и Лифшица [10]. — Прил, перев.] ') См. работу Шредингера [3], а 6. Гл, Х11. Реллтивасгпсние волновал уравненил 364 мулы классической динамики: вв Е = —. 2а (42.1) Как известно, в теории относительности зависимость энергии свободной частицы от импульса вместо (42.1) принимает вид Еа = с'р'+ твсв, (42.2) причем теперь в Е входит и энергия покоя тс'. В соответствии с (6.!3) заменим величины Е и р операторами Š— (й — р - — йй йгаб. ..а дв (42.3) (42.8) Свободная частица.
Подобно тому как подстановка выражений (42.3) в (42.1) приводит к уравнени|о (6.11), так и релятивистское волновое уравнение для свободной частицы можно получить, под- ставляя выражения(42.3) в (42.2) и действуя полученным операто- ром на волновую функцию вр(г, г). В результате будем иметь — й' —,", = — йвсввввр+ твсввр. (42.4) Уравнение (42.4) допускает решения в виде плоских волн е1(и в — "о (42.5) Они представляют собой собственные функции операторов Е и р, определяемых выражениями (42.3), и принадлежат, соответственно, в собственным значениям йео и йй.
Выражение (42.5), очевидно, удовлетворяет уравнению (42.4), если йео = ~ (йвсвйв+ т'св)И (42.6) Положительный и отрицательный знаки перед корнем в (42.6) соот- ветствуют неопределенности знака энергии, имеющей место и в классической формуле (42.2). Пока что мы возьмем только положительное значение квадратного корня, а к решениям с отрицательной энергией вернемся в конце 8 44. Выражения для плотности заряда и тока можно найти так же, как и в 8 7. Уравнение непрерывности — Р(г, 1) + 61~ 8 (г, 1) = 0 (42.7) инвариантно относительно преобразований Лоренца.
Умножим (42.4) слева на вр, а комплексно сопряженное уравнение — слева на вр и вычтем второе уравнение из первого. Вводя вещественные величины 8(г, 1) =;: — (вр йгаб р — врйгад р), д 42. Релятивистское рравнение Шредингера 365 получаем для них уравнение (42.7). Выражение (42.8) для 8 совпадает с нерелятивистской формулой (7.3), а выражение для Р, как можно показать, в нерелятивистском приближении переходит в (7.1) (см, задачу 2). Следует отметить что значение Р (42.8) не является определенно положительным, и потому его нельзя интерпретировать как плотность вероятности координат.
Однако его можно умножить на е и интерпретировать как плотность электрического заряда, ибо последняя, оставаясь вещественной, может иметь любой знак. Электромагнитные потенциалы. Чтобы вкл4очить в волновое уравнение взаимодействие с электромагнитным полем, можно воспользоваться тем обстоятельством, что потенциалы у и (1/с) А имеют такие же трансформационные свойства, как Е и р. Пусть частица обладает зарядом е.
По аналогии с нерелятивистским выражением '(23.14), заменим (42.2) равенством (Š— еу)в = (ср — еА)в + 4пвсв. (42.9) Подставляя сюда (42,3), получаем ( — Лв — — 2/елсв — — /еЛ вЂ”. + е р ) вр = 8' 8 . 84 844 84 84 = ( — Лвсврв + 21едсА ° вгаб + (еде(б(ч А)+ е'А'+ и'св)вр. (42.! О) Теперь можно установить связь между уравнением (42.10) и соответствующим нерелятивистским уравнением (23.24).
Произведем в (42.10) замену вр(г 1) — вр~(г 1)е-ьнсвгл (42.11) и допустим, что результат действия оператора РЛ(д/81) на вр' по порядку величины равен ер4р' (и мал по сравнению с тс44р'). Это означает, что из полной энергии вычитается энергия покоя, предполагаемая большой по сравнению с остающейся частью энергии. Дифференцируя (42.11) по времени, получаем ,р ) Е-1тс~ня 8 д гзУ Зетсв ар т* ° 844 = ~эив нВ 84 В У Первыми членами в каждой из этих производных можно пренебречь, равно как и двумя последними слагаемыми в левой части (42.10); тогда она примет вид ( 21Лтсе — ~- + твсввр' — 2евпсвЧяр')е- 1тдн". зг 84 Очевидно, в этом приближении уравнение(42.10) совпадает с (23 24), если заменить вр' на ~р.
366 Гл, Х11. Реляптвистсяие валяовае рравяения Не нарушая инвариантности теории, невозможно включить в уравнение (42.10) спиновые матрицы Паули (33.3). Это и неудивительно, так как они преобразуются как компоненты трехмерного, а не четырехмерного вектора, а ер имеет не две компоненты(как спиновые функции (33.4)), а только одну. Таким образом, релятивистское уравнение Шредингера описывает частицу без спина. Из вида соотношения (42.9) следует, что к уравнению (42.10) нельзя произвольно прибавить член „потенциальной энергии", подобно тому, как это делалось в уравнении (23.24). Прежде всего необходимо исследовать трансформационные свойства любого такого члена относительно преобразований Лоренца.
Если он преобразуется как часть четырехмерного вектора, то и остальная часть этого вектора также должна входить в уравнение по тому же закону, по которому р и (1/с) А входят в (42.9). Если же он инвариантен относительно преобразований Лоренца, то его можно добавить к энергии покоя тс'. Разделение переменных. Если потенциалы А и р не зависят от времени, то переменные г и ! в уравнении (42.10) разделяются. Полагая ер(г, !) = и(г)е-еви" и подставляя это выражение в (42.10), получаем (Š— е~р)е и = = ! — йесвре + 2 !ейс А атас$ + !ейс (б!ч А) + е'А' + т'св)и. (42.12) Рассмотрим теперь частный случай, когда А = О, а функция р(г) сферически симметрична. Тогда уравнение(42.12) принимает вид ( — йесере + т'св) и (г) = !Š— е р (г))' и (г) (42.13) и допускает разделение переменных в сферических координатах (см. З 14); и (г, В, р) = й (г) уг. (О, р), Е ( Е) !(!+1)1,Г е((И вЂ” тр — т 1Л., 1=0, 1, г,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
