Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Следует предположить, что такие кванты (элементарные порции энергии поля излучения) действи- 5" 55, Поглощение и вынужденное ислускиние 289 тельно существуют и что энергия поля и частицы в сумме сохраняется. Переходя подвлиянием излучения с круговой частотой ш»„ в более высокое состояние, частица приобретает энергию Е, — Е„. СоответствУющий квант энеРгии Равен лго»„=Е» — Еви так что каждому переходу частицы в более высокое состояние естественно сопоставить поглощение одного кванта. Аналогично переход с уменьшением энергии связан с испусканием одного кванта, энергия которого соответствует частоте поля излучения.
В соответствии с (35.18) вероятность испускания пропорциональна интенсивности наличного излучения. Поэтому такой процесс называется вынужденным испусканием. Иногда оказывается удобным переписать выражение (35.18) в виде перехода, обратного фигурирующему в (35.17). Последняя формула описывает переход из начального (более низкого) состояния л в конечное (верхнее) состояние и; выражение (35.18) будет соответствовать обратному переходу, если заменить там л на )с, а (<' на л. Тогда вместо (35.18) мы получим !(ш»„),[ йяе †"' йгабл и» в(т) .
(35.19) Покажем теперь, что интеграл, входящий в (35.19), с точностью до знака совпадает с комплексно сопряженным значением интеграла, входящего в (35.17). Именно, интегрируя по частям [или же пользуясь (22.10)[, представим его в виде' — / и» йгабл[и„е — '»'[ с(т. Сюда входит только составляющая градиента в направлении вектора поляризации А,. Поскольку волновой вектор к перпендикулярен А„ оператор г„ фактически не действует на е †'"' и, следовательно, интеграл в (35.19) равен — [ и,е — '»' йгас)л й„в(х.
По абсолютной величине это выражение совпадает с интегралом в (35.17). Поскольку правые части (35.17) и (35.19) совпадают, вероятности прямого и обратного переходов между любыми двумя состояниями под действием одного и того же поля излучения также оказываются одинаковыми. Дипольиые переходы'>. В большинстве практически интересных случаев длина волны излучения во много раз превышает линейные П Применяя соотношение (22.10), следует помнить, что эрмитовым является оператор 18таб, а не просто втаб. в1 Автор употребляет термин „электрические дипольные переходы".
В переводе использован более часто встречающийся в нашей литературе термин „днпольные переходы". — Прим, лврвв. 19 Л, ШИФФ— Гл, Х. Полунласснчесноя теория излучения 290 размеры области, в которой волновая функция частицы заметно отлична от нуля. Это означает, что всюду, где функции и, и и„дают заметный вклад в интеграл, величина и г, входящая в экспоненциальное выражение в интеграле (35.17), мала по сравнению с единицей. Поэтому с хорошим приближением езк "можно заменить на единицу. Получающийся интеграл можно упростить, выразив его через матричный элемент импульса частицы: ( Г— й, дтпл и„с(т = -„- ~ и»рлп„с(т = — „(рл)»; здесь р„— компонента импульса частицы р в направлении поляризации падающего излучения.
Как видно из матричной теории ($23), матрица импульса для невозмущенной частицы имеет вид р = = т(с(г(с1(). Таким образом, в силу (23.27) имеем ! л (Р)»п =,~~ (г)»п = а (ń— Еп) (г)»п — — (тп»п(з)»гс В этом приближении формула (35.17) принимает вид ~ й» угас)л ип с(т =- — — „оз»„(г з)» и = — — „со»„) й»тли„с(т, (35 20) где г„— компонента вектора г в направлении поляризации.
Выражение (35.20), разумеется, можно вывести и без помощи матричных методов (см. задачу 3). Переходы, вероятности которых можно вычислить, подставляя (35.20) в (35.17), называются дипольными. Такое название связано с тем, что в этом случае вероятность перехода зависит только от матричного элемента дипольного момента частицы ег". В дипольном приближении вероятности перехода для поглощения и вынужденного испускания, отнесенные к единице времени, принимают вид '— „;;-'1(,.) й .)..!' (35.21) Удобно обозначить через(г)»„вектор, компоненты которого в декартовой системе координат равны йп-м матричным элементам х, у и г, и положить ((г)»„)а = (г)»п (г)„п. (35.22) Это выражение представляет собой скалярное произведение (г)»п на комплексно сопряженный вектор.
Дело в том, что обычно существует неколько пар состояний )с и п, для которых векторы (г)»„ О Величина ег представляет собой дипольный момент частицы с зарядом е относительно произвольно расположенного начала координат; добавление к г постоянного вектора (что соответствует сдвигу начала координат) ие изменяет матричного элемента (Зб,20), так как функции и» и и„ортогональны. г 85.
Поглоценив и вмнажденнов испускание направлены различно, а величины 1(г),„1з одинаковыт>. Тогда, если Π— угол между (г),„и направлением йоляризации падающего излучения, то в выражении (35.21) множитель1(г )а„)' можно заменить на ((г),„!зсозаО и провести усреднение по всем значениям О.
Среднее значение (35.21) для таких пар состояний равно '— ;„*.",7(,.)! ()кч!'. Запрещенные переходы. Может случиться, что для некоторых состояний )с и л дипольный матричный элемент(г)„„равен нулю. В этом случае приближенная замена е™г единицей в интеграле (35.17) уже не является оправданной. Экспоненциальное выражение можно разложить в степенной ряд: еса "= 1+ гк г -р — (1к г)'+... 1 с1 или в ряд по сферическим функциям 1типа (19.9)); г'в' =- )е()сг) + 311,(Кг) Р, (сок В) — 5)а(/се) Р, (соз В) +..., где  — угол между векторами к и г. Второй ряд более удобен, если, как зто обычно бывает, волновые функции и„и и„можно выразить через сферические функции.
В обоих случаях при йг ~ 1 главный член и-го порядка пропорционален (йг)" |см. первую из формул (15.7)]. Поэтому коль скоро дипольный матричный элемент обращается в нуль, а следующий за ним член в каждом из рядов отличен от нуля, то матричный элемент умножается на величину порядка Аа, где а — линейный размер области, в которой волновая функция частицы заметно отлична от нуля. Переход подобного типа называется залрещенныи, так как его вероятность отличается множителем (йа)' от вероятности дипольного или разрешенного перехода, а )са е 1. Последовательные члены в разложениях соответствуют днпольному, квадрупольному и т. д. переходам и содержат все более и более высокие степени йа. Если оба состояния и„ и и„ сферически симметричны, то интеграл ) иае'в'йгабл п„в(т тождественно равен нулю.
Чтобы убедиться в этом, введем в качестве переменных интегрирования декартовы координаты с осью х, параллельной вектору поляризации. Приэтомйгаб„и„будет нечетной, а и,— четной функцией х; вектор и перпендикулярен направлению поляризации и, следовательно, лежит в плоскости уг; таким '1 Если, например, частица движется в области со сферически симметричным потенциалом т' (г), то состоянию К может соответствовать квантовое число 1 = О, а состояниям и — квантовое число 1 = 1, причем магнитное квантовое число и будет принимать три значения (О, -с 1). 19' — 12— Гя. Х.
Лоауклассиивская творил излучвкия образом,гнив =ек" ~+кгонезависит от х. Поэтому подинтегральное выражение в целом будет нечетной функцией х, и интеграл (35.17) обращается в нуль. Переходы между этими состояниями называются строго запреи)гннымп, так как соответствующие вероятности, определяемые'формулой (35.17), равны нулю. Но переходы могут все-таки возникать за счет членов более высокого порядка малости относительно возмущения Н', определяемого формулой (35.13); в таких вычислениях в О' необходимо включить и отброшенный ранее член г'А'12тс'.
Однако с помощью квантовой электродинамики можно показать, что в таких переходах более высокого порядка участвует более одного кванта, так что эти переходы уже не являются простыми процессами испускания или поглощения, в которых энергия кванта равна разности энергий невозмущенных состояний частицы. й 36. Спонтанное излучение Классический заряженный осциллятор может либо отбирать энергию у поля излучения, либо, наоборот, отдавать ему свою энергию в зависимости от соотношения фвз между колебаниями поля и осциллятора.
Эти эффекты аналогичны поглощению и вынужденному испусканию, рассмотренным в предыдущем параграфе. Кроме того, классическйй осциллятор излучает энергию и самопроизвольно, независимо оттого, имеется ли внешнее поле излучения или нет. В настоящем параграфе мы рассчитаем электромагнитное излучение классического осциллирующего распределения электри.
ческих токов и зарядов в отсутствие внешних полей. Чтобы вычислить затем вероятность спонтанного излучения, полученные формулы несколько произвольно будут переписаны в терминах квантовых матричных элементов. Справедливость полученных результатов будет подтверждена сравнением их с формулой Планка для спектрального распределения теплового излучения в полости. Классическое поле излучения.
Распределение электрических токов и зарядов можно полностью охарактеризовать заданием плотности тока ), поскольку плотность заряда д связана с ) уравнением непрерывности (35.3). Аналогично в пустом пространстве вдали от зарядов и токов электромагнитное поле полностью характеризуется заданием любого из векторов Е или Н, так как они связаны уравнениями (35.2). Беря ротор от первого из уравнений (35,9), легко находим волновое уравнение для Н: пиН вЂ” —, — Н = — — го1 з. 1а 4я (Зб.!) Таким образом, в уравнение для Н входит только ), тогда как в аналогичное уравнение для Е входят какД,так и у (хотя послед- з" Зб. Снонтанное излучение 993 нюю величину, разумеется, можно исключить).
Перейдем теперь к решению уравнения (36.1) для Н. Будем считать, что все три декартовы компоненты вектора ) гармонически колеблются с одинаковой частотой ео, но необязательно с одинаковой фазой: /н(г, 1) = 2) / (г) /соэ(ео1 — о,) = /,(г) е *'"+ к.с., (36.2) Гн (г) = / /„ (г) / е'"'" . Аналогичные выражения имеют место для у- и г-компонент. Интересуясь только стационарными решениями для Е и Н с той же частотой ео, положим Е,(г, 1) =- 2~ К,(г)!сов(еог — с„) = Кн(г)е — '"'+ к. с., Н„(г, 1) =. 2 ! Н„(г) ~ сов (ео1 — с„) = Нн ег) е — ™+ к.
с., Е„ (г) = / К, (г) ! ем*, Цн (г) = ! Н, (г) ! е", (36.3) Аналогичные выражения имеют место для у- и г-компонент. В пустом пространстве вектор Е выражается через Н с помощью второго уравнения (35.2): Е(г) = — го1 Н(г). (36.4) С учетом (36.2) и (36.3) уравнение (36.1) принимает вид (уз+ )ез) Н(г) = — — го1 ) (г), й = †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
