Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(36.5) Это — неоднородное уравнение типа (26.5); его решение, записанное с помощью функции Грина (26.15), имеет вид Н (г) =- — ~ ~ (', ) е'" ! е — '1 Йт'. е .l !е — е'/ Формула (36.6) определяет запаздыааеощее решение,уравнения (36.5); на больших г оно описывает расходящуюся волну, зависящую от г и 1 по закону 1 — ень' чо -ь к.
с. г Таким образом, поле, создаваемое данным элементом тока, проявляется в точке г лишь спустя некоторый промежуток времени, т. е. колебания его запаздывают по сравнению с колебаниями 3. Асимптотическое выражение. Нам предстоит вычислить энергию и момент количества движения, уносимые полем. Ниже будет показано, что энергию можно найти, зная лишь главный член (порядка 1/г) в асимптотическом разложении напряженности поля; для вычисления же момента количества движения нужно еще рассмот- Г.е Х, Полуклассическая теория излучения реть некоторые члены порядка 1/»в. Зависящую от» часть подинтегрального выражения в (36.6) можно разложить в ряд по степеням 1!»; 1 ' ~'ы~в Ь еяй»зм~ч~~ ,,— — - -.
— 11 + — — -- — — ~ ее <" — "' ), (Зб 7) )е — е' ' с-вс » где Π— угол между г' и г. Подставляя (36.7) в (Зб.б) и принимая во внимание (36.4), мы полностью определим асимптотический вид электромагнитного поля с точностью до членов порядка 11»Я. Излученная энергия. Вектор Пойнтинга, характеризующий поток энергии, равен 4— [Е (г, 1) х Н (г, 1)). С помощью формул (36.3) получаем для типичной компоненты вектора Р(г), полученного усреднением вектора Пойнтинга по периоду колебаний: Р, (г) =- — [( Е (г)~ Ни(г) ) [соз(Ы вЂ” Е,) сов(си( — (р)]ср..р.— — ! Ея (г) ! ! Н, (г) ~ [соз (со1 — бв) сор (со» вЂ” ~ .))ср. вр. ) = с Я Е, (г) ! / Н„(г) ! сор (б„— Си) — ) Е„(г) / ! Н,(г) / сор (~, — Г,)) .
Принимая во внимание аналогичные выражения для двух других компонент, можно записать этот вектор в виде Р(г) = — Ке[Е(г) х Н(г)1, где символ Ке означает вещественную часть. Нас интересуют теперь только те члены в выражении для потока энергии, которые убывают как 1/»Я, поскольку именно они определяют излученную энергию. Следовательно, в выражениях для Е и Н нам будут нужны только члены порядка 11». Декартову систему координат, в которой выписываются явные выражения компонент напряженностей поля, удобно выбрать так, чтобы ось г была параллельна вектору г, проведенному от центра распределения зарядов и токов до точки, в которой измеряются напряженности поля.
Тогда на основании (36.4), (36.6) и (36.7) мы получаем с точностью до членов порядка 11» (где теперь» = г) г[,— О, Е. — О. (36.9) Чтобы исключить производные от компонент 1, было произведено интегрирование по частям. Из формулы (36.9) видно, что 296 Гл. Х. Полуялиссичесяия теория излучения Выражение (36.13) справедливо и при наличии у 1 нескольких компонент, причем фазы последних необязательно одинаковы (см. задачу 11). Момент количества движения.
Момент количества движения, излучаемый в единицу времени, равен вращающему моменту, действующему на большую идеально поглощающую сферу с центром в источнике излучения. Средний поток энергии равен Р, так что плотность энергии (для данного направления) есть (1/с)Р,а плотность импульса составляет (1/с') Р.Поскольку излучение распространяется со скоростью с, вращающий момент, действующий иа бесконечно малый элемент идеально поглощающей поверхности аА, перпендикулярный вектору г, равен векторному произведению г на плотность импульса, умноженному на саАг аА — (г х Р).
Интегрируя эту величину по поверхности радиуса Г, находим момент количества движения, излучаемый источником в единицу времени. При этом существенны только касательные к сфере компоненты вектора Р, т. е. в обозначениях (36.9) величины Р и Р„(ось г направлена вдоль г). Если бы компоненты К, и Ц, были равны нулю, то тангенциальные составляющие Р, и Р„тоже были бы равны нулю, и излучение момента количества движения не имело бы места.
Третье и шестое из выражений (36.9) говорят лишь о том, что радиальные компоненты напряженностей поля (параллельно оси г) представляют собой величины меньшего порядка, чем 1/Г; фактически они имеют порядок 1/Г'. Это означает, что при больших Г компоненты Р и Р„убывают как 1/Г'. При этом полный момент количества движенйя, поглощаемый большой сферой, не зависит от г, так как выражение для момента количества движения определяется величиной г х Р, а поверхность поглощающей сферы пропорциональна Г'. Таким образом, необходимо найти члены порядка 1/г' в выражениях для К, и Н„но не в выражениях для других компонент напряженности поля: К, -';»'а" / (у'/ (г') — х' /к(г'))» — '"'оЬ' (36.14) К, —...»е" ~ (2/,(г') + Их' /е(г') + Иу' /к(г')1» — самс/т'. Формулы (36.9) и (36.14) позволяют точно вычислить величину излучаемого момента количества движения".
О Более оопсее оесужленне данного вопроса можно найти в книге Блатта н Вайскопфа 121, приложение Б. а Эб. Спонтанное излучение 297 Дипольиый случай. В дипольном приближении выражения для Р, и Р„принимают более простой вид, так как в этом случае в формулах (36.9) и (36.14) нужно оставить лишь члены наименьшего порядка относительно /гг'. Легко видеть, что, например, в выражении для Р, главным членом будет не(с/2аг) Ке(ЕнН,), а — (с/2аг) Ке (),Нн). С точностью до членов низшего порядка относительно /гг' получим Р, = — Ке (! / /, с!х' Г /, Нт'), Р„= —" Ке(! / /, с/х' / Х, с!х').
(36.15) с!А =- га з(п В г!б с!гр, взятом в точке г, нужно знать лишь величину Р„определяемую формулой (36.15), При помощи компонент полного вектора тока 1а в новой системе координат это выражение можно переписать Равенства (36.15) написаны в системе координат, связанной с элементом поглощающей поверхности дА, положение которого характеризуется вектором г. Чтобы найти компоненты момента колич ьства движения в относительно некоторой фиксированной в пространстве оси, эти формулы нужно переписать для произвольной г!Я декартовой системы.
Эта операция в принципе подобна переходу от выражения (36.10) У для потока энергии к более общей формуле (36.11), но более сложна. Выберем новую фиксиро- .Г ванную декартову систему КООрдИНаТ Х', у, с~. ПОЛОжс- ф и г. 29, Соотношение между иештрн- ние старых осей в новой хованиой н штрихованноа системами СИСТЕМЕ ЗаВИСИТ От Г (СМ координат, использованными в выражефиг. 29) следующим образом: ниах (36.!6) и (36.16). ось г параллельна г, и в новой системе координат ее положение характеризуется углами О, у. Ось у перпендикулярна г и лежит в плоскости, содержащей г и г'; наконец, ось х перпендикулярна плоскости, содержащей г и г', Для вычисления вклада в г'-ю компоненту момента количества движения, обусловленного поглощением в элементе поверхности Гл. Х. Полуклоссическая теория излучения 298 в виде Р, = —,Ке[1(/» яп Осоз р+ /»» з[п Ояпр+ !».
соз 0) х а х (/,» соз р — Л,„- з!п р)[. (36.16) Плечо компоненты Р, относительно оси г' равно Гз[п0; таким образом, дифференциал соответствующей компоненты момента количества движения с[М, = —,Гз[п 0Р,Г'гйп 000с(у. ! (36.17) Подставляя (36.16) в (36.17) и интегрируя по полярным углам, находим Зс' (~ок ~»и 4пс (36.18) Отсюда следует, что излучение некоторой компоненты момента количества движения зависит только от перпендикулярных ей составляющих вектора [». Более того, должны иметься две взаимно перпендикулярные компоненты, колеблющиеся с некоторой разностью фаз.
Действительно, если обе величины /», и /»». вещественны (или просто синфазны), то выражение в скобках в (36.18) равно нулю. Таким образом, лйнейный диполь (у которого [о имеет лишь одну компоненту) не излучает момента количества движения.
При данном значении Щ» излучение уносит максимальный момент количества движения, если вектор [ имеет две равные по абсолютной величине, взаимно перпендикулярные составляющие, сдвинутые по фазе на 90' (а третья компонента равна нулю). Пусть отличные от нуля компоненты направлены по осям х' и у'. Тогда можно положить /»», = с/„, и1 формула (36.18) принимает вид (36.19) две другие компоненты вектора М равны нулю. Сравнение формул (36.13) и (36.19) показывает, что максимальный момент количества движения, излучаемый диполем в единицу времени, равен излучаемой энергии, умноженной на 1Псс = 1[со.
Будучи перенесено в квантовую теорию, это соотношение показывает, что излучаемый диполем квант энергии йео уносит момент количества движения, не превышающий Ф. Переход от классической к квантовой теории. Перейдем теперь от классической формулы (36.13) для энергии, излучаемой диполем, к соответствующему квантовому выражению, Для этого нужно найти квантовый аналог вектора полного тока [ и связать излучаемую энергию с вероятностью перехода между состояниями излучающей частицы. а аб, Спонтанное излучение 299 Поскольку излучение энергии связано с переходом из верхнего состояния ва в нижнее состояние и„, то вектор [ нужно заменить плотностью тока, связанной с переходом из )г в и. Плотность тока естественно представить в виде произведения плотности заряда на скорость, вместо которой можно взять оператор импульса, деленный на массу — (1й)ш) угад.
В стационарном состоянии плотность заряда следует приравнять заряду частицы, умноженному на плотность вероятности координат ефа. Нас, однако, интересуют переходы между состояниями, поэтому мы заменим это выражение на свп,ль. Характер действия оператора лгаг), фигурирующего в формуле для скорости, на волновые функции, описывающие плотность заряда, определяется с помощью соображений, приведенных в 9 7 [см. (7.3)[. Таким путем получается величина, заменяющая классическую плотность тока; ,[(г) — е ви(г)лгпи,(г). (36.20) Мы предположим, что переход к квантовой теории осуществляется подстановкой (36.20) во все полученные выше классические соотношения". Интегрируя (36.20) по координатам, получим полный вектор тока: .[ = — — ~" и„угад иа йт = — (еш,ь 1' вагин е(т = (ешь„(г)„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
