Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(36.21) чеа е— [Мы воспользовались здесь равенством (35.20).] Излучаемую энергию можно найти, подставляя (36.21) в (36.13). Мы рассматриваем получающееся выражение как произведение числа самопроизвольных переходов й- и в единицу времени на энергию кванта Ьоь„=- = й(Еь — Е„), излучаемого при каждом переходе. Соответственно вероятность спонтанного излучения, отнесенная к единице времени, принимает вид (мы используем соотношение сот„= )гс) „"" 1(г)а„!а =," ( (г)ь„~а.
(36.22) Формула распределения Планка. Переход от классического выражения (36.13) к квантовому (36.22) не является достаточно убедительным. Однако в справедливости полученного результата можно убедиться, показав, что из равенств (36.22) и (35.23) получается формула Планка для спектрального распределения интенсивности теплового излучения в полости. Именно таким путем ') Экспоненциальное выражение в (36.11) можно поместить как справа, так и слева от оператора игам, так как в формулу входит лишь перпендикулярная вектору к составляющая градиента. Гл, Х. Полунлаееичееяая теория излучения было впервые найдено соотношение между вероятностями поглощения и вынужденного и спонтанного излучения".
Пусть стенки полости с излучением состоят из частиц с зарядом е и массой гл, движущихся (в связанных состояниях) под действием потенциала )г [того же типа, что и в (35.1)1. Если эти частицы находятся в равновесии с тейловым излучением при абсолютной температуре Т, то в любом интервале частот в единицу времени должно испускаться столько же квантов, сколько их поглощается.
Число квантов с частотой ваа, испускаемых в единицу времени, определяется суммой выражейий (35.23) и (36.22), умноженной на число частиц в верхнем состоянии й. Число квантов, поглощенных за зто же время, равно произведению (35.23) на число частиц в нижнем состоянии и. Однако, как известно из статистической механики", при равновесии отношение чисел частиц в верхнем и нижнем состояниях составляет е (~' и"""т, где и — постоянная Больцмана. Поэтому, опуская индексы у воат получаем ""'"'[';„';,' (-) п)..~ +";-"-*~(*),.~*1 ='-;„-'-;-' (-н()..~ Решая зто уравнение относительно 1(го), находим йвээ ~И (ъ (36.23) Интересно отметить, что из выражения для 1(го) выпадают параметры е, гл и (г)„„, характеризующие испускающую и поглощающую системы.
Совпадение (36.23) с формулой Планка показывает, что наша теория дает правильное значение отношения (35.23) к (36.22). Следовательно, если верна первая из этих формул, то верна и вторая. Ширина линии. При испускании электромагнитных волн классический осциллятор теряет энергию, и, следовательно, амплитуда его колебаний убывает со временем.
Соответственно напряженность излучаемого им поля с течением времени затухает по закону е тйя сов(гпо1+а). Разлагая это выражение в интеграл Фурье, находим спектральную плотность излучения осциллятора. Для круговой частотыш интенсивность излучения, отнесенная к единичному интервалу частот, оказывается пропорциональной величине (36.24) (о' о'о) +,1 эл Ч См, работу Эйнштейна 131. Коэффициент А у Эйнштейна определяется равенством (36.22), а коэффициент  — выражением (33.23), деленным на плотность энергии излучения 1(соач)/е (сюда входит круговая частота тяп, а не обычная частота, равная тав/2п), М См., например, книгу Толмэна 141, гл. 4. (См.
также книги (12, 13].— Прим. перев,) яб, Спонтанное излучение В соответствии с (36.24) интенсивность излучаемой спектральной линии равна половине максимального значения при о> = го + (у/2). Величина у называется естественной шириной линии; в случаях, представляющих практический интерес, она мала по сравнению со>о. Очевидно, ширина линии равна удвоенной величине начального значения логарифмической производной амплитуды классического осциллятора по времени (или начальному значению логарифмической производной от энергии осциллятора). Представляется естественным связать скорость убывания энергии классического осциллятора со скоростью убывания вероятности того, что соответствующая квантовая система находится в начальном верхнем состоянии.
Если это сделать, то квантовым аналогом классической естественной ширины линии у будет (отнесенная к единице времени) начальная вероятность перехода со спонтанным излучением, определяемая формулой (36.22) ". Указанное соотношение между вероятностью перехода и шириной линии можно качественно (но зато в более общем виде) получить с помощью соотношения неопределенности (З.З). Обратная величина вероятности перехода в единицу времени по порядку величины равна времени пребывания квантовой системы в верхнем состоянии. Следовательно, определение энергии верхнего состояния должно производиться за время, не слишком превьш>ающее его время жизни 1/у.
В соответствии с соотношением неопределенности это означает, что точность определения энергии не может заметно превышать йостоянную Планка, деленную на время жизни, т. е. величину йу. Если неопределенность энергии. верхнего состояния будет равна этой величине, то неопределенность частоты излучения (уширение линии) будет равно у. В общем случае квантовый уровень энергии уширяется при наличии любых процессов, сокращающих его время жизни: уровень будет идеально резким только в том случае, если время жизни соответствующего состояния бесконечно велико (истинно стационарное состояние).
Переписывая выражение (36.22) для у в виде у 4е' тдп 3 Ас = — — ка ! (г)а„]а, можно получить качественное представление об естественной ширине линии дипольного излучения квантовой системы. Множитель еа]йг представляет безразмерную постоянную, значение которой очень близко к 1/137 ", если е — заряд электрона. Что касается множителя ка ( (г)а„]а, то, применяя дипольное приближех> Далънейшее обсуждение вопроса о ширине линии см.
в книге Гайтлера 11], '> Эта величина представляет собой постоянную тонкой структуры, появляющуюся в теории тонкой структуры атомных уровней энергии (см. гл, Х11). 302 Гл, Х. Полуклассичсская тсоуил иалучснив ние, мы уже предположили, что он мал по сравнению с единицей. Поэтому можно ожидать, что отношение ширины линии к частоте будет очень мало (для типичных атомных дипольных линий это величина порядка 10 '). й 37. Некоторые применения теории излучения В настоящем параграфе мы применим развитую выше полу- классическую теорию излучения к определению правил отбора для разрешенных переходов, а также к теории эффекта Черенкова. Последний вопрос, во-первых, представляет определенный практический интерес и во-вторых, позволит показать, как надо вычислять излучение от распределения токов, изменяющихся со временем не по гармоническому закону.
В заключение будет рассмотрена теория фотоэффекта. Правила отбора для одной частицы. Из рассмотрения вопроса о запрещенных переходах, проведенного в 2 35, видно, что, если дипольный матричный элемент (г),„обращается в нуль, то вероятности поглощения и вынужденного излучения уменьшаются по крайней мере в (1са)' раз по сравнению с вероятностью разрешенных переходов.
Эти же замечания относятся и к вероятности спонтанного излучения, так как при подстановке выражения (36.20) для ) интеграл в (36.11) будет равен интегралу (35.19). Условия, которым должны удовлетворять функции и„и и„, чтобы дипольный матричный элемент был отличен от нуля, называются правилами отбора; их можно легко сформулировать в том случае, когда потенциал У, входящий в невозмущенный гамильтониан (35.13), является сферически симметричным. В з 14 было показано, что при этом собственные функции оператора энергии можно записать в виде произведений радиальных функций на сферические К, (О,у), определяемые формулой (14.16). Матричный элемент (г)ч„представляет собой вектор, декартовы компоненты которого суть соответствующие матричные элементы х, у и г.
Последняя величина равна интегралу ~ ичг сов Ои„с1т, который можно переписать в виде произведения интеграла по г на интеграл ~ ) У, (О, у) сов Оуе .(О, а) гйп О сГО а1в. (37.1) о о Здесь штрихованными и нештрихованными индексами обозначены квантовые числа момента количества движения соответственно для нижнего состояния и„и для верхнего состояния ию Интеграл по 9 в выражении (37.1) имеет вид ~ Всст' — т)ол % о я 37.
Некоторые применения теория ияяучения зоз и, следовательно, отличен от нуля, лишь если пг = ел. Поэтому с точностью до численного множителя интеграл (37.1) можно переписать в виде 1 1 и!Р7 (и) Р, (и) !!и, ж = соз О. (37.2) — ! При помощи производящей функции (14.13) для присоединенных функций Лежандра можно показать, что 2!+1 ' »( )+ 2!+! !+ ~т! т ! — 1т!+ ! т Подставляя это выражение в (37.2) и принимая во внимание условие ортогональности (14.15), получаем, что матричный элемент г отличен от нуля лишь в том случае, когда и' = !и и Г = ! -ь 1.
Аналогично можно показать, что матричный элемент величины х+!у отличен от нуля, только если т'= т — 1 и Г = ! ~ 1, а матричный элемент х — !у — в том случае, если пГ = л7+1 и Г = ! -!- 1. Этими правилами отбора, определяются возможные разрешенные дипольные переходы для одной заряженной частицы, движущейся в центральном силовом поле. Поляризация испускаемого излучения. Как уже указывалось в связи с формулой (36.12), поляризация испускаемого излучения определяется полным вектором тока До, т. е. 1в силу (36.21)) дипольным матричным элементом. Если значения ! в начальном и конечном состояниях отличаются на единицу, а квантовое число т (относительно оси г) — одно и то же, то отличными от нуля будут лишь матричные элементы оператора г. Если сиотреть со стороны плоскости ху, то излучение будет линейно поляризовано в направлении оси г, тогда как в направлении оси г излучения не будет вообще.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
