Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Если магнитные квантовые числа начального и конечного состояний отличаются на единицу, то х- и у-компоненты дипольного матричного элемента будут сдвинуты по фазе на 90', а г-компонента обратится в нуль. При этом волны, распространяющиеся вдоль оси г, поляризованы по кругу, а если смотреть со стороны плоскости ху, то излучение будет линейно поляризовано в направлении, перпендикулярном оси г. Эти результаты представляют интерес в связи с вопросом о поляризации излучения атомов, помещенных в магнитное поле (см.
рассмотрение эффекта Зеемана, З 39). Сохранение момента количества движения. Как показано при обсуждении формул (36.18) и (36.19), максимальное значение момента количества движения, уносимого излучаемым квантом, равно Ф; кроме того, если при этом /о„= ~/о„, то момент количества движения направлен вдоль оси г.
Из формул (36.21) ясно, что в этом случае (у)»„= !(х)„„или (у),„= — !(х),„. Но, с другой 304 Гл. Х. Полукяассичеекия леюуия излучения стороны, х = г з!п 0 соз 1е = — г яп 6 (еее + е — 'ч), 1 1 У = Г ЯП В ЯП у = — — 1Г ЯП В (Енг — Š— ег). 3 Рассмотрение интеграла по у в (37.1) показывает теперь, что указанное соотношение между матричными элементами х и у справедливо лишь в том случае, когда магнитное квантовое число в начальном состоянии и, на единицу больше, чем в конечном состоянии и„.
Пользуясь равенством (14.23), мы видим, что при таком переходе г-компонента момента количества движения частицы уменьшается на й. Поэтому общий момент количества движения излучающей частицы и испускаемого кванта сохраняется. Зтот результат основан на соотношении (36.20) между классической и квантовой плотностями тока. Из успешного вывода формулы Планка (з 36) следует, что во всяком случае абсолютная величина ! правильно передается выражением (36.20). Данное выше доказательство закона сохранения момента количества движения показывает, кроме того, что и фазы начального и конечного состояний в (36.20) выбраны правильно; если бы, например, вектор 1 был пропорционален й агап и„, то результат предыдущего абзаца был бы иным. Если при переходе магнитное квантовое число не изменяется, то отличным от нуля будет лишь матричный элемент г; в этом случае из формулы (36.18) вытекает, что квант не уносит с собой никакого момента количества движения.
На первый взгляд могло бы показаться, что это противоречит изменению орбитального квантового числа ! на единицу. Но х- и у-компоненты момента количества движения не коммутируют с г-компонентой (которая в данном случае равна ели и остается неизменной), так что их нельзя определить точно. Средние значения их в состояниях, описываемых квантовыми числами ! и и, равны нулю, так как соответствующие матрицы не имеют диагональных элементов [см. соотношения (24.15)]. Поэтому в дан1юм случае нет наблюдаемых изменений каких-либо компонент момента, откуда следует, что среднее значение момента количества движения, уносимого квантом, должно быть равно нулю.
Мы можем представить себе дело таким образом, что в стационарном состоянии х- и у-компоненты момента количества движения частицы флуктуируют около нуля, так что их средние значения равны нулю(хотя средние значения их квадратов отличны от нуля). Изменения ! соответствуют изменению средних значений этих квадратов. Правила отбора для систем из многих частиц.
Если квантовомеханическая система состоит из нескольких невзаимодействующих друг с другом частиц, то полный гамильтониан равен просто у 37. Оеноторне применения теории излучения 305 сумме членов типа Н, + Н', определяемых соотношениями (35.13). Собственные функций невозмущенного оператора энергии представляют собой произведения собственных функций отдельных частиц, рассмотренные в $ 32 (их можно и не симметризовать, если частицы не тождественны). Очевидно, матричный элемент, фигурирующий в первом приближении теории возмущений (применяемой в $ 35 в связи с вопросами о поглощении и вынужденном испускании), содержит многократный интеграл вида 1 1 ... 1 и; (1) ие (2) ... ... (Н' (1) + Н' (2) +... ) во (1) и (2)...
йт, йе,... Поскольку для данной частицы различные функции и ортогональны, этот интеграл будет отличен от нуля лишь в том случае, когда все одночастичные функции и,, ..., кроме одной, равны соответствующим функциям и„... Поэтому при переходе может измениться состояние только одной из частиц, вследствие чего правила отбора (для центрального силового поля) в точности совпадают с полученными выше для одной частицы. Поскольку с помощью формулы Планка вероятность спонтанного излучения можно выразить через этот же интеграл, то указанные правила отбора будут справедливы не только для поглощения и вынужденного излучения, но также и для спонтанного излучения. Если система состоит из нескольких заряженных частиц, взаимодействием между которыми пренебречь уже нельзя, то правила отбора нужно основывать на общих законах сохранения момента количества движения и четности. Результаты З 35 и Зб нетрудно обобщить таким образом, чтобы показать, что если длина волны излучения велика по сравнению с размерами системы, то главную роль будет играть матричный элемент полного дипольного момента е,г, + е,г, +....
Как указывалось при обсуждении формулы (Зб.19), момент количества движения кванта, испускаемого колеблющимся диполем, 'не может превышать й; этот классический результат, полученный для произвольного распределениятоков, не изменится и в том случае, когда диполь образован из нескольких частиц. Вопрос о сохранении полного момента количества движения кванта и излучающей системы осложняется тем обстоятельством, что все изложение носит полуклассический характер. Последовательное рассмотрение в рамках квантовой электродинамики приводит к строгому правилу отбора, основанному на указанном законе сохранения. Согласно этому правилу, квантовое число полного момента количества движения излучающей системы может либо оставаться неизменным, либо изменяться на единицу. Исключение составляет случай, когда и в начальном и в конечном состояниях это квантовое число равно нулю.
В этом случае волновые функции начального и 20 л, шиФФ 306 Гл, Х. Пслуклассическая саверия излучения конечного состояний будут сферически симметричны; обобщая соображения, изложенные к конце $35, получим, что радиационные переходы между этими состояниями не просто запрещены, а строго запрещены (т. е. в первом приближении теории возмущений между ними невозможны не только дипольные, но и вообще любые переходы). Обсуждение вопроса о четности в связи с формулой (23.26) показывает, что если полный гамильтониан не изменяется при инверсии координат всех частиц, то все его собственные функции характеризуются определенной четностью.
Таким свойством обладают все известные гамильтонианы '. С другой стороны, оператор дипольного момента является, очевидно, нечетным относительно инверсии всех координат. Следовательно, его матричные элементы отличны от нуля лишь в том случае, если четности начального и конечного состояний противоположны. Это правило отбора известно под названием правила Лапорта. Эффект Черенкова. Легко показать, что заряженная частица, свободно движущаяся в пустом пространстве, не излучает энергии.
При заданной энергии электромагнитное излучение обладает наибольшим импульсом в том случае, когда оно распространяется в одном направлении; при этом отношение импульса к энергии равно 1[с. Релятивистское соотношение между полной энергией Е (включающей энергию покоя) и абсолютной величиной импульса движущейся свободной частицы р имеет вид Е' = раса + таст, где т — масса покоя ". Дифференцируя это соотношение, получаем 2Ег[Е = 2рсвбр, так что при излучении отношение потери импульса к потере энергии составляет г[Е рсв с 1 гр)1 эта величина всегда больше 1[с. Поэтому свободно движущаяся частица не может излучать, так как в противном случае не могли бы одновременно выполняться законы сохранения энергии и импульса.
Положение изменяется, если имеются другие частицы, которые могут принять на себя избыток импульса. Так, например, электрон, связанный в атоме или проходящий поблизости от атомного ядра, может излучать; последний случай обычно рассматривается как отклонение электрона ядром и испускание электромагнитных волн ускоренно движущимся электроном. Интересный пример, в кото- '> В рамках нерелятивнстской квантовой механики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
