Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Разбиение четырех дублетных состояний на две пары является произвольным; здесь оно сделано таким образом, чтобы первая пара дублетных состояний была симметрична, а вторая — антнсимметрична по отношению к перестановке частиц 2 и 3. При такой записи дублеты не обладают симметрией по отношению к перестановке двух других частиц. й 34. Столкновения с перераспределением частиц В $30 с помощью теории возмущений были вычислены аффективные сечения упругого и неупругого рассеяния злектронов атомами водорода. При зтом предполагалось, что обменом падающего и атомного злектронов можно пренебречь.
В настоящем параграфе будет рассмотрена роль обмена с учетом спина и принципа Паули. По-прежнему мы будем пользоваться теорией возмущений, которая особенно полезна при столкновениях частиц большой знергнн". Сначала с помощью борновского приближения (~ 26) мы рассмотрим вообще столкновения с перераспределением частиц, затем покажем, каким образом зтот метод связан с изложенной в й 29 нестационарной теорией возмущений, и, наконец, применим теорию к обменным столкновениям злектройов с атомами водорода и гелия. Обозначения для столкновений е перераспределением частиц.
В общем случае бинарное столкновение с перераспределением можно охарактеризовать как столкновение системы А, находящейся в состоянии и, с системой В, находящейся в состоянии л, причем в результате получаются система С в состоянии л и система О в состоянии 1. Предполагается, что как системы А, В, так и системы С, 0 образованы из тех же самых частиц, т. е.
в процессе столкновения не происходит исчезновения или появления новых частиц и не участвуют фотоны; однако в результате столкновения частицы могут обмениваться местами. Для обозначения всех внутренних координат систем (включая спин) мы будем пользоваться буквами А, В, С, О; векторы, соединяющие центры инерции систем А, В и С, О, будут обозначаться соответственно через гаа и гг„б приведенные массы, характеризующие относительное движение до и после столкновения, суть М,а — — М,МДМ, + М,) и М,„= М,Ме/(М, + М„).
Вычисление будет проводиться в системе координат центра инерции, переход к лабораторной системе можно осуществить с помощью общих соотношений, полученных в $18. '1 Лругне методы, применимые для столкновений с низкой энергией, рассматриваются в книге Мотта н Мессн 1З1, гл. 10 н 11. 272 Гл. 1Х. Тождеетеенние частили и енин В з 32 было показано, что подобные вычисления можно проводить так, как если бы частицы были различными. Лишь в конце образуются линейные комбинации обменно вырожденных волновых функций, обладающие должными свойствами симметрии относительно перестановок тех или иных тождественных частиц.
Симметризация будет проводиться в отдельных примерах, рассматриваемых в конце настоящего параграфа. Для общей же задачи, которую мы сейчас рассматриваем, мы найдем только приближенную несимметризованную волновую функцию. Задача состоит в решении волнового уравнения (Н Е)~=О, (34.1) где гамильтониан можно записать одним из двух способов: Н = Н„+ Н., = Н~ + Н,'„. (34.2) Невозмущенный гамильтониан начальной и конечной систем имеет вид ас и.'м аЬ ас 2Мсл Н,ь — — Н, + Нь+ Т„м Нсд = Нс + На + Тсас (34.3) Т се где операторы Т соответствуют кинетической энергии относительного движения в системе центра инерции.
Волновые функции не- возмущенных состояний начальной и конечной систем представляют собой (известные) решения волновых уравнений (Н, — Е, ) п,т(А) = О, (Нь — Еь ) пь (В) = О, (Н, — Е„) и„(С) = О, (̈́— Еа,) и„(0) = О. Члены взаимодействия Н;, и Н,'„рассматриваются как малые возмущения. Точное решение всегда можно разложить по функциям и„(С) пю(0) полной ортонормированной системы, причем коэффициенты разложения будут зависеть от относительных координат г,л тс = ~~, ис,(С) и„(0)о„(г„). (34.5) с, с те= и.
(А) и (В) е '*.ь (34.6) Нам предстоит найти приближенные выражения для функций аи(г,е), соответствующие конечным внутренним состояниям а и г систем С и 0 и получающиеся из невозмущенного начального состояния л ЗЕ. Столнновенин с перераспределением частиц 273 Борновское приближение. Подставляя функцию вр (34.5) в волновое уравнение(34.1) и учитывая равенства (34.2) — (34.4),получаем 2,'Псв(С)иав(Р)(Тел+ Есв+ Еси — Ь)пн(г,л) = — Н;,РР.
(34,7) в,! Если теперь умножить(34.7) слева на и„, (С)и„и(Р) и проинтегрировать по всем координатам С и Р, то в силу ортонормированности функций и все члены слева обращаются в нуль, исключая случай е = з' и г = р. Опуская штрихи, запишем полученное выражение в виде (Т в+Е,+Ет — Е) п„(г,о)= ) Г и (С) ие,(Р)Н;евре)тейт,. (34.8) Это можно переписать в форме, аналогичной (26.4): ( Псе 1с )ивв(гсв) = в ' ~ ~ псв(С) пав(Р) Нс~я~)тсе(гав (34.9) )ге = †.™ —" (Š— Š— Еа ).
ав св си Соотношения (34.9) при всех е и г представляют собой систему точных уравнений, из которой в принципе можно найти все функции п,р Здесь дело обстоит так же, как и в случае уравнения (26А), приближенное решение которого мы нашли, заменяя в правой части точную волновую функцию невозмущенной. В данном случае мы получим приближенное решение (34.9), заменяя функцию вр на вро из (34.6); тогда правая часть будет известна, и неоднородное уравнение для и„легко будет решить с помощью соответствующей функции Грийа. Подстановка вр вместо р эквивалентна допущению, что взаимодействие между начальными невозмущенными системами А и В очень мало.
Это означает, что не только малавероятность перехода А, В С, Р, но, кроме того, вра хорошо апроксимирует точную волновую функцию, даже если сйстемы А и В близки друг к другу илн перекрываются. В практических случаях трудно найти эффективный критерий применимости данного приближения, хотя полезные результаты, вероятнее всего, будут получаться, когда энергия Е велика по сравнению с энергиями взаимодействия, входящими в оператор Н;,.
С помощью функции Грина (26.15) решение неоднородного уравнения (34.9), в котором т заменено на рм записывается в виде ове(г,'е) = — — '„', ~ ~ ~ )г,'е — г,а~-'е™~ "е ""1х х и„(С) иси(Р)Н;„и, (А) и,„(В)е'м'"~ е(тсйтеат,а. (34.10) Интегрирование здесь проводится по всем нештрихованным координатам; элемент интегрирования можно представить в виде вгт,е(таит,л 18 л. шифав— Га. 1Х. 7Ьждестееннае насниецы и спин 274 или де,йхейе„; сокращенно мы будем обозначать его просто через йе.
Если системы С и О достаточно удалены друг от друга, то асимптотически функция (34.10) примет вид о„(г„'а) —; — д,, (0, сс) г,'а-е е' '« уса еи д~(0 д') = —,;а / ц,(С)йети(0)е ™'са х (34.11) х Н;аи, (А)и,„(В)е' ""се(е. Здесь 0 и 7 — полярные углы вектора г'„а, а К вЂ” вектор, параллельный г',„; его абсолютная величина определяется формулой (34.9). Функция (34.б) нормирована таким образом, что „падающий поток" систем А и В совпадает с их начальной относительной скоростью ос = $/се/М,м а нормировка функций (34.5) и (34.11) такова, что радиальный расходящийся поток систем С и Р (отнесенный к единице телесного угла) равен и)д„(0, 7))е. Здесь и есть относительная скорость в конечном состоянии о = л1с/М,а. Таким образом, дифференциальное эффективное сечение для столкновений А, В- С, 0 принимает вид и„(0, у) = — )д„(0, у)!е.
(34.12) Неортогональноеть начальных и конечных состояний. Выражение для эффективного сечения (34.12) содержит некоторую неопределенность, связанную с тем обстоятельством, что волновая функция начального состояния ум вообще говоря, не ортогональна к функции у, = и„(С)п„(0)е™ "а, комплексно сопряженное значение которой входит также в выражение ДлЯди(0, У). Можно сказать, что фУнкЦиЯ 7, описывает конечное состояние, в котором системы С и задвижутся в направлении О, ~с.
Будучи собственными функциями разных невозмущенных гамильтонианов (соответственно Н„и Н„), начальная и конечная волновые функции необязательйо должйы быть взаимно ортогональны. Если они не ортогональны, то добавление к Н'„а постоянной потенциальной энергии (соответствующей нулевой силе) изменяет выражение для дн(0, с). Этого можно добиться, прибавив к обеим частям уравнения (34.7) функцию у, умноженную на произвольную константу; при этом изменится также значение Е.
Чтобы избелсать этого произвола, определим Н',„как энергию взаимодействия между системами С и О, которая обращается в нуль при стремлении г,а к бесконечности; таким путем однозначно определяется аддитивная постоянная. Таким же образом определяется и Н,'ее Интересно отметить, что в интеграл для дм(0, 7) вместо Н;„ можно подставить Н,',. Действительно, этот йнтеграл равен В 34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
