Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 60
Текст из файла (страница 60)
также задачу 3). Подставляя (35.4) во второе и третье уравнения (35,2), получаем го( го( А + —, —, + — угас) — = —,), 1 д'А 1 ди 4я (35.6) 1 д — — йч А + пе1о = — 4еед. с д1 Пользуясь прямоугольными координатами, для вектора А можно написать го1 го1 А = вагаб (йч А) — и'А, где последний член представляет собой вектор, компоненты которого получаются применением оператора Лапласа ксоответствую- откуда видно, что первое и четвертое из уравнений(35.2) удовлетворяются тождественно.
Соотношения (35.4) не определяют потенциалов однозначно, так как напряженности Е и Н, очевидно, не изменятся, если заменить А и 1о новыми потенциалами А' и р'. З" Ю5, Поглмпепие и вынужденное испускание 2да При этом функция т., осуществляющая градиентное преобразование, должна удовлетворять уравнению 1 азх Г .
1 дса'~ ГзЛ вЂ” — — = — ~'йч А+ — — ) . сз д(з с ас) Уравнения (35.6) теперь принимают вид 1 Эзл' 4п гзА' — — — = — —,) с' а(' с 1 атас узу' — — — = — — 4атд. с ап (35.9) Плоские электромагнитные волны. Если 1 = 0 и р = 0 (совершенно пустое пространство), то, как можно показать, не нарушая общности, функцию, осугцествляюшую градиентное преобразование, можно выбрать так, что с((ч А' = 0 и р' = 0 для любых г и 1 (см.
задачу 1). Тогда для А' и, следовательно, для Е и Н получаются решения в виде плоскйх волн. В этом случае, опуская штрихи, мы получаем гзА — —,, = О, д!ч А = О. 1 а*А (35.10) Типичное решение (35.10) имеет вид плоской волны, представляемой вещественным потенциалом с волновым вектором к и вещественным вектором поляризации ! А ~: А (г, 1) = 2 ~ Ав ( сов (н .
г — со1 + я) = Ае (в' (к т — ео) + к. с. (35.11) Здесь „к. сгя означает комплексно сопряженное выражение, а постоянный комплексный вектор Ао определяется как ! А, (е'ч. Первое из уравнений (35.10) выполняется, если ю = (сс, где (с — абсолютная величина вектора к; из второго уравнения следует, что вектор А, перпендикулярен и. Напряженности электрического и магнитного полей, характеризуемых векторным потенциалом (35Л1), имеют вид Е = — 2/с ( А, ( з(п ($с .
г — со( + я), Н = — 2К х ( Ав; з1 и (К ° г — со( + и). М Иногда употребляется также термнн „калибровочное преобразование". 0 различном выборе потенциалов в соответствии с (За.б) говорят как о разлнчной нх калибровке. — Прим. перев. щим компонентам А. Применяя градиентное" преобразование (35.5), переводящее А, р, в А', у', можно упростить уравнения (35.6), если наложить на новые потенциалы условие Лоренца: с(1ч А'+ — — „= О.
1 дт' (35.7) 286 Гл. Х. Полуклассическая теория излучения Вектор Пойнтинга (с!4ст) Е х Н, очевидно, параллелен вектору н, а его абсолютная величина, усредненная по периоду колебаний 2ст/в, равна "' ~ А )а (35.12) Здесь 1Ао!а представляет собой скалярное произведение вектора А, на самого себя (1Аа) (Ае!) или же скалярное произведение А, на комплексно сопряженйый вектор (А, Аа). Выражение (35,12) определяет интенсивность" плоской волны (35.11). Применение теории возмущений. Вернемся теперь к уравнению (35.1) и вычислим вероятность перехода между стационарными состояниями, обусловленную векторным потенциалом (35.11); последний мы будем рассматривать как малое возмущение.
Теперь в правой части (35.1) третий (п1чг А) и пятый (у) члены равны нулю. Далее, отношение второго члена к первому и четвертого ко второму по порядку величины равно еАгср, где р — импульс частицы. Оценка этого отношения для практически интересного случая дана в задаче 4; результат оказывается столь малым, что использование теории возмущений является оправданным. Таким образом, в первом приближении теории возмущений можно пренебречь членом еаАа/2тса и переписать уравнение (35.1) в виде гй — (Нр + Н ) ту~ Не = — — уа + 1Г(г), Н' = — А дгай. (35.13) Поступая так же, как в $29, разложим т по стационарным собственным функциям па(г) невозмущенного гамильтониана Н;, коэффициенты разложения ра(!) при этом будут зависеть от времени. Если первоначально система находилась в состоянии л и возмущение начало действовать в момент ! = О, то в момент времени ! в первом приближении мы получим 1ср. с (29.17)) га! Нь ее!"а ~' — ! Нь' е'! ".
+'!' — ! тки т Й Оэаэ+и Нг,' = — ~ иа еал' А, асад п„с(т, (35.14) !еа гНде = — ) иа е-'к' А, афтаб и„пт. Как уже отмечалось в 9 29, вероятность нахождения системы в состоянии й имеет заметную величину лишь в том случае, когда знаменатель одного из членов в (35.14) практически равен нулю. '> В нашей литературе чаще употребляется тернии „поток энергии".— Прим. нерее. 287 у зд Поглощение и еанужоенное иенуеноние Интерференция между двумя членами отсутствует: первый из них существен при Е, л Е„+ йго, а второй при Е, ń— йео. Поэтому'вероятность обнаружить систему в состоянии )с, эйергия которого больше энергии начального состояния приблизительно на лго, будет пропорциональна ~Н'Цв, а вероятность обнаружить систему в состоянии 1с', энергия которого меньше начальной энергии на соответствующую величину, будет пропорциональна )Н"3,„(а.
Вероятность перехода. В ~ 29 было показано, что вероятность перехода, отнесенная к единице времени, не зависит от времени лишь в том случае, если конечные состояйия распределены непрерывно или образуют группу очень близко расположенных дискретных уровней. Это связано с характером представленной на фиг. 27 зависимости вероятности перехода ~а'~1(1)(в от энергии: пропорциональна 1 не ордината, соответствующая той или иной абсциссе, а вся площадь под кривой. Равным образом и в рассматриваемой сейчас задаче вероятность перехода, отнесенная к единице времени, будет постоянной, если падающее излучение монохроматично (частота ю строго определена) и конечные состояния образуют непрерывную (или дискретную, но с очень малыми интервалами) группу, В результате мы получим формулу(29.12), в которой матричный элемент Н„' нужно заменить на Н'ловили Н"',.„.
Однако часто представляет интерес вычисление вероятйости перехода между двумя дискретными состояниями. Если в этом случае падающее излучение строго монохроматично, то вероятность перехода, отнесенная к единице времени, с течением времени не будет оставаться постоянной и будет заметно зависеть от разности между ю и величиной 1 Ед — Еп! В этом случае мы допустим, что излучение занимает целый интервал частот, причем между различными компонентами Фурье нет никаких фазовых соотношений. Тогда излучение можно характеризовать интенсивностью, отнесенной к единичному интервалу (постоянной в окрестности )ева„~".
В этом случае вероятность обнаружить систему в конечном состоянии будет пропорциональна (Н'3„)в или ~Н"р '„~з, что в свою очередь пропорционально )Ар~в и, следовательно, интенсивности. Если интенсивность, приходящаяся на малый интервал частот Дго, равна 1(го)Ьо, то в силу (35.12) можно положить ( Ар ~~ = —, 1 (ео) воз, '1 Обсуждение случая, когда интенсивность вблизи точки ьоьч) не иостоянна, см. в книге Гайтлера [11, 1 20.
Гл. Х, Полуклассическая теория излучения 288 где А, — амплитуда векторного потенциала в интервале частот Ьв. Тогда вероятность перехода системы в состояние с более высокой энергией (Ея Е„+ йв) к моменту времени ! оказывается равной 4 ) Няч (зз$из((вяи со) Щ ( а~ко(!) !з = ~ где символ йгабл означает компоненту градиента в направлении вектора поляризации А,. Поскольку между различными компонентами Фурье нет фазовых соотношений, вклады различных интервалов частот в вероятность перехода оказываются аддитивными. Все интервалы частот Ьв в (35.1б) можно выбрать бесконечно малыми и перейти от суммирования к интегрированию. Поскольку временнбй множитель имеет острый максимум при в = в~в другие зависящие от в величины, можно вынести за знак интеграла и интегрировать по в в пределах от — до + !так, как это делалось при переходе от (29.10) к (29.11)1.
Таким образом, отнесенная к единице времени вероятность перехода в состояние с более высокой энергией оказывается равной $ Р'(!)~'= '.,„7( ° ) Оч — 1(соя„)) ) и,е'"' йгадл вийе~, (35,17) т'св1„ где абсолютная величина вектора к теперь равна в,„/с. Аналогичное выражение получается и для отнесенной к единице времени вероятности перехода в состояние с более низкой энергией (Ед, ~ ń— Ав): !(вяя)~ ~йк е — "' йгадлпийе~ . (35.18) В этом случае абсолютная величина вектора а равна в„я,!с. Истолкование в терминах поглощения и испускания.
Формулы (35,17) и (35.18) определяют (отнесенные к единице времени) вероятности переходов между стационарными состояниями под действием классического поля излучения. Эти выражения можно теперь истолковать в терминах поглощения и испускания квантов электромагнитного излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
