Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Поскольку дейтрон имеет лишь одно связанное состояние, разумно допустить, что оно соответствует случаю 1 = О. Тогда из решения задачи 7 гл. 1Ч следует, что экспериментально измеряемая энергия связи, равная 2,23Мэв, получается при 1l = 36,1 Мэв. Формула (19.28) дает теперь эффективное сечение рассеяния нейтронов очень низкой энергии протонами. Пренебрегая энергией Е по сравнению с г', получаем а = = 3,5 10 ЯЯ см'. Опыт дает для нейтронов с энергией в несколько электрон-вольт а~20,4 10 '4 см'.
Названная энергия достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь по сравнению с У„ и в то же время достаточно велика, чтобы энергия связи протона в молекуле водорода не играла роли. Объяснение указанного расхождения, основанное на учете зависимости сил взаимодействия нейтрон — протон от спинового состояния, было предложено в 1935 г. Е. Вигнером (не опубликовано), Известно, что спин дейтрона равен я, так что его сливовое состояние представляет триплет.
Однако, как указывалось в з 34 в связи с обменными столкновениями электронов с атомами водорода, в 75аД, всех столкновений нейтронов с протонами состояния будут триплетными, а в 25аа — синглетными. Противоречие будет устранено, если эффективное сечение рассеяния в синглетном состоянии принять равным 70,8 ° 10 Я4 сма.
Если допустить, что в синглетном состоянии параметр взаимодействия и также равен 2,00 1О-" см, то, как следует из формулы (19.28), такое сечение будет получаться при Р, равном 23,6 зз л. ШИФФА Гл. Хд А гнома, молекула и атомные ядро 354 или 27,0 Мэв. Очевидно, мы имеем здесь резонансное рассеяние, рассматривавшееся в 2 19, и два эти потенциала соответствуют виртуальному и связанному синглетным состояниям. Вопрос о том, какой из потенциалов правилен, нельзя решить исходя из зависимости эффективного сечения от энергии падающих нейтронов. Действительно, в 2 19 показано, что как в том, так и в другом случае при! = 0 эффективное сечение и монотонно убывает с ростом Е и различие в поведении обеих функций недостаточно сильно.
Из других соображений вытекает, что синглетное состояние является виртуальным, так что глубина, соответствующая данной ширине, составляет 23,6 Мэв". Потенциал произвольной формы. Потенциальная энергия взаимодействия между двумя нуклонами характеризуется малым радиусом действия а и большой величиной Ра. Здесь величины а и Ро относятся не только к прямоугольному йотенциальному барьеру, но и вообще определяют расстояние, в пределах которого $'(г) заметно отличается от нуля, и абсолютную величину Цг) в этой области.
Для столкновений с не слишком большой энергией (вплоть до нескольких Мэв) величина йп достаточно мала по сравнению с единицей [к = (2рЕ)м1Ь, Š— кинетическая энергия в системе центра ннерции1. Если, например, а = 2 10 'з см, то ка равно единице, когда в лабораторной системе энергия падающего нуклона составляет около 20 Мэв. Поэтому для не слишком больших энергий нужно принимать во внимание только парциальную волну с 1 = О. Далее, как Е, так и энергия связи дейтрона а достаточно малы по сравнению с Ъ'. Отсюда следует, что в области действия ядерных сил вид радиальной волновой функции при 1 = 0 лишь в незначительной степени зависит от энергии, тогда как вне этой области волновая функция имеет простой асимптотический вид. Это позволяет думать, что как энергия связи, так и характер рассеяния при малых энергиях в таком поле зависят главным образом от его „силы", приближенно характеризуемой величиной 17 аз, и от расстояния до тех точек, где волновая функция принимает асимптотический вид (зто расстояние приближенно характеризуется параметром а).
Оказывается, что действительно, коль скоро преобладают силы притяжения и они достаточно велики, любой потенциал с малым 5 адиусом действия можно охарактеризовать двумя параметрами. качестве последних можно выбрать „силу" потенциала и радиус действия; совместно они определяют энергию связанного состояния — а и зависимость фазы рассеяния от энергии при не слиш- О Этот результат получен главным образом по данным о рассеянии очень медленных нейтронов в арто- и параводороле; на возможность такого определения впервые указали Швиигер и Теллер [271. з' Вг. Атомные ядра 355 Соотношения для фвз. Мы будем рассматривать исключительно парциальную волну с 1=- О. Обозначим через и(г) произведение г на радиальную волновую функцию.
Нормировка и выбрана таким образом, что вне области действия ядерных сил асимптотическое выражение этой функции имеет вид и (г) — гр (г), (41.1) где р(г) = — —,„ а!п(?гг + о) з|п д (41.2) при всех г. Фаза д согласуется с определением (!9.8), и полное эффективное сечение, как и в случае (19.13), равно и = —, з!пзб. /Р Волновые уравнения для некоторых значений энергии Е, и Е, имеют вид (,,' + Ци, — (?и, = О, (41.4) '-+ ?г,'из — (?из = О, где (?(г) =- 2и(г(г)(йа.
Умножим первое из уравнений (41.4) на и„ второе — на и, и разность между полученными выражениями проинтегрируем по г от нуля до значения г = гг, несколько превышающего радиус действия потенциала: и в (из д„' — ит — „'-) ( = (4 — Й,') ) и,изй.
(41.5) о о Уравнения, которым удовлетворяют функции у, совпадают с (41.4) при 1? = О. Поэтому уравнение (41.5) справедливо также и для функций гр: и ь (грз ~' — гр,— — 'Рз) ~ — — (?га а— lсз) ~ грхгр 4(г, (41.б) о о '>Этот результат установлен Швингером с помощью вариапнонного метода и изложен в неопубликованных лекпиях (!94? г.], хотя предположения о его справедливости высказывались и раньше. В своем изложении мы следуем работе Бете 1281. (См.
также книгу Ландау и Смородин. ского |391. — Прим. перев.) 23' — г г ком больших значениях Е"'. Таким образом, можно ожидать, что в опытах с низкими энергиями будут определяться только эти два параметра, но не форма потенциала )г(г); экспериментальные результаты подтверждают это предположение. Гл Х1. Атома, молекула и атомные ядра у (Е„Е,) = — 2 / (уу, — и, и ) йг. 'о Представляют интерес два частных случая равенства (41.8).
Вопервых, заменим Е, на — е, е,(г) на еро(г) = е-Р", где Р' = 2де/Л', и и,(г) — на волновую функцию основного состояния и,(г), нормированную аналогично (41.1). Тогда получим Й,с18 д~+ !У = — (йе+ ~Р) д( — е Ее) 2 (41.9) оя д ( — е, Е,) — = 2) (ероер, — и,и,) 1(г, о Во-вторых, положим энергию Е, равной нулю: й с(П де+ — = — lеу(0, Е,), 1 1 СО д(0, Е,) =— 2 ! (~р,у, — и,и,) йг, о г 1 еро — = 1 — — — = — 1нп (й с1д д) а! а! я ! (41.10) (индексы у ир и ио означают, что энергия равна нулю). Величина и, называется длиной рассеяния; согласно (41.3), эффективное сечение при нулевой энергии равно 4огаеь Индекс у и, означает, что данное значение относится к триплетному, а не к синглетному состоянию. Эффективный радиус действия.
Соотношения (41.8), (41.9) и (41.10) являются точными. Исходя из общего вида потенциальной энергии, заменим теперь у приближенным выражением. Ясно, что в силу (41.1) подинтегральное выражение в у обращается в нуль вне области действия ядерных сил. В области действия потенциала Вычтем теперь (41.5) из (41.6); тогда значения левых частей на верхнем пределе Р взаимно уничтожаются, так как и(1е) = ~р(17). Поэтому можно перейти к пределу Н вЂ”, и мы получим = (Ч вЂ” й,') ~ (тъте — и,ие) йг, (41.7) о В силу (41.2) первый член в скобках равен ргес1дд — й,с!ад,.
Выражение во второй скобке в левой части равйо нулю, так как и(0) = О. Таким образом, (41.7) можно переписать в виде А;с(К де — 1е, с!К д, = — (1с~ ~— я,') у(Ен Ее), (41.8) 41. Ад>омнид ядра все функции у очень близки к единице, так как там произведения 1с» и рг малы по сравнению с единицей; кроме того, все функции и почти одинаковы, так как У много больше, чем И или рд. Таким образом, о слабо зависит от своих аргументов, и при вычислении ее можно брать любые удобные значения энергии.
Соответственно, в качестве приближенного выражения для о возьмем г, = — о (О, 0) = 2 ! (т>, '— идд) дг. (41,11) о Эта величина называется вффвкшивным радиусом действия. Эффективный радиус действия можно было бы определить и иначе, полагая, например, С'О ( — д, — д) = 2 ! (т>д — ид) аг. о (41.12) В задаче 17 показано, что эффективные радиусы действия, вычисленные для типичного случая по формулам (41.11) и (41.12), совпадают друг с другом с точностью до нескольких процентов. В указанном приближении фаза, определяемая равенством (41.9), составляет 71 с!К 6 + Р— гд (1дд + Р) (41.13) (индекс 2 опущен). С другой стороны, из (41,10) находим 11 с!2 д + — ~ — г 1дд.
1 1 (41, 14) а! 2 Сравнивая (41.13) и (41.14), получаем следующую связь между а„ Р и триплетным эффективным радиусом действия г,: — =Р— — Р. 1 ! а, 2 (41.15) Если положить 11>> = 4,28 1О 'д см, что соответствует значению в = 2,23 Мвв и а, = 5,34 10 'д см, то формула (41.15) дает г, ~ 1 70 ° 10 'з см.
Любую из величин Р и а, можно считать параметром, характеризующим силу потенциала, а г, — параметром, определяющим радиус действия; однако р и а, достаточно отличаются друг от друга, так что ойределение любых двух из трех данных величин позволяет определить и третью. Таким образом, согласно этой теории эффективного радиуса, все свойства потенциала, характеризующие энергию связи нуклонов и рассеяние при не слишком больших энергиях, определяются только двумя параметрами. Опытные данные показывают, что это действительно имеет место, и, таким образом, подтверждают лежащее в основе всей теории предполо>кение о сильном взаимодействии на малых расстояниях. Гл, Хг. й томы, молекулы и отомнь е лара 358 Обменные операторы.
Отмеченную выше спиновую зависимость сил взаимодействия между нейтроном и протоном можно выразить с помощью оператора спинового обмена '1а(1+ а„а ), где а,„ и ар — спиновые матрицы Паули (33.3) соответственно для нейтрона и протона. Как показано в задаче 18, подобный оператор умножает триплетную (симметричну!о) спиновую функцию на -81, а синглетную (антисимметричную) на — 1. Из предыдущего следует, что коэффициент при обменной части взаимодействия между нейтроном и протоном равен примерно одной пятой коэффициента при части, не связанной с обменом спинами, Оператор пространственного обмена т! при четном 1 умножает волновую функцию на +1, а при нечетном 1 на — 1; он не влияет на полученные до сих пор результаты, так как все они относились к случаю 1 = О. В $19 было показано, что при более высокой энергии рассеиваемых частиц заметную роль может играть парциальная волна с 1 = 1.
Если фаза д, мала, а фазами более высокого порядка можно пренебречь, то формулу (19.32) приближенно можно представить в виде а(6) ~ — а(в!паба + Зд, з1п 26 сов 0). ! Для достаточно высоких значений энергии, когда фаза д, уже заметна, величина д вероятнее всего лежит в пределах от 0 до 90', а знак части, характеризующей угловую асимметрию, определяется знаком д!. Если взаимодействие в основном не связано с пространственным обменом, то при 1 = 1 потенциал будет отрицательным (притягивающим), и фаза д, будет положительна. В этом случае нейтроны, падающие на протоны, будут рассеиваться в основном вперед как в системе центра инерции, так и в лабораторной системе. Если, наоборот, главную роль во взаимодействии играет оператор пространственного обмена, то при 1 = 1 потенциал будет отталкива!ощим, а фаза д, будет отрицательна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
