Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Тогда, интегрируя выражение (37.1б) по частям, получаем Ойео -а ~ П Ео( г/е — В е1 Д» еЬАоч теь ь 312 Гл. Х. Полуклассическая теория излучения будет характеризоваться квадратом синуса. В обоих случаях вырываемые электроны движутся преимущественно под прямыми углами к направлению падающего пучка фотонов. На угловое распределение влияет также вектор передачи импульса К, фигурирующего в подинтегральном выражении (37.18).
В $26 было показано, что интегралы типа (37.18), вообще говоря, убывают при увеличении К (см., например, фиг. 23). Наименьшую величину вектор К будет иметь в том случае, когда вектор н направлен вдоль оси г. Таким образом, наличие вектора К в (37.18) приводит к смещению максимума дифференциального сечения в направлении вперед. Однако этот эффект будет заметен, лишь если й и га/с сравнимы по величине.
Временно допуская, что величиной е в (37.15) можно пренебречь, получаем ео Вк и ск 2тс 2с ' где о — скорость вырываемого электрона. Таким образом, смещение максимума сечения вперед происходит при большой энергии фотонов и вырываемых электронов, в связи с чем величиной е, как и предполагалось выше, действительно можно пренебречь". Эффективное сечение фотоэффекта иавтомах. Рассмотрим теперь частный случай, когда фотоэлектрон вырывается из нижнего состояния (К- или 1з-оболочки) атома. Тогда начальной волновой функцией и,(г) будет функция иио (г,б, р,).
В соответствии с (16.24) она имеет вид и,(г) = (ла')-не — '~', а = — ', а,= —,, (37.19) ач вэ Поскольку функция и, сферически симметрична, интеграл по угловым переменным в (37.18) легко берется, и мы получаем зяеэккк' а(0, 1а) = —,;"- / и,(г) нп Кг ° гаг . (37.20) ,о Подстановка (37.19) в (37.20) дает Зре аеее„ тсоз П + К'а')' (37.21) В конце й 26 указывалось, что применение борновского приближения оказывается наиболее оправданным, когда энергия высока и Леэ/ли~1.
В рассматриваемом теперь случае и = 2эеэ/2ао, так что йэ/сэ/2те = (йи/_#_еэ)э, поэтому величиной е в (37,15) можно пренебречь. Поскольку, как показано. выше, в этом случае го/е/с '> Величины к и еи/с могут быть также очень близки друг к другу аблиэи границы фотоэффекта, когда Вси лишь немного больше к Однако э этом случае борноиское приближение непригодно. 87. Неноторие ярименения теории иолучения 313 о/2с, величина К, определяемая равенством (37.17), приближенно равна /е (! — рсозб/2с). Кроме того, 1еа = во/2ее~1, следовательно, множитель 1+К'а' в знаменателе формулы (37.21) можно приближенно заменить на неае (1 — осоз%).
Таким образом, окончательно получается следующее выражение для дифференциального сечения фотоэффекта при высоких энергиях: и(б, о) — „, 31п' 6 созе и (1 + — соз б)/. (37.22) Поскольку электрон рассматривался в нерелятивистском приближении, отношение % должно быть достаточно мало по сравнению с единицей, в связи с чем в формуле (37.22) опущены члены порядка ое/с'. Интегрируя по углам, находим полное эффективное сечение а ем —- (37.23) Из соотношений (37.15) и (37.19) следует, что сечение и пропорционально Е /(йео)чч Применяя (37.23), необходимо помнить, что величина и представляет собой полйое сечение для каждого иэ К-электронов в отдельности, в связи с чем полное сечение фотоэффекта на К-оболочке вдвое превышает это значение.
Интересно отметить, что как главный член в (37.22), соответствующий пренебрежению величиной о/с по сравнению с единицей, так и все выражение (37.23) получаются в рассмотренном в $35 дипольном приближении. В этом приближении множитель е™~о в (37.16) заменяется единицей. Улучшение бориовского приближения. Рассмотренные вычисления в двух отношениях связаны с первым приближением теории возмущений.
Во-первых, матричный элемент (37.16) считается малым, так что взаимодействие между электроном и электромагнитным полем рассматривается с точностью до величин первого порядка. Во-вторых, предполагается, что в конечном состоянии волновая функция электрона имеет вид плоской волны, т. е. считается, что влиянием потенциала иона в этом случае можно пренебречь.
Что касается первого допущения, то в этом случае улучшить вычисления очень трудно, да и едва ли стоит зто делать, так как взаимодействие мемеду электроном и полем излучения действительно очень слабо. Наоборот, от второго предположения можно отказаться; связанную с этим некоторую затрату труда следует считать оправданной, так как полученный результат будет справедлив и в области низких энергий и при больших значениях 2; другими словами, параметр Ле'/йо в этом случае не обязательно должен быть мал по сравнению с единицей. В случае фотоэффекта на атоме водорода для описания конечного состояния можно пользоваться рассмотренными в $ 20 куло- Гж Х. 77олуклассическал лмория излучения 314 новскими волновыми функциями общего типа; с их помощью можно получить также хорошее приближение и для фотоэффекта на К-оболочках более тяжелых элементов.
На первый взгляд' могло бы показаться, что правильная функция должна иметь вид (20.2), т. е. асимптотически должна складываться из плоской волны и расходящейся рассеянной волны' ! (см. (20.9)]. В действительности, однако, оказывается, что асимптотически волновая функция конечного состояния должна состоять из плоской и сходящейся сферической волн. Качественно причина этого состоит в следующем". Цель данного расчета заключается в том, чтобы определить вероят.
ность перехода, при котором электрон испускается в направлении распространения плоской волны. Однако если конечное состояние характеризуется плоской и расходящейся сферической волнами, то можно ожидать, что часть амплитуды рассеяния связана с электронами, направление движения которых отличается от направления распространения плоской волны, поскольку расходящаяся сферическая волна учитывает возможность движения во всех направлениях. Наоборот, часть амплитуды вероятности, соответствующая испусканию электрона в данном направлении, будет включена в результаты, относящиеся к другим направлениям распространения, поскольку характерные для них расходящиеся волны вносят свой вклад и в вероятность для рассматриваемого направления.
Избежать этих осложнений можно, только выбирая волновую функцию конечного состояния так, чтобы в ней вообще не было расходящейся сферической волны. Это возможно только при условии, что асимптотическое выражение волновой функции будет складываться из плоской и расходящейся сферической волн. ЭАДАЧИ 1. Показать, что если б!ч ) = у = О, то наиболее общее решение уравнений Максвелла можно выразить через такие потенциалы, для которых ЩчА =т=о. 2. Показать, что уравнению (35.1) соответствует плотность вероятности, определяемая формулой (7.1), и найти выражение для плотности тока вероятности, заменяющее (7.3). 3. Показать, что если градиентное преобразование (35.5) сопровождается преобразованием т' = теггх'а', то вид волнового уравнения (35.1) не изменяется.
4. Оценить порядок величины отношения еА!ср, где е — заряд электрона, р — импульс электрона в первом возбужденном состоянии атома водорода, А — абсолютная величина векторного потенциала для видимой части спектра, ') В действительности иа бесконечности фаза плоской волны искажается, так что в кулоиовском случае мы ие получим в точности плоской волны. '> См. книгу Зоммерфельда ПО), Дальнейшее обсуждение и ссылки на более поздние работы можно найти в работе Брейта и Бете П!]. 315 Пи тера ту ра соответствующей излучению черного тела при температуре несколько тысяч градусов Цельсия, б. С помощью волнового уравнения проверить справедливость формулы (35.20), не пользуясь прн этом матричными методами. 6.
Пусть вынужденное испускание обусловлено действием изотропного полн такой интенсивности, что в области вблизи частоты перехода имеется по одному кванту на каждое состояние поля. Показать, что в этом случае вероятности вынужденного и спонтанного излучения одинаковы. 7. Атом водорода в первом возбужденном состоянии (2Р) помещен в по. вость с равновесным тепловым излучением. При какой температуре вероятности спонтанного и вынужденного испускания будут равны? 8. Вычислить отнесенную к единице времени вероятность спонтанного излучения для атома водорода в первом возбужденном состоянии (в сек.— '). 9.
Каковы правила отбора для разрешенных переходов линейного гармонического осцнллятора? Чему равна отнесенная к единице времени н выраженная в сек.-х вероятность спонтанного перехода для осцилляторз, находящегося в первом возбужденном состоянии (значения е, т н ю те же, что и в задаче 6)? 19. Показать, что если соответствующий радиационный переход разрешен, то в выражении для эффективного сечения возбуждения одноэлектрониого атома при столкновенивх с электронами всегда присутствует логарифмический множитель типа множителя, фигурирующего в (30 ! !). Найти простейшее соотношение между дифференциальным сечением для возбуждения атома электронным ударом и соответствующей вероятностью спонтанного излучения (переход считать разрешенным).
11. С помощью выражения для потока излученной энергии в дипольном приближении (36.!2) найти угловое распределение излучения для случая, когда )ти —— ! )д„, /м= О. Показать, что полная излученная энергия по-прежнему дается формулой (36.!3). 12. Исходя из (37.5), найти общее выражение для Л„(г) через Л (г, !). Последнюю величину считать вещественной. Пользуясь этим результатом, проверить справедливость соотношения (37.6) для случая, когда 1, (г, !) дается формулой (37.4).
13. Как поляризована излучение Черенкова? Уносится ли в этом случае с излучением момент количества движения? 14. Предположить, что взаимодействие между нейтроном и протоном в дейтроне можно охарактеризовать прямоугольной потенциальной ямой при а = 0 (д-взаимодействие), причем единственное связанное состояние соответствует значениям ! = 0 и а = 2,23 Мее. Показать, что если волновую функцию конечного состояния взять в виде плоской волны, то при вычислении эффективного сечения для фоторасщепления это не приведет к ошибкам. Найти дифференциальное и полное эффективные сечения для иеполяризованных фотонов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
