Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Йсключая оболочки, стоящие в скобках, указанный здесь порядок заполнения всегда соблюдается. В табл. 2 приведены электронные конфигурации основных состояний всех элементов". В данном атоме заполнены все оболочки, выписанные вверху и слева от занимаемой им клетки в таблице.
Поскольку при заполнении б-оболочек изменяется число 3-электронов, столбцыыб" подразделены так, чтобы это число было указано. Две группы атомов с частично заполненными 7-оболочками (в основных состояниях) обозначены звездочкой (э ) (редкоземельные элементы) и крестиком (ф) (наиболее тяжелые элементы).
В первой группе заполнена оболочка бэ, во второй — 7а; распределение электронов в б- и /-оболочках каждой группы показано в нижней части таблицы. Данные для элементов, атомные номера которых заключены в скобки, получены экстрайоляцией нлн основаны на -результатах анализа спектров соседних элементов. Некоторые периодические закономерности заслуживают особого внимания. Элемент, у которого в какой-либо э-оболочке (кроме 1л) находятся только один электрон, представляет собой щелочной металл, а предыдущие элементы (у которых заполнена 13-оболочка илн р-оболочка) — инертные газы.
Элементы с одинаковым числом электронов в р-оболочке обладают аналогичными химическими свойствами. Это особенно заметно проявляется в Случае галогенов, в р-оболочках которых имеется лишь по одному свободному состоянню. Свойства элементов с заполненными 26- н Зэ-оболочками, за которыми следуют р-оболочки (Ве н Мд), несколько отличаются от '1 Эта таблица заимствована иэ книги Концова и Шортли 11).
Обзор последних данных, относящихся к редким землям (лантаноидам), имеется в работе Меггерса [21. (См. также кингу Елвяшевича [32[. — Прим. перев.) 1[анные для наиболее тяжелых естественных элементов и для искусственных трансурановых элементов (актиноидов) приведены по Сиборгу (см. [3), гл. 8.). В последние годы ряд элементов получил новые названия: ниобий (АРЧЬ, 41), технеций (Тс, 43), прометий (Рш, 61), астатин (А1, 85), франций (Рг, 87), нептуний (Р[р, 93), плутоний (Ри, 94), америций (Аш, 95), кюрий (Сш, 96), беркелий (В[с, 97) и калифориий (С(, 98).
Элементы с атомными номерами 99 и 100 также выделены, но еще не получили названий. [Это было написано в 1955 г. В настоящее время элементы с атомными номерами 99 и 100 получилн название эйнштейний (Еп) и фермий (Рш). Недавно был открыт также элемент с атомным номером 101, получивший название меиделевий (Мб). — Лрии. нерее.) Таблица 2 Электронные конфигурации атомов в основном состоянии ! 31 3' л' Л ! 13 131 14!из лз! 1'!!из! ~3!л!О ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 3! 31 4! 51 0 ! ! 3 '53 1 Н ,'Не 1 ' 2 51 ,'Ве 3 4 В,С К !015 Ке 5'Б'7'8'9110 2р Ка!Мд 11 12 А1 ! 31 ! Р ! 9 ! С1 ! Аг 13 14 ! 1Б ' 15 ' 17 ' 18 Зр ! ! иг и г г г 3 1Сг! ! ! ! 1Си 124! ! ! ! 125 - г -г г - - г - - + - - л - - л — - г - т т - - 0 -- 5с1ТЗ! Ч ! 1Мп!Ге!Со!НИ! !Еп 21 ' 22 ' 23 ' 125 ! 2б ' 27 ' 28 ' ' 30 45' К 1Са 19 '20 483с~ 43 Са Се !Аз !Бе 1 Вг1 Кг 31 ' 32 ' ЗЗ ' 34 ' 35 ' 55 4р 550 -1- — т 1 ! —.Л- — 1 У !211 39 '40 1п 1Зп !БЪ!Те,! б ~ Хе 49,' 50 ' 51,' 52 ! 53 ! 54 5р 11Г ' ' 77 ! --г--и--г--и--0--0--л--л---1-- 1Р1 'Аи '78 79 -З --1-- --с--и-- --и-- --2-- Еа+!НБ!Та1ЧЧ гВе103! ! ! !Нд 57 , '72 ' 73 ' 74 '75 ' 7б ' ' ' !80 550 65,412" 58 65 Б5 Т11РЬ!831ро А1лйп 81 '82 '83'84 '85'88 Бр 75 21 Л.
ШИФФ— ! ВЬ,'Бг 37 138 1 1 ! Сз 1Ва 55 ! 55 ! ! ! ! Рг !На 57 188 — Л - - -1 — - Л вЂ” - г -- 1 СЬ 1 Мо! Тс ! Ни 141 '42 143 144 — - -1- - -0 — т — — л —— ! ! 1 ! -Е --.! 1 ! Ас Тът 89 ' 90 ' ,' РБ 14Б ВЪ! Аи 145' 147 1Сб '48 Гл Х1. Атомы, молекулы и агломкые ядра 322 свойств щелочноземельных элементов, у которых за заполненными у-оболочками следуют И- и 1-оболочки. При заполнении 4я- и Заоболочек получаются элементы, в известной мере похожие на те, у которых заполнены 5е- и 4Ы-оболочки.
Элементы, у которых все оболочки заполнены (Хп, Сб и На), вполне подобны друг другу; точно так же весьма сходны друг с другом и благородные металлы (Сн, Аа и Ан), у которых для заполнения всех оболочек не хватает одного з-электрона. Статистическая модель Томаса — Ферми".
Вернемся теперь к первой задаче, возникающей в связи с приближением центрального поля. Для определения потенциальной энергии Р(г) применялись два метода. Здесь мы обсудим первый метод, предложенный Томасом ]4] и Ферми 15], тогда как второй метод (метод Хартри) будет рассмотрен в дальнейшем. Статистическая модель Томаса— Ферми основана на предположении, что на расстоянии порядка длины волны электрона потенциал у(г) изменяется достаточно медленно; поэтому внутри объема, в котором относительные изменения потенциала невелики, может находиться большое число электронов. Тогда электроны, которые, как отмечалось в 3 32, подчиняются статистике Ферми — Дирака, можно рассматривать с помощью статистической механики.
При нормальных температурах энергия теплового движения мТ очень мала по сравнению с (г(г) (исключая точки вблизи границы атома, где вероятность пребываниязлектрона мала). В этом случае из статистики Ферми — Дирака следует, что электронные состояния заполняются в порядке возрастания их энергий (как и предполагалось выше). Отличие излагаемого метода от более общего подхода (см, начало настоящего параграфа) состоит в добавочном допущении о практическом постоянстве Цг) в области, содержащей большое число электронов, В 3 11 было показано, что число электронных состояний в кубе с ребром 1., на границе которого волновая функция подчиняется периодическим граничным условиям, равно (Ц2м)з ак, г(квак,.Чтобы учесть возможность существования двух спиновых состояний, это выражение нужно умножить на 2; тогда число состояний с абсолютной величиной импульса р = йи, меньшей или равной р„будет равно Ран 2 2( — ) ~ ~ ] йк<йз(пдг(ОИу= о о о Если все эти состояния заняты, то концентрация электронов с кинетической энергией не больше ре12т составит рв13ггзмз.
На расстоя- П Более подробное изложение вопросе можно найти в монографии Гомбашн 1331. — Прим. нерее, Э яа, Приолияееяия, иоиолоэуемые в теории атома 323 нии г от ядра максимальная кинетическая энергия электронов должна быть равна — Р(г), так как в противном случае электроны покинули бы атом. Таким образом, мы получаем соотношение между концентрацией электронов и (г) и потенциальной энергией: ( — 2тк(е)] Ь п(г) ( — 23 (')] ' (38.1) Электростатический потенциал Ъ'(г)/е определяется также с помощью уравнения Пуассона, в которое входит плотность заряда еп (г): 1 1 а / Н~] е ее' «е ~ ае! — 7э1~ = — — (гэ — ] = — 4>ееп(г).
(38.2) Равенства (38.1) и (38.2) представляют собой систему уравнений для функций и и Р. Для нейтрального атома с атомным номером Я граничные условия можно выразить только через (е(г). При г — О потенциальная энергия обусловлена в основном ядром, и, следовательно, Р(г) — — Уев(г. При г — суммарный заряд внутри сферы радиуса г должен быть равен нулю; поэтому У убывает быстрее, чем 1]г, и Ю (г) — О. Это граничное условие на бесконечности отличается от граничного условия, принимавшегося выше, когда мы предполагали, что асимптотически ]е ведет себя как — еэ!г.
Дело в том, что раньше функция )е представляла собой потенциальную энергию одного из атомных электронов, тогда как потенциал Томаса — Ферми действует на бесконечно малый пробный заряд. Различие между обоими потенциалами подчеркивает статистический характер приближения Томаса — Ферми. Выра>кение для Р становится точным в пределе, когда и> стремится к бесконечности, а е — к нулю, причем произведение п>эев остается постоянным; в этом случае длина волны электрона обращается в нуль, а концентрация частиц становится бесконечно большой.
В этом пределе потенциал остается постоянным на протяжении многих длин волн, и число частиц достаточно велико, чтобы можно было применять статистическую механику. Вычисление потенциала. Исключая п(г) из (38.1) и (38.2), получаем уравнение для функции — 1'(г): 1 а 1 а( — й)1 4е*( — 2т'й(е)] ь (38.3) гг ае 1 ае ! 3~во Это уравнение и указанные выше граничные условия удобно запи- сать в безразмерной форме, в которой величины У., Е, еп и й входят только в масштабные коэффициенты. Положим Лев Ъ'(г)= — — х, г=Ьх, 1 ез ~ Ь ав О,заза, (38.4) 2 4 т Е' г" 21' — ы 324 Гл. Хд Амоми, молекуяы и атомные ядра где а„= йэ/гле'.
Подставляя зти выражения в (38.3), получаем Хнах Х Рх (38.5) где т=1 при х=О и т=О при х= Наиболее точное решение уравнения (38.5) было найдено Бушем и Колдуэллом 161 с помощью дифференциального анализатора; результаты представлены в табличной форме. Йз формулы (38.4) следует, что если под „радиусом" атома понимать радиус сферы, внутри которой содержится определенная часть всех электронов (см. задачу 1), то этот радиус будет обратно пропорционален кубическому корню из атомного номера. При помощи (38.4) можно также показать, что приближение Томаса— Ферми дает тем лучшие результаты, чем больше атомный номер.
Потенциальная энергия на расстоянии атомного радиуса пропорциональна Лчп так что типичная длина волны электрона пропорциональна я 'ь. Расстояние, в пределах которого относительное изменение потенциала имеет заданную величину, пропорционально атомному радиусу, т. е. У чь Таким образом, относительное изменение потенциала йа длине волны электрона пропорционально у — 'ь и, следовательно, убывает с ростом У. Кроме того, поскольку число электронов равно Л, то с ростом Л становится все более оправданным применение статистического метода.
Самосогласоваиное поле Хартри. Второй метод нахождения центрального поля предложен Хартри [71. Он основан на предположении, что каждый электрон движется в центральном поле и последнее можно вычислить, зная потенциал ядра и волновые функции всех других электронов, причем плотность заряда электрона предполагается равной плотности вероятности его координат, умноженной на е. Для каждого электрона, находящегося в своем центральном поле, решается уравнение Шредингера, и получаемые таким путем волновые функции затем согласовываются с полями, для которых проводились вычисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
