Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 80
Текст из файла (страница 80)
(44,8)]. Е 4о. Уравнение Дарана в центральном лоле 377 й 44. Уравнение Дарана в центральном поле В предыдущем параграфе наличие магнитного момента у электрона было установлено с помощью перехода к нерелятивистскому приближению, где, как было показано, появляется ожидаемая магнитная энергия. Сам по себе спин электрона не несет энергии, и его можно наблюдать только благодаря связи с орбитальным движением, В начале настоящего параграфа мы попытаемся выявить эту связь двумя путями: во-первых, используя закон сохранения полного момента количества движения, и, во-вторых, вычислив энергию спин-орбитального взаимодействия, введенную в $ 38.
В обоих случаях будут использованы такие потенциалы А,р, при которых момент количества движения электрона сохраняется; это означает, что поле является центральным (А =- 0 и потенциал у сферически симметричен). В конце параграфа мы проведем разделение переменных в уравнении Дирака для случая произвольного центрального поля и найдем уровни энергии атома водорода. Спиновый момент количества движения. Если А(г, г) = 0 и р(г, г) = а(г), то уравнение (43.22) можно переписать в виде 1П вЂ” „= Нр, да Н = — са ° р — бтсв+ )е, (44.1) где 1е = ср.
Можно было бы ожидать, что в подобном центральном поле орбитальный момент количества движения С = г х р является интегралом движения. Чтобы выяснить этот вопрос, вычислим при помощи (23.2) и (23.16) производную от 1. по времени: 1П вЂ” „-= 7,Н вЂ” Н1.,= — са. цур, — гр„) р — р(ур. — ср„у= = Ис (а,р„— аор,). (44.2) Здесь принято во внимание, что оператор 1. коммутирует с любой сферически симметричной функцией, в том числе и с )е(г). Ясно видно, что 1. отнюдь не коммутирует с Н и потому не является интегралом движения.
Однако из физических соображений следует ожидать, что в центральном силовом поле возможно определить В противоположность этому при рассмотрении соотношений (39,9) и (39.10) мы уже видели, что член с Н в (43.27) имеет такой же порядок величины, как и другие магнитные члены, линейные относительно А. В то время как член с Е в (43.27) в нерелятивистском приближении нужно опустить, в релятивистском уравнении(43.25) он играет существенную роль, обеспечивая инвариантность относительно преобразований Лоренца.
Ря. ХН. Релятивистские вовновие уравнения 378 сохраняющийся полный момент количества движения. Это означает, что нужно найти другой оператор, коммутатор х-компоненты которого с Н равен правой части (44.2), взятой со знаком минус. Сумма этого оператора с Е будет тогда интегралом движения, и ее можно будет интерпретировать как оператор полного момента количества движения. Легко видеть, что искомый оператор кратен матрице а', определяемой соотношением (43.19), В силу (43.11) и (43.13) ай коммутирует с а, и с р, хотя и не коммутирует с другими компонентами а: Теперь можно вычислить производную по времени от о': 1Л вЂ”" = а„'Н вЂ” На„'= — 21С (а,р„— а„р,). (44.3) Из (44.2) и (44.3) следует, что величина Е+ '/,Ло' коммутирует с Н, в связи с чем и ее можно считать полным моментом количества движения.
При этом оператор $ = — Ва' (44.4) мы будем называть спиновым моментом количества движения электрона. Разложение по степеням е/с. Энергия спин-орбитального взаимодействия. Покажем теперь, что выражение для энергии спин- орбитального взаимодействия (38.13) само собой вытекает из уравнения Дирака. Можно показать, что по порядку величины этот член отличается от потенциальной энергии множителем (и/с)'! 1 1 1аУ 1 1 У ов — — — — (1. ° 8) е У зтвсв г ас У твсв ав — рал св где а характеризует линейные размеры системы и а — ер Ши.
а Таким образом, приближение, которое привело нас к уравнению (43.27), в данном случае является недостаточным. Чтобы получить последовательную апроксимацию, пользуясь более привычными нам двухкомпонентными волновыми функциями, заменим в (44.1) вр на вр, и вр„подразумевая под этими величинами е 44, Уравнение Дирана в центральном аоле 379 соответственно две первые и две последние компоненты функции р.
Допустим, что совокупность вр, и вре в целом представляет нереля- тивистскую собственную функцию оператора энергии; это означает, что величина Е= Е'+ шсв рассматривается как число, а не как оператор. Кроме того, Е' и )г предполагаются малыми по сравнению с шсе.
Тогда волновое уравнение примет вид (Е'+ 2тсв — [г) р, + со ° Ррв = О, (Е' — в)вр + со' ° Рврв = О, До сих пор никаких приближений не делалось. Искомая апроксимация получается разложением в ряд по сте- ПЕНЯМ (Е' — й)/2Л1Се С тОЧНОСтЬЮ дО ЧЛЕНОВ НаИМЕНЬШЕГОПОрядКа. Легко получить следующие соотношения: Рй = $~Р— й агаб )г, (о. агап )г)(о р) = (дгаб )г) р+ 1о. [(агап вг) х р]. С их помощью уравнение (44.6) преобразуется к виду ЕРв = 1([ г ° ) Ы+ "Г1 Ре вв ав 4 (В и в) ' (ВГ ит))+4 а'[(В Е[ вГ)л РвРЕ].
(44.7) Если функция )г сферически симметрична, то возможны дальнейшие упрощения. Воспользуемся соотношениями (дгаб Р) дгаб = —— 41Г д аг дг' дгаб 'в'= — -г 1Фк г аг где р — по-прежнему оператор. Первое из этих уравнений показывает, что функция вр, по порядку величины равна (и'с) врв. Поэтому есть смысл исключить вр„получив уравнение только для ум Подставляя выражение р = — (Е' + 2тсв — )г) 'со ° рвр во второе из уравнений (44.5), получаем Е вРе = зт(л'Р) (! +' з в ) (о ° Р)вРе + 1гвРв. (44.6) Гл, Х11. Реллтивистсние волновые уравнении 380 и заметим, что разность Е' — )Г приблизительно равна ра/2ту точность этого приближения достаточна для того, чтобы член второго порядка (Е' — )г')ра в (44.7) можно было заменить на ра/2т. Тогда уравнение (44.7) можно переписать вавиле гр' р' йд йг д 1 1 йг' Е'гр = ~ — — — + )г — — — + — — — 8 Ь1 р (44.8) гэт зтвсв 4т'с' Фг дг 2твсв г Иг 1 где 8 = т/айб и Ь = гХр.
Первый и третий члены в правой части (44.8) дают нерелятивистское уравнение Шредингера. Второй член имеет вид классической релятивистской поправки к массе, которую можно получить, разлагая в ряд квадратный корень из(42.2): рв рв Е' ='Š— тса = (с'ра -1- тасе) и — тс' 2гп 8т'с' Последний член представляет собой энергию спин-орбитального взаимодействия (38.14), которая, как мы теперь видим, автоматически получается из уравнения Дирака. Четвертый член дает релятивистскую поправку к потенциальной энергии и не имеет классического аналога.
Поскольку он не зависит от момента количества движения, наличие его гораздо труднее проверить экспериментально, чем существование энергии спин-орбитального взаимодействият).' Разделение переменньк. В сферических координатах уравнение Дирака для центрального поля допускает точное разделение переменных, Вследствие взаимозависимости орбитального и спинового моментов количества движения эта процедура здесь более сложна, чем для уравнения Шредингера. Начнем с определения операторов .радиального импульса и скорости р„= г-' (г р — И), а, = г-' (и г).
' (44.9) Как можно показать, оба они эрмитовы. Определим также оператор и, который, как мы вскоре увидим, связан с полным моментом количества движения М = Р' (о' ° Ь + й), (44.10) где Ь = г х р. При помощи соотношения (43.24) непосредственной подстановкой можно показать, что а„р„+ (пг '~„)йс = и ° р. В связи с этим гамильтониан (44.1) принимает вид Н = — са„р„— — агуус — Ртса + )г. 1йс (44.1! ) О Дальнейшее обсуждение вопроса об этом члене можно найти в книге Коппена и Шортли 181, а Ва. уравнение дарана в центральном ноле 381 При помощи определений (44.9) и (44.10) и соотношений, найденных в 9 43, можно получить равенства: а,lс — lса„= О, р1с — 1с1) = О, р„/с„—.сср„= О.
Отсюда видно, что оператор сс коммутирует с гамильтон ианом(44.11) и потому является интегралом движения. Возводя (44.10) в квадрат, можно получить собственные значения ссс Л» =(~.1.) +2П(а.1-)+П =(1.+ —,'Па~+4П. (4412) Выражение (Ь',+ '/вло')в представляет собой квадрат оператора полного момента количества движения, и его собственные значения равны 1()' + !)й', где с' — половина нечетного положительного целого числа. Таким образом, собственные значения гсе равны (1+ 'се)' и сс может равняться +1, +2, ... Выберем представление, в котором матрицы Н и сс диагональны и изображаются соответственно числами Е и сс. При этом величины а, и р можно представить в виде зрмитовых матриц, удовлетворяющих соотношениям иве = Рв = 1, а„ф+ фа„= 0 (справедливость их легко проверить).
Эти матрицы могут иметь по две строки и по два столбца. Можно положить, например (Π— 1) св„= ( ). (44.13) получаем (Е + глсе — 'г') Р— ссс —— ссп Иг (Š— тсв — У)се + ас —— ар ссг — 6=0, зесс г (44. 15) — Р =- О. аесс г Угловая и спиновая части волновой функции определяются теперь требованием, чтобы ер была собственной функцией оператора и в (44.10). Для таких задач, как вычисление уровней энергии, нужна только радиальная часть; в соответствии с (44.13) она имеет две компоненты, которые мы запишем в виде (г-'Р(г) ~ (44.14) г-'6(г) Радиальное уравнение для электрона, движущегося в центральном поле, получается в результате подстановки (44.13) и (44.14) в волновое уравнение с гамильтонианом (44.11).
Пользуясь соотношением '"(зг+ )' д 1 Гя. ХП. Релятивистские вояновие уравнения Удобно ввести обозначения тс'+ Е тсв — Š—, е=«», (44.16) (т'с' — Ев) И сс = + (авав) = ас Тогда уравнения (44.15) принимают вид /ае+ е) (« ~си! (44.17) Уравнения для функций / и е имеют вид е' — д+"— ' — ("-'-+ — ")1= о, е а е «! си, 1' — 1 — — — ~ — — — )и=о. е (а е/ Решения их будем искать в виде степенных рядов: ! аа е'(а,+ а,е+...), а,~о, д=е(Ь,+Ь,е+...), Ь,ФО. (44,! 9) (44.20) Поскольку при г = 0 выражения (44.14) предполагаются конечными, следует ожидать, что у 1.
Однако, как и в случае релятивистского уравнения Шредингера (42.15) для кулоновского поля, можно допустить и несколько меныпее значение у, если только сходится интеграл по объему от вравр. Подставим (44.20) в (44.19) и (при и ) 0) приравняем нулю коэффициенты при е'+"-' (у+ и+ «)܄— Ь, — уа„— — "'а„, = О, (44.21) (у+ и — /с)а„— а + у܄— — '"вЬ„, = О. а Если у = О, то аналогичные уравнения будут иметь вид (у+ /с)ь, — уа, = О, (а — й)а, + уЬ, = О.
(44.22) Атом водорода. Нащем собственные значения энергии, полагая в (44.17) 1»(г) = — Уев/». Величина 1»/лоа запишется теперь в виде — у/е, где у — = Лее/лс. Будем поступать так же, как и в $16, полагая Р(е) = 1(е)е-в, 6(е) = е(е)е-е. (44.18) Э" 44„Уравнение Дарана в центральном лоле 383 Система (44.22) имеет отличные от нуля решения ав и Ь, только если детерминант из коэффициентов обращается в нуль. Это дает з = ~ (Ьа — уа)н.
(44.23) В силу граничного условия в начале координат здесь следует взять верхний знак. Умножая первое уравнение (44.21) на л, второе уравнение на л, н вычитая одно из другого, найдем соотношение между а„и Ь„: Ци(з+ т+ к) — ату) = а,(лт(з+ т — Ь) + иу) (44.24) (здесь использованы выражения (44.16)]. Теперь можно исследовать поведение решений при больших г. Если ряды в (44.20) не обрываются, то это поведение определяется членами высшего порядка, так что постоянным множителем можно пренебречь по сравнению с т. Таким образом, уравнения (44.21) и (44.24) дают 2 2 а„в — а„» Ь„~ — Ь„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
