Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 65
Текст из файла (страница 65)
— Прим. перев. '1 См,, например, книгу Бергмана [З[, гл. 6. [См. также книгу Ландау и Лифшица [141. — Прим. перев,) д З7, некоторые применения теории излучения 807 Выражение для плотности тоив. Допустим, что размеры движущегося заряда малы по сравнению с интересующими нас длинами волн. Тогда, если частица с зарядом е находится в момент ! = О в начале координат и движется вдоль оси г со скоростью о, то плотность тока можно записать в виде /,(г, [) = /к(г, [) = О, (37.4) /, (г, [) = еад (х) д (у) д (г — а[); здесь д — функция Дирака, введенная в $ 11. Поскольку в 2 36 теория излучения основывалась на предположении, что плотность тока зависит от времени по гармоническому закону, разложим /, в интеграл Фурье: [,(г, [) = ) [7',.(г)е — ™+ к.
с.]>[и>. (37.5) о Коэффициент Фурье, соответствующий частоте о>, дается фор- мулой /,. (г) = — д (х) д (у) е'"'>". Чтобы убедиться в этом, подставим (37.6) в (37.5): чо 7' (г !) д(х) д(у) ~ [е> ° Кг>ч> — >! [ е гчн >ч> — >)>[о> 2в о д(х) д(у) [' е!.к.>ь> — и >[го 2я (37.6) что в силу (11.10) и пятой из формул (11.13) согласуется с (37.4). '> См. работу Черенкова [61. [Или работы [>6, [71. — Лрим. перев,) з> См. работы Франка и Тамма [71 и Тамма [8). *> Подробное изложение классической теории эффекта Черенкова можно найти н монографии Иваненко и Соколова [[7[; см.
также обзорную статью >лжелли [>81. — Лрим. верее. 20' — а ром вследствие наличия вещества законы сохранения могут выполняться, дает равномерное движение заряженной частицы в среде с показателем преломления л, когда скорость частицы и больше скорости света в среде: (37.3) Излучение быстрого электрона, скорость которого удовлетворяет неравенству (37.3), наблюдалось Черенковым ".
Теория эффекта Черенкова ", основанная на классической теории излучения, излагается ниже ". Такой подход будет удовлетворительным, если свойства среды можно охарактеризовать с помощью показателя преломления. 308 Гл, Х. Лолаклассииесяая теория иалуиения Разложение напряженностей поля излучения в интеграл Фурье. По аналогии с (37.5) выражения для напряженностей электрического и магнитного полей можно записать в виде ОО Е (г, 1) = ] [Е. (г) с — '"' + к. с.] йо, (37.7) Н(г, 1) = ] [Н.(г)с — '"'+ к.
с.]йо. о В силу уравнений Максвелла векторы Е и Н зависят от ] линейно; поэтому каждая из компонент Фурье Е„ и Н„ связана с соответствующей компонентой плотности тока 7с„. Вектор Пойнтинга, соответствующий (37.7), равен со оо 4 — Е(г, 1) х Н(г, 1) = „— ~ ! [Е. (г) х Н. (г) с — <"+ э~+ о о + Е . (г) х Н. (г) с' < "+ "э1 + Е„ (г) х Н „ (г) с в ' <" — "э ' + + Е , (г) х Н„ (г) с' ~" — иэ '] йо йсо'. (37.8) Формулой (37.8) можно воспользоваться для нахождения спектрального распределения энергии излучения. Если акт испускания занимает время, малое по сравнению с обычными лабораторными масштабами, то распределение испускаемой энергии по частотам обычно представляет больший интерес, чем распределение во времени.
Поэтому проинтегрируем (37.8) по времени от — до + получив тем самым полный поток энергии. Поскольку время 1 входит только в показатели степеней, то в силу формулы (11.10) мы получим б-функции от частот. При последующем интегрировании по со' первые два члена в подинтегральном выражении ничего не дадут, а последние два члена примут вид й ! Е (г, 1) х Н (г, 1) й1 = ОО = — с ~ [Е„(г) х Н (г) + Е„(г) х Н„(г)] йо. (37.9) о Подинтегральное выражение в (37.9) равно удвоенному значению вещественной части произведения Е„(г)х Н„(г) и всоответствии с (36.8) его можно обозначить через (4ес/с) Р„(г). Поскольку (37.9) имеет вид интеграла по частоте, величина 2сс Р. (г) Йо представляет собой поток энергии в интервале частот от со до со + асо.
Будем считать, что рассматриваемая среда представляет собой однородный изотропный диэлектрик, характеризуемый ди- .4 ЗУ. Накояврма яриягнлния теории излучения ЗО9 Рач(г) =, ~ / /ьк, (г')е — '""'" От'(; (37.10) здесь Р, — компонента вектора Р„в направлении наблюдения (т. е. параллельно й или г), а абсолютная величина й равна преж- нему значению го/с.
Излученная энергия. Пусть направление наблюдения характеризуетсяся полярными углами 9, ег относительно оси г. Тогда скалярное произведение и ° г' в (37.10) равно )г (х' 8!в 9 соз р + у' яп 9 81п уз + х' соз 9) и /~ к, = /,.з!и О. Подставив (37.6) в (37.10), найдем поток энергии, отнесенный к единичному интервалу частоты: 2тгРа (г) = 2п э 'с 4 'з!и 9 / !,! .Г О(х ) О(У ) ехр(!год !о) К х ехр ( — г лй (х' яп 9 соз ег+ у' з! и О з!и ф + г' соз 9)) дх' Оу' Ог' ~а = 4 „~ ! ~ ехр [!год ( — „— Д из ) . (37.11) Чтобы придать выражению (37.11) определенный смысл, можно принять, что частица излучает только на конечном участке своего пути, длина которого равна 7..
Тогда интеграл по г' можно брать, например, от — 1.!2 до 1./2. Простой расчет дает для квадрата интеграла в (37.!1): 4 а!па ~ — Ы. ( — — )1 (37. 12) При больших Е. это выражение будет иметь резкий максимум, если знаменатель равен нулю, т. е. если соз О, = —. с по' (37.13) Н Как можно подсчитать, показатель преломления и должен быть таким, чтобы величина с/п представляла собой фазовую, а не групповую скорость света в среде (см.
райоты Тамма [81, $5 или Мотив и Шиффа 19!Ь электрической проницаемостью а. Это означает, что в формулах 8 35 и 36 константу с надо заменить на с/аи = с/л (л †показате преломления среды, равный ан), а вместо к нужно взять произведение пит'. Поэтому в наших обозначениях формула(36.11) принимает вид Ги Х.
Пояукяассическая теория иаяуяеяия 310 Таким образом, частица излучает внутрь конуса в направлении своего движенйя, причем угол при вершине конуса убывает с уменьшением ли/с. Поскольку при и<с/и угол Ои становится мнимым, то при нарушении условия (37.3) излучение отсутствует. В частности, излучение отсутствует при л = 1 (в пустом пространстве), поскольку и всегда меньше с. Тот факт, что выражение (37.12) не обращается в нуль при созО(1, даже если и(с/л, связан с конечностью длины пути частицы Е. Действительно, в начале пути частице сообщается определенная скорость, а в конце его частица останавливается. Таким образом, частица испытывает известное ускорение, благодаря чему излучение становится возможным. Полная энергия излучения дается интегралом от (37.11) по поверхности сферы радиуса г. При его вычислении, как и в случае(29.11), можно, учитывая остроту максимума подинтегрального выражения, распространить интеграл .по сох О на всю бесконечную область, а ебп'0 заменить на з!и'О„где О, дается формулой (37.13).
Интеграл от выражения (37.12) равен 4я'сЕ.Г'/лси. Подставив это выражение в (37.11), найдем, что полная энергия, излучаемая частицей на расстоянии Е и отнесенная к единичному интервалу частот, составляет теев Мп' З, тееЬ ~ се ~ с' ' се 1 йФ' Соответственно число квантов с частотой в интервале от си до си+с/со, испускаемых на единице пути частицей с зарядом е, движущейся со скоростью и в диэлектрике с показателем преломления л, дается выражением (37.14) (е заряд электрона).
Следовательно, число квантов в единичном интервале частот зависит от си только через л. Выражение (37.14) показывает, что при движении очень быстрых электронов (и мс) в воде (л ~1,33) на 1 см пути испускается около 230 квантов видимого света (длина волны от 4000 до 7500 А). Фптеэффект. Если на систему, содержащую связанные заряженные частицы, падают кванты достаточно высокой энергии, то имеется конечная вероятность разрушения системы. В случае атомов этот процесс обычно называется фаслоэффеклюм, в случае ядер — фошорасщенлением. В качестве примера рассмотрим вырывание электрона из атома под действием фотона с энергией яси --е( — е есть энергия основного состояния электрона.) В начальном состоянии волновая функция электрона равна и,(г), а кинети- Х 37.
Некоторые применения теории изярчения З11 ческая энергия в конечном состоянии есть ВЧР— = лео — е. зи (37.15) Пусть излучение падает в положительном направлении вдоль оси г и поляризовано так, что вектор напряженности электрического поля параллелен оси х. Матричный элемент перехода определяется при этом второй из формул (35.14) (37.1б) На основании формул (29.12) и (29.14) вероятность перехода в единицу времени из связанного состояния в ионизованное равна 1р — — ! Ноо ~ $1П 0 До йр.
АР Для дальнейшего оказывается удобным ввести вектор передавае- мого атому импульса ВК: К=( — ",)1, — й, (37.17) где 1, — единичный вектор, параллельный оси г. Дифференциальное эффективное сечение фотоэффекта равно вероятности 1р, деленной на величину падающего потока фотонов. Последняя получается делением интенсивности (35,12) на Дю и,следовательно, еоИ'. о а(0, р)гйп ОДОДр = — ' ~ ) иое'н.еДе~ з!п ОДОДр, (37.18) Зяяит ! о Угловое распределение. Угловое распределение вырываемых фотоэлектронов определяется двумя множителями в (37.!8). Первый множитель хо показывает, что распределение электронов относительно направления поляризации падающего излучения будет характеризоваться квадратом косинуса. Если излучение не поляризовано, то Ц нужно заменить на (1ео + Ц)12, в силу чего распределение относительно направления падающего потока Допустим, что конечное состояние с достаточной точностью представляется плоской волной и (Г) ~ э|,Е1Юе Это эквивалентно предположению о применимости борновского приближения для описания рассеяния электрона остающимся ионом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
