Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Восемь спиновых функций трехэлектронной системы (33.9) сгруппированы в зависимости от их симметрии по отношению к электронам 2 и 3; очевидно, функция о (1, 2, 3) должна быть одной из компонент последнего дублета в (33.9). В первом приближении асимптотические выражения возмущенных волновых функций с учетом спина имеют вид вр(1, 2, 3) „— - (епк ' + г,~ ~(дД)ио(г„гв) р(1, 2, 3), р (1, 2, 3) „г; ' д'(д,) по (г,„г,) о (2, 3, 1), вр(1, 2, 3),— — г, ' а'(дв) во(г„г,) и(3, 1, 2), (34.2б) где антисимметрия имеет место только по отношению к электро- нам 2 и 3. Здесь ~(д,) = — — „,Ще-'"'" йо(г„гв) х е, е„е,, что, как нетрудно видеть, совпадает с (34.25).
Интеграл вида ! еч" еР(г)дг будет мал, если 1са > 1 (предполагается, что Р— непрерывная функция г, малая при г > а). Поскольку интегралы по г, и г, в формуле (34.23) относятся именно к этому типу, можно ожидать, что при !сао в. 1 функция г будет мала по сравнению с !. Но именно в этом случае борновское приближение является наиболее удовлетворительным. Таким образом, следует ожидать, что обменные поправки к формулам Ч 30 для эффективного сечения будут довольно малы.
280 Гл. /Х. Тождественные частицы и спин и спиновый член ов(1, 2, 3) о(1, 2, 3) = 1 опущен. Далее, е'(0е) = е(0а) он(2, 3, 1) о (1, 2, 3), х 1 —,' + — , '— —,')е'~"* ио(г„гв)йт,<Н,йте; (34.27) се йв е выражение для е'(0в) имеет аналогичный вид. Произведение спино- вых функций в (34.27) легко вычисляется с помощью одноэлек- тронных функциИ (33.4), если только учесть, что функция сев эрми- тово сопряжена с о.
Примем в качестве о (1, 2, 3) предпоследнюю спиновую функцию в (33.9); тогда получим о*(2, 3, 1) и(1, 2, 3) = 2 И [( — + +)а — (+ + — )а) х х 2 я((+ + — ) — (+ — +)) = — —. (34.28) Полностью антисимметричная волновая функция получается из чо (1, 2, 3) по формуле (32.3) с нижним знаком. Поскольку функция чо уже антисимметрична относительно двух последних аргументов, ясно, что члены в первой и во второй скобках в (32.3) будут одинаковы. Асимптотическое выражение волновой функции при больших значениях координат одного из электронов, например г„ получается из соотношения (34.26) и (34.28): чо(1„2, 3) + чо(2, 3, 1) + 1е(3, 1, 2), (е™ ." + г,— 'е"" х х ~) (О,) — — д (О,) — — д (0 в)] ~ ио (ге гв) о (1, 2, 3).
(34 29) Отсюда находим дифференциальное эффективное сечение рассеяния: ее (О) = / ~(0) — е (0) ) е. (34.30) Формулу (34.30), как и формулы (33.2) и (34.25), можно вывести и не обращаясь явно к спиновым функциям. В основном состоянии атома гелия спины двух атомных электронов антипараллельны (синглет). Следовательно, спин падающего электрона будет параллелен спину одного и антипараллелен спину другого атомного электрона. При упругом столкновении обмен со вторым электроном невозможен, так как в противном случае оба атомных электрона оказались бы в одинаковом спиновом состоянии и в силу принципа Паули атом должен был бы перейти в возбужденное состояние. Иначе говоря, падающий электрон может обмениваться только с неотличимым от него атомным электроном, откуда следует, что необходимо пользоваться антисимметричной комбинацией простой (1) и обменной (е) амплитуд рассеяния.
Это и дает формулу (34.30). 281 В отсутстаи е спиноаых взаимодействий возбуждение триплетного состояния атома гелия при столкновениях с электронами может происходить только за счет обмена падающего электрона с одним из атомных. В этом случае амплитуда простого рассеяния !!) отсутствует и, следовательно, интерференции между амплитудами простого и обменного рассеяния не возникает. ЗАДАЧИ !.
Показать, что если между функциями ея, чд, „ч„существует линейная зависимость, то антисимметричная волновая функция, определяемая формулой (32.7), обращается в нуль. 2. Показать, что если волновая функция и (1, 2,..., л) является собственной функцией симметричного гамильтониаиа и принадлежит невырожденному собственному значению, то она или симметрична, или антисимметрична, Доказательство дать сначала для случая л = 2, затем для и = 3, и, наконец, указать, каким образом можно его обобщить на случай произвольного л, 3. Проверить, действительно ли спиновые волновые функции (33.6) являются собственными функциями операторов (8, + $,)' и Я„+ Зы, принадлежащими указанным собственным значениям.
Показать также, что ре. зультат действия х- и у-компонент оператора полного спина на зти функции согласуетси с соответствующими матрицами (24.!5). 4. Провести вычисления, указанные в задаче 3, для спиновых функций, определяемых формулами (33.9). 5. Найти собственные функции квадрата оператора полного спина и его г-компоненты для четырехэлектронной системы.
Показать, что полученные состонния можно сгруппировать в один квинтет, три триплета и два синглета. (Згказанпе: за исходные взять триплетные и синглетные спиновые функции для двух пар электронов; воспользоваться матрицами (24.15) и соответствующими матрицами для ! = 2.) 6. С помощью формулы (33.2) написать выражение для эффективного сечения рассеяния протонов протонами в системе координат центра инерции.
Считать, что кулоновское взаимодействие имеет место вплоть до г = О. Рассмотреть вопрос об эффективном сечении в классическом предельном случае (й - О), обратив особое внимание на углы, близкие к З = 90'. Показать, что если усреднить дифференциальное эффективное сечение по произвольно малому, но конечному угловому интервалу, то иитерференционный член обращается в нуль.
7. Показать, что при вычислении уровней энергии атома гелия в первом приближении теории возмущений (й ЗЗ) конфигурации 1з2р и !з2з можно рассматривать независимо. 8. Какой вид имела оы волновая функпия невозмущенного состояния атома гелия, если бы электроны подчинялись статистике Бозе — Эйнштейна и спин каждого из них равнялся Ь? 9.
Написать невозмущенную волновую функцию основного состояния нейтрального атома лития. 18, Непосредственным вычислением показать, что формулу (34.25) можно получить в предположении, что падающий и атомный электроиыописываются четырьмя сливовыми волновыми функциями (++), (+ — ), ( — +) и ( — ), а яе их триплетными и синглетной линейными комбинациями (см.
примечание 1 на стр. 278). 282 Гл. 1Х. Тождественные частицы и слон ЛИТЕРАТУРА 1. »)Ь! епЬеей С. Е., Соибвгп11 8., Ха»иггч»зз.,13,953(1925); Ха!пге, 117, 264 (1926). 2. Рап!» )У., 2в. !. РЬув., 31, 765 (1925). 3. Т о»та п К. С., ТЬе Рг»пс»р!ев о»8!абвбса! Месйап»сз, Ох!огб, Хечг уаттс, 1938. 4. М ага Ьа1г К. Е., Мевоп РЬув»св, Хетт Хогй, 1952. 5. ЕЬ ген!ев ! Р., Ор реп Ье»те г ). К., РЬув. Кем., 37, 333 (1931). б. Ран! ! Гч'., РЬук Кеми 58, 716 (1940). (Имеется русский перевод в книге В.
П а у л и, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, !947.) 7. Ран! ! %., Ев, ». РЬуз., 43, 601 (1927). 8. М о 1 ! Х. Р., М а з в е у Н. 8. %., ТЬе ТЬеогу о! А»опбс Со!Пв»опв, 24 еб., Ох»огб, Хее Уогй, 1949. (Имеется русский перевод, Н. М о т т, Г. М е с с и, Теория атомных столкновений, ИЛ, !951.) 9. ОррепЬе»гаег ). К., РЬув. Кеми 32, 361 (1928). ГЛАВА Х ПОЛУКЛАССИ ЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ До сих пор мы не рассматривали вопросов, связанных с взаимодействием частиц с электромагнитным излучением.
Как и следовало ожидать, последовательное рассмотрение, согласующееся с развитой ранее квантовой теорией частиц, возможно лишь на основе квантовых уравнений движения электромагнитного поля, аналогичных уравйениям Максвелла. Действительно, только в этом случае в рамки общей теории можно включить квантовую гипотезу Планка. Изложение основ квантовой теории излучения мы отложим до гл. Х1Ч. В настоящей же главе электромагнитное поле будет рассматриваться классически, а частицы, с которыми оно взаимодействует, — квантовомеханически.
Такое полуклассическое рассмотрение по необходимости является неполным и не вполне удовлетворительным, хотя оно в принципе и проще квантовой электродинамики, излагаемой в гл. Х1Ч. Мы увидим, что данное приближение позволяет наглядно и правильно описать влияние внешнего поля излучения на систему частиц (поглощение и вынужденное испускание), но не дает правильного представления о влиянии частиц на поле (спонтанное излучение). Тем не менее и в последнем случае результаты классического рассмотрения удается корректно (хотя и не вполне убедительно) перенести в квантовую теорию. ф Зб.
Поглощение и вынужденное непускание Чтобы получить уравнение Шредингера для частицы с массой и и зарядом е, движущейся в электромагнитном поле с потенциалами А и сг при наличии добавочной потенциальной энергии 1г', нужно добавить к правой части уравнения (23.24) член ~'тг: дч г вг 1еа 1'ев 1 — = — — у'+ — А ° ргали + — (Йч А) + ЗГ ! 2м гггс 2гггс + 2„„.е А'+ ею+ р] Чг. Здесь )г представляет собой потенциальную энергию, ответственную за связанные состояния частицы (в случае электрона эта энергия имеет электростатическое происхождение); потенциалы А Гл. Х.
Полуклассическая теория иолукения 284 и 4о характеризуют электромагнитное поле, величина которого достаточно мала„чтобы соответствующие члены в (35.1) можно было рассматривать как возмущение. Последнее вызывает переходы между различными стационарными состояниями частицы в поле 1Г, и задача состоит в вычислении соответствующих вероятностей.
Сначала мы обсудим некоторые свойства поля и рассмотрим решения его уравнений, имеющие вид плоских волн. Уравнения Максвелла. В гауссовой системе единиц уравнения Максвелла имеют вид го1Е+ — — = О 1 дп с ас 1 дЕ 4и го1 Н вЂ” — — = — ), с ас с ' (35,2) йчН=О. б!ч Е = 4есд, Беря дивергенцию от второго и производную по времени от третьего уравнения, получим уравнение непрерывности лля плотности электрического заряда у и плотности тока ): йч,) + ф = О. (35.3) Напряженности электрического и магнитного полей можно выразить через потенциалы по формулам (23.15): Е = — — — — дгаб р, Н = го1 А, 1 ЗА с ас (35.4) А'= А+ дгаб т, р'= и — — —, 1 ах с ас' (35.5) где т. — произвольная функция г и 1 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
