Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если пренебречь также членами с Ь и с и продолжить область возможных значений 17 до —, то (40.17) превратится в уравнение для линейного гармонического осциллятора (с добавочным членом Иео в энергии). Это приближение будет хорошим при не слишком больших значениях врал)отельного квантового числа К и колебательного квантового числа о. Несколько лучшее приближение можно получить, рассматривая в (40.18) члены с Ь и с как возмущение, наложенное на осциллятор. Как известно (см. задачу 2 гл.
Ч11), член, содержащий Ь, приводит только к эффекту второго порядка, а член с с дает отличнйй от нуля результат уже в первом приближении теории возмущений (среднее значение этого слагаемого можно вычислить с помощью матричных методов, используемых в задаче б гл.
Ч1). Поэтому вклады обоих членов в энергию имеют одинаковый порядок величины. Уровни энергии. Таким образом, в первом неисчезающем приближении собственные значения уравнения (40.17) принимают вид + [(о+ — ) + — ], о=О, 1, 2,.... (40.19) Величины )у'„К„Ь и с можно разложить по степеням К(К+ 1) с коэффициейтамй, зависящими от параметров функции 11(ее).
Гл. Хд Атомы, молекулы и атомные ядра 350 Если (l имеет вид (40.1б), то мы получаем аяк(к +4) а' (Со + 2М(((и, зок(к+ ц век (к+ ц'а' о о гм((1 4мч(4~и ги, ЗЗ4К(К+ц а е а ая М((44ао ((р ( (( и, тио Ь= — —, 2 аа (га4 ' (40.20) Здесь оставлено столько членов, сколько нужно, чтобы получить Е с точностью до величин второго порядка относительно (р+ '(о) и К(К+ 1). Первая из формул (40.20) описывает растяжение молекул при вращении.
Вторая формула представляет (с точностью до величин второго порядка малости) сумму равновесной ( — ((о) и вращательной энергии. В первом приближении вращательная энергия равна аоК(К+ 1)/2(„где (, = М(го о— момент инерции молекулы относительно оси, перпендикулярной линии, соединяющей ядра. Это есть энергия жесткого ротатора (см. задачу 12). Третья формула (40.20) описывает изменение коэффициента упругости при растяжении. В рассматриваемом приближении поправками к растяжению, связанными с ангармоническими членами, содержащими Ь и с, можно пренебречь. Разлагая второй член в правой части (40.19) с помощью выражения для К„получаем Последние два слагаемых в (40.19) дают поправку второго порядка к колебательной энергии: ~ — й+1а1м 4'(о+ 2) = — гм, (а+ 2) (40.21) (постоянные слагаемые взаимно уничтожаются). Ясно видно, что значения энергии вращательных и колебательных уровней по порядку величины соответствуют оценкам, сделанным в начале настоящего параграфа.
При возрастании р или К расстояния между уровнями становятся меньше, чем это предсказывается простыми моделями жесткого ротатора и гармонического осциллятора. Влияние тождественности ядер. Если ядра в двухатомной молекуле тождественны, то волновая функция должна быть симметрична или антисимметрична относительно перестановки их пространственных и спиновых координат, в зависимости от того, является ли спин ядра целым или полуцелым (см. $ 33). Из результа- 351 1 47. Алюммме ядра тов $14 очевидно, что четность ядерной волновой функции определяется ее угловой частью Укм (б, р). Последняя является четной или нечетной в зависимости от четности или нечеткости числа К.
Перестановка пространственных координат двух ядер эквивалентна изменению знака вектора взаимного расстояния й, так что пространственная симметрия волновой функции определяется ее четностью. Таким образом, если спин ядра целый, то спиновая функция должна быть симметричной при четном К и антисимметричной при нечетном К; при полуцелом ядерном спине дело обстоит как раз наоборот.
Как было показано в $ 33, для двух ядер со спинами 1д полное число спиновых состояний (21 + 1)з можно разделить на (1+ 1)(21+ 1) симметричных и 1(21 + 1) антисимметричных состояний. Поэтому в газе, находящемся в статистическом равновесии, отношение чисел молекул с четным и нечетным К будет составлять (1 -]- 1)1'1 при 1, равном нулю или целому числу, и 11(1+ 1) при полуцелом 1х]. Этот эффект приводит к изменению интенсивностей вращательных полос в спектрах двухатомных молекул с одинаковыми ядрами.
Таким путем можно определить как спин, так и статистику соответствующих ядер; результаты находятся в соответствии с общими выводами 3 33. й 41. Атомные ядра Применение квантовой механики к исследованию строения атомных ядер во всех случаях, кроме самых простейших, наталкивается на большие математические трудности. В настоящем параграфе мы кратко опишем некоторые общие свойства ядер и затем рассмотрим ядерную задачу двух тела). Общие свойства ядер. Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов", обозначаемых общим термином нуклоны.
Другие частицы (мезоны, электроны), которые могут лишь временно существовать в ядре, обычно игнорируются в теориях строения ядра. Протоны представляют собой ядра атомов водорода, а нейтроны— частицы с примерно той же массой, как и протоны, с теми же ') Разумеется, если расстояние между вращательными уровнями не мало по сравнению с знергией теплового движения мТ, в зто отношение войдет еще множитель Больцмана. з) Дальнейшее рассмотрение теории ядра см.
в книгах Бете [20], Розенфельда [21], Гамена и Критчфилда [22), Ферми ]23], Блатта и Вайскопфа [24) и Сакса [25] и встатье Бора и Моттельсона [261. [См. также книги Ландау и Смородинского [39], Ахиезера и Померанчука [401, Соколова и Иваиенко [4!), Росси [42] и монографию под редакцией Сегре [43]. — Прим.
лерев.) '> Идея о том, что атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, впервые была высказана Иваненко. — Прим. перев. 352 Гл, Х1. Атомы, молекулы и атомные ядра спином и статистикой (спин '/,Л, статистика Ферми — Дирака), но без электрического заряда. Ядро можно характеризовать его зарядом Уе, где л, — целое число и е — положительный заряд протона, и массой М (за единицу принимается '1„часть массы О" — изотопа кислорода с массовым числом 1б).
Масса М всегда близка к некоторому целому числу А, называемому массовым числом. Число нейтронов в ядре равно А — Е. Таким образом, дейтрон Н' (ядро тяжелого водорода) состоит из одного протона и одного нейтрона, а-частица Не' (ядро атома гелия) — из двух протонов и двух нейтронов, а ядро атома золота Аи"' — из 79 протонов и 118 нейтронов. Согласно теории относительности, если составить разность между суммой масс л, протонов и А — л нейтронов и массой М того же ядра и умножить ее на квадрат скорости света в пустоте, то получится энергия, выделяющаяся при объединении отдельных нуклонов в ядро.
Она называется энергией связи данного ядра; ее удобно измерять в миллионах электрон-вольт 1Мэв). Радиус ядра 17 представляет довольно хорошо определенную величину. Его можно измерить несколькими способами, используя, например, данные о рассеянии нейтронов, протонов и электронов большой энергии. Экспериментально найдено, что энергия связи и объем, отнесенные к одному нуклону, примерно постоянны для большинства элементов периодической системы. Первая из этих величин приблизительно равна 8 Мэв, а вторая обычно записывается в виде 1с = гоА'~*, где г, колеблется от 1,2 до 1,4 10 "см. Приближенное постоянство энергии связи и объема на один нуклон называют свойством ядерного насыщения. Взаимодействие, между двумя нуклонамн. Наиболее важную проблему физики ядра составляет определение параметров, характеризующих энергию взаимодействия между двумя нуклонами.
Может оказаться, что, коль скоро эти параметры будут найдены, задача об определении структуры ядер, более тяжелых, чем дейтрон, сведется только к чрезвычайно сложйому упражнению по квантовой механике. Это было бы аналогично случаю, с которым приходится иметь дело при изучении строения атомов и молекул, где известно, что взаимодействие определяется в основном законом Кулона.
С другой стороны, может оказаться также, что задание одного только закона взаимодействия двух нуклонов принципиально недостаточно для определения структуры тяжелых ядер. Так будет обстоять дело, если при сближении трех, четырех и более нуклонов будут возникать добавочные (не парные) взаимодействия, особенности которых нельзя найти, изучая систему двух нуклонов.
Вопрос о том, существуют ли заметные взаимодействия такого типа, пока остается открытым, и мы здесь не будем его больше обсуждать. э 41. Атомная ядра заз Остальная часть этой главы будет посвящена рассмотрению системы двух нуклонов. Мы будем предполагать, что основную роль при этом играют короткодействующие силы. Разумно предположить, что радиус действия их значительно меньше размеров тяжелых ядер; вычисления типа приводимых ниже показывают, что по порядку величины он составляет 2 1О аа см.
Кроме того, мы допустим пока, что потенциальная энергия г'(г) зависит только от расстояния г между нуклонами. Таким образом, прежде всего нужно решить уравнение Шредингера для относительного движения двух частиц с приведенной массой а и потенциальной энергией г'(г). Поскольку массы нейтрона и протона почти одинаковы, приведенная масса а очень близка к половине массы нуклона. Система нейтрон — протон. Предположим для простоты, что У(г) имеет вид прямоугольной потенциальной ямы (см.
фиг. 13): 'г'(г) = — г' при' г < а и г'(г) = 0 при г - и. В $ 15 было показано, что в области с таким потенциалом частица с массой а не имеет связанных состояний, если только не выполняется условие У,а' '> >л'ЛЯ/8я. Для системы из нейтрона и протона величина л'ва/8я равна 1,01 ° 10 'Я Мэв см'. Если положить а = 2,00 10 " см, то для того, чтобы было возможно существование дейтрона, константа У, должна превышать 25,2 Мэа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
