Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Сп/опнноеенип с перераспределением нпср/иц 275 ~ у//Н;д/Ро//». С помощью (22.!О) его можно преобразовать следующим образом: "»/Н д/Ро //» = ~ (Нн//Р/) /Ро с/» = = 1 ((Н вЂ” Нсд) /Р/1 /Ро//» = ) /Р/Н/Ро//» — Е 1 гр,'Ро//» (здесь принято во внимание, что Н,д/Р/ = Е/Р/).
Аналогично, пользуясь равенством Н„/Ро = Е/Р„люжно показать, что последнее выРажение Равно ~йР,Н~Ро//». ПозтомУ, если фУнкции Уо и /Р, являются собственными функциями невозмущенных гамильтонианов Н„и Н,с, то мы имеем 3 Р/НпРРо/1» =,~ ~Р/Нпь'Ро/1» (34.13) Из соотношения (34.13), например, следует, что если Н;о = О, то и дп(0, Р) = О, даже если оператор Н;с не равен нулю и начальное и конечное состояния не ортогональны. Этого и следовало ожидать, так как при Н;о = О взаимодействие между сталкивающимися системами А и В отсутствует и переходы не возникают. Волновое уравнение, зависящее от времени, имеет вид 1й — „= Н Р= (Ис„+ Н;,) т.
(34.15) Подставляя сюда (34.!4) и принимая во внимание равенство (Н,„— Е/)/Р/ = О, получаем И~ а/р~е "/'/л= ~~ а/Н:д ~е " (34,16) Это уравнение можно упростить, умножая его слева на ут, и интегрируя результат по всем координатам; поскольку функции /р/ ортонормированы, мы получим /йа/ = ~ а/ ) /Р/,Н;,/Р///» е' '/' /' "". (34.17) / Система уравнений (34 17) является точной. Сделаем теперь два предположения, которые в совокупности эквивалентны замене 18' — в— Связь с нестационариой теорией возмущений.
Формулу (34.12) можно вывести также методом вариации постоянных (см. $29). Разложим волновую функцию /Р по невозмущенным волновым функциям конечного состояния /Р/ — — и„(С)ис,(//фь есс, где индекс 1 есть совокупность индексов в и /, характеризующих соответственно состояния систем С и л/, а и — волновой вектор относительного движения: р = "~ а/(1) р,е /в/"л. (34.14) 276 Гв. 1Х. Тссндествснные частицы и спин функции чр функцией Ро в правой части (34.9), как это делается в борновском приближении. Во-первых, допустим, что возмущение Н;, мало; в силу (34.13) в нашем случае это эквивалентнодопущению о малости Н;„которое делается в борновском приближении. В связи с этим в правую часть (34.17) можно подставить невозмущенные амплитуды а<",, что позволит вычислить возмущенные амплитуды первого прйближения а)п.
Во-вторых, предположим, что волновую функцию начального состояния чвос — свпо можно разложить только по таким (вырожденным) функциям м,„энергия которых Ег совпадает с начальной Е. Тем самым мы предйолагаем, что чро является собственной функцией конечного невозмущенного гамильтониана Н,ю равного Нсо + Н; — Н,'с; поскольку фактически Р есть собственная функцйя оператора Н „это предположение эквивалентно также допущению о малости возмущения Нос и Нсс.
Теперь можно заменить Е, на Е во временнбм множителе, входящем в (34.17), и вынести этот множитель за знак суммы по ). Невозмущенные амплитуды а",> определются равенством чро = ~ага~ Р,, т. е а',ю= ~ ррах. (34.18) С помощью формулы (34.18) и условия полноты ортонормированной системы функций чр, сумму по 7 можно переписать в виде ~~', / чРГНсЛ1 "т ) Ф~вро ит =- / у ГНс,Яо ис. Таким образом, в первом приближении уравнение (34.17) принимает вид Гйа)р — — 1 у) Ниуобт г'' Г '".
(34.19) Уравнение (34.19) можно решать тем же методом, что и уравнение (29.7); в результате получается формула (34.12) для дифференциального эффективного сечения. Обменные столкновения электронов с атомами водорода. В качестве первого простого примера столкновений с перераспределением, в которых существенны как спин, так и свойство тождественности частиц, рассмотрим упругое рассеяние электронов атомами водорода. В задачах такого типа нам должны быть известны асимптотические выражения несимметризованных волновых функций при всех перестановках тождественных частиц".
Волновую функцию с правильными свойствами симметрии можно найти методами, изложенными в $ 32. Найдем прежде всего асимптотическое выражение волновой функции как при рассеянии падаю- П См. работу ОппенгеймеРа 191. Е 84. Стоенноеенин с перераспределением частиц 277 щего электрона, так и при обмене его с атомным электроном. Воспользуемся борновским приближением; спиновыми взаимодействиями будем пренебрегать. В несимметризованной волновой функции падающий и атомный электроны обозначаются соответственно цифрами 1 и 2. Асимптотическое выражение стационарной волновой функции р (г„ге), соответствующей необменному упругому рассеянию частиц с полной энергией Е, дается произведением водородной волновой функции и„,(г,) для электрона 2 в основном состоянии на волновую функцию электрона 1, состоящую из падающей и рассеянной волн: у(ги г,) [е™~ + г, ' е"'"'/(В,)) и,со(гл), в'Й~ теа о Е 2т 2Л' ' На основании результатов $ 2б и 30 амплитуда рассеяния имеет вид /(Вл) = — — „,) ) е ™'"ии,оо(г,)( — — — ) е' "*и1оо(гл)с/г,йгм(34,21) "131 где й — вектор с абсолютной величиной /с„ направление которого характеризуется углом В, (функция / не зависит от азимутального угла 7 ).
Асимптотическое выражение функции 7 (г„гл), соответствующее упругому обменному рассеянию, дается произведением водородной волновой функции и, (г,)дляэлектрона 1 в основном состоянии на волновую функцию электрона 2; последняя имеет вид расходящейся волны: уо(ги г,) г, ',ее"'"*д(Вл) и„,(г,).
В этом случае плоская волна отсутствует, поскольку электрон 2 является атомным. Амплитуда обменного рассеяния в соответствии с (34.11) равна Е(В ) = — ~„,) '/ е Рм'"икм(г1)[ — — — ') е ~'"и1оо(гл) с/г,с/сл (34 23) "м л (абсолютная величина вектора й равна /с„а направление его характеризуется углом В,).
Теперь, умножая 7 (г„г,) на соответствующие спиновые функции, нужно составить антисимметричную волновую функцию. В качестве спиновых функций можно взять систему, указанную сразу после формулы (33.5); проще, однако, исходить из четырех симметризованных линейных комбинаций (ЗЗ.б). Не предполагая какой-либо связи между спинами падающего и атомного электронов, можно взять любую из этих систем функций, вычислить сечение рассеяния для каждого из четырех спиновых состояний, а затем найти среднее значение, приписывая всем состояниям Гл. вХ.
Тождественные частицы и спин 278 одинаковые веса". Первые три спиновые функции (33.6) симметричны, и их нужно умножить на антисимметричную пространственную функцию и (г„г,) — ве (г„г,); четвертая спиновая функция антисимметрична, и ее нужно умножить на сумму вр(гы гз) + вр(г„гт). Дифференциальное эффективное сечение.
При больших зна. чениях одной из координат электрона, например г„асимптотические выражения для симметризованных волновых функций получаются из (34.20) и (34.22). вр(гы га) ~ (о(гзг,) — [е™'" + + г, 'е' '"*[(Вг)+т-'е' '"д(0,)[и, (г,). (34.24) Первые два члена в скобках справа получаются из первого слагаемого в левой части, третий член — иэ второго слагаемого. Для одной четверти всех столкновений эффективное сечение должно вычисляться с верхним знаком, а для трех четвертей — с нижним. Таким образом, мы получим гг(0) = 4 [) (О) + 8 (В) ~~ + 4 [( (О) — Я(В) [а. (34.25) Формулу (34.25) можно вывести и не обращаясь явно к спиновым функциям. Достаточно лишь, как и в случае (33.2), использовать сделанное ранее замечание о том, что частицы с разными значениями компонент спина являются различимыми. Для 50о~', всех столкновений компоненты спинов электронов различны и эффективное сечение рассеяния равно просто сумме [((0) ['+ [д(0) [' прямого и обменного эффективных сечений.
В остальных 50оу,' столкновений электроны неразличимы, и необходимо использовать антисилгметричную пространственную функцию. Таким образом, ') Зто следует из основной гипотезы квантовой статистики (см., например, книгу Толмэна [8), $ 84). Можно показать, что в подобных статистических вычислениях можно пользоваться любой из двух ортонормированных систем волновых функций (в нашей задаче две данные системы функций являются полными по отношению к спинам двух электронов). Как было показано в $ 22, две системы функций;например о„н ню связаны унитарным преобразованием оз ~ за„пы где 8 — унитарная матрица. Поэтому ~[оп[в- ч, БачБьчпдиь = ~ дььплпа = ~ [пай а Поскольку вероятность данного события (например, рассеяния в определенном направлении) пропорциональна квадрату волновой функции, среднее значение получается одним и тем же прн усреднении по смеси волновых функций любой системы.
.Г 84. Столкновения с иерераснределением частиц 279 мы получаем а (д) = — 2' ( 1 У (д) ~ + ~ д (д) Р) + ', ~ У (д) б (д) ~е, Обменные 'столкновения с атомами гелия. При рассмотрении упругого рассеяния. электронов атомами гелия в основном состоянии удобнее пользоваться сразуи пространственной и спиновой волновыми функциями. Как было показано в 9 33, два электрона в атоме гелия находятся в симметричноМ пространственном и антисимметричном (синглетном) спиновом состоянии. Поэтому если бомбардирующий электрон обозначить цифрой 1, а атомные электроны— цифрами 2 и 3, то невозмущенная волновая функция имеет вид ечи" и,(г„г,) о (1, 2, 3), где во — симметричная пространственная функция нормального состояйия, а и (1,2,3) — спиновая функция, антисимметричная относительно электронов 2 и 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
