Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е. не меняется при перестановке аргументов; поэтому для функй ции !с с переставленными аргументами получится уравненизв совпадающее с уравнением (32.1). Таким путем из любого решени!з можно получить и! решений, соответствующих каждой из и! пере становок п аргументов функции !с. Любая линейная комбинация этих функций, также будет решением волнового уравнения (32,1). Беря сумму всех линейно независимых функций, полученных из первоначальной с помощью различных перестановок, получи!я симметричную (ненормированную) волновую функцию врс.
Дей ствительно, при перестановке любой пары частиц одно из слагаемых переходит в другое и наоборот, так что полная волновая функция остается неизменной. Антисимметричную (ненормиро, ванную) волновую функцию можно найти, складывая все решения,' полученные из первоначального в результате четного числа перь становок, и вычитая все решения, полученные в результате нечет ного числа перестановок. Если при перестановке какой-либо пары частиц решение не меняется, то из него, очевидно, нельзя получить отличную от нуля антисимметричную волновую функцию. Если гамильтониан не зависит от времени, то можно найти стационарные решения ер(1, 2, ..., и; !) = и(1, 2, ..., и) е где (Н(1, 2, ..., и) — Е] и (1, 2, ..., и) = О.
Из сказанного выше ясно, что все решения, получаемые одно из другого перестановкой аргументов, образуют вырожденную совокупность. Это вырождение называется обменным. При и = 2 можно получить 2! = 2 перестановки, которым соответствуют функции и(1,2) и и(2, 1). Беря в выражении и (1, 2) + и (2, 1) (32.2) верхний и нижний знаки, получим соответственно симметричную и антисимметричную линейные комбинации. При и = 3 имеется 3! = 6 перестановок, которым соответствуют функции и(1, 2, 3), и(2,1,3), и(3,2, 1), и(1,3,2), и(2,3, 1) и и(3,1,2).
Симметричную и антисимметричную линейные комбинации полу- 259 З" в2, Тавндественнвве настацвв чим, беря верхний и нижний знак в выражении [и (1, 2, 3) + и (2, 3, 1) + и (3, 1, 2)] Ь + (и (г, 1, З) + и (1, З, г) + и (З, г, 1)]. (Зг.З) Из двух решений (32.2) можно составить все собственные функции, обменно вырожденные с и (1,2). С другой стороны, при п = 3 есть четыре линейно независимые собственные функции, которые нельзя получить из двух функций (32.3).
Эти дополнительные решения, всегда имеющие место при п > 2, можно выбрать таким образом, чтобы они обладали определенными свойствами симметрии, напоминающими свойства симметричного и антисимметричного решения, но более сложные; однако они, по-видимому, не описывают встречающихся в природе частиц. Различимость тождественных частиц.
Следует ожидать, что коль скоро координаты частиц не могут принимать одинаковых значений, результаты опыта не должны зависеть от характера симметрии волновой функции. При зтом частицы все же можно различить — либо пространственно, либо по проекциям спина— несмотря на их тождественность. Естественно, в зтом случае волновая функция двух частиц и (1, 2) может быть отлична от нуля, лишь если координата 1 лежит в некоторой области А, а координата 2 — в области В, причем области А и В не перекрываются.
Плотность вероятности координат в состоянии с волновой функцией и (1,2) равна ] и(1,2) ]', а выражения для плотности вероятности, определяемые симметризованными волновыми функциями (32.3), имеют вид ~ и(1,2)ьи(2, 1) /' = ) и(1,2)]в+ (и(2,1)!'~2 йе(и(1,2) и(2,1)], (32 4) где символ Ке означает вещественную часть. Если теперь функция и(1,2) удовлетворяет только что сформулированному условию, то член в скобках везде равен нулю и правая часть (32.4) становится равной ) и(1,2)," +/ и(2,1) /'. Таким образом, плотность вероятности, определяемая какой- либо из симметризованных волновых функций (32.2), равна сумме плотностей, определяемых отдельно функциями и (1, 2) и и (2, 1). Совершенно такой же результат получился бы и для не тождественных частиц, если бы в процессе опыта не делалась попытка их различить.
Таким образом, интерференционные эффекты между волновыми функциями, входящими в обменно вырожденную совокупность, действительно исчезают, если области изменения координат частиц не перекрываются. Принцип Паули. Во' многих задачах можно получить полезное нулевое приближение, пренебрегая взаимодействием между части- 17 °вЂ” Гл. 1Х. Толсдесснвеппые частицы и спин 260 цами, образующими рассматриваемую систему. Приближенный (невозмущенный) гамильтониан представляет собой сумму одинаковых гамильтонианов отдельных частиц: Н,(1, 2, ..., п) = Но(1)+ Но(2)+ .
+ Н;(и), (32.5) а его приближенная собственная функция равна произведению собственных функций отдельных частиц: и(1,2, ..., п) = еа(1)ир(2)... о„(п), Е = Е, + Ер + ... + Е„, Но(1)и (1) = Е„н„(1), и т. д. Если рассматриваемые частицы представляют собой электроны, то вместо функции и, определяемой равенством (32,б), необходимо взять соответствующую антисимметричную линейную комбинацию. Проще всего представить ее в виде детерминанта, составленного из функций вп о„(1) о, (2) ...
н, (и) (32.6) М1) ор (2) ... ор (и) ил (1,2, ..., и) = (32.7) и„ (1) о„ (2) ... о„ (и) Связь со статистической механикой. Из несимметризированных решений нулевого приближения можно составить как симметрич- Н В русской литературе более употребителен термин „иринино Паули".— Прим. перев. Ясно, что (ненормированная) функция ц в (32.7) представляет собой антисимметричное решение приближенного волнового уравнения (Н,— Е)и,=О. Выражение (32.7) обладает интересной особенностью: оно обращается в нуль, если две (или более) функции и одинаковы. Мы имеем здесь частный случай высказанного ранее общего утверждения, согласно которому антисимметричную волновую функцию нельзя подучить из решения, не меняющегося при перестановке любых двух частиц.
Поэтому приближенный гамильтониан Н, не имеет решений, для которых в каком-либо из состояний сс,,У, находится более одного электрона. Этот результат известен как принцип исключения"; впервые он был введен Паули [2) в качестве постулата, позволяющего объяснить периодическую систему химических элементов (см. $38). Е ЗЗ. Толедееглвенные воетичм ную, так и антисимметричную волновую функцию. Легко видеть, что симметричное (ненормированное) решение дается суммой функций, полученных в результате всех возможных перестановок чисел 1, 2,, и между отдельными „одночастичными" функциями о„, и,..., о„Такая волновая функция является единственной; чтобы задать ее, достаточно указать, сколько частиц находится в каждом из состояний а, р,...
Аналогично антисимметричная волновая функция полностью определяется заданием числа частиц в каждом отдельном состоянии. Фундаментальное статистическое различие между частицами, описываемыми антисимметричными и симметричными волновыми функциями, заключается в том, что в первом случае в каждом состоянии может быть не более одной частицы, тогда как во втором число частиц в каждом состоянии не ограничено (О, 1, 2...). Состояния ряда систем многих частиц, не взаимодействующих (нли слабо взаимодействующих) друг с другом, можно определять одним из указанных выше способов. Исследование таких систем составляет предмет квантовой статисгпической механики.
Если частицы описываются антисимметричными волновыми функциями, то говорят, что они подчиняются статистике Ферми — Дирака; частицы, ойисываемые симметричными волновыми функциями, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна". Из частиц, статистика которых точно известна, электроны, протоны и нейтроны" описываются статистикой Ферми — Дирака, а л-мезоны — статистикой Бозе — Эйнштейна". Световые кванты или фотоны в той мере, в какой их можно рассматривать как частицы, также подчиняются статистике Бозе— Эйнштейна, хотя их описание с помощью волновой функции не является полезным. Далее, комплексы частиц, столь тесно связанных друг с другом, что весь комплекс можно рассматривать как единую частицу, также описываются симметричными или анти- симметричными волновыми функциями.
Так, например, ядро атома гелия состоит из тесно связанных друг с другом двух протонов, двух нейтронов и неопределенного числа вг-мезонов. Если рассматривать систему ядер гелия, взаимодействие между которыми настолько слабо, что можно пренебречь его влиянием на внутреннее движение ядер, то движение центров тяжести ядер приближенно можно описывать с помощью симметричной волновой функции. Перестановку двух атомов гелия можно представить как результат перестановки двух пар протонов, двух пар нейтронов и нескольких л-мезонов. Поскольку точная волновая функция антисимметрична относительно всех протонов и всех нейт- '1 См., например, книгу Толмана 131, гл.
10. в1 А также р-маноны. — Прим. перев. '1 См., например, гл. 4 книги Маршака 14]. 262 Гл. вХ. Тождественные чостины и спин ронов, то в результате первых четырех перестановок приближенная волновая функция не изменится; относительно и-мезонов волновая функция симметрична, и, следовательно, остальные перестановки также ее не изменят. Обобщая эти рассуждения, приходим к вы. воду, что слабо взаимодействующие „частицы" (ядра, атомы илн молекулы) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, если пол.
ное число содержащихся в каждой из них электронов, йротонов н нейтронов является четным, и статистике Ферми — Дирака, если каждая из них содержит нечетное число этих частиц". Столкновения тождественных частиц. Из $16 и 18 известно, что при наличии только сил взаимодействия движение системы' двух частиц можно разделить на перемещение центра инерции сит стемы и на движение одной частицы относительно другой. Очевидно, что при перестановке двух тождественных частиц радиус-вектор центра инерции [равный (г, + гв)/2, так как массы частиц одина. козы] остается неизменным, а отйосйтельные координаты (г = г,— — г,) меняют знак. Учет спинов мы отложим до следующего параграфа, а сейчас посмотрим, какую роль играет симметрия или анти- симметрия пространственной части волновой функции двух тождественных частиц, испытывающих упругое столкновение.
Асимптотическое выражение для несимметризованной волновой функции, характеризующей рассеяние частиц, в системе координат центра инерции дается формулой (18.10): и (г) — е'"+ г-' ] (О, р) е'"', (32.8) где г, О, р — полярные координаты вектора г. Так как сферическимй координатами вектора — г будут г, л — В, р+ вг, то в силу (32.8) асимптотические выражения симметричной и антисимметричной волновых функций имеют вид (е"' ~ е '") +. ]](В, р) ~ 1(вг — О, р + вс)]г-т еел"; (32е9) здесь верхний знак соответствует симметричной, а нижний — анти- симметричной волновой функции.
Как показано в $18, дифференциальное эффективное сечение в системе центра инерции равно квадрату абсолютной величины выражения в фигурных скобках (32.9): н(0, р) = ]](О, р) !Я+ ]1(ве — В, ~р + л) 1Я ~ -Ь 2 Ке]](В, р)1(ве — О, р+ ве)]. (32.10) Чтобы убедиться в правильности принятой нормировки, заметим, что в классическом предельном случае, когда тождественные ча- '> Более строгое изложение, приводящее к тем же выводам, было дано Зренфестом и Оппенгеймером 151.
О ЯЗ. Сионов й момент количества движения 263 стицы различимы и последний (ннтерференционный) член в (32.10) отсутствует, сечение а (О, о) становится в точности равным сумме эффективных сечений для рассеиваемых (~/(В,ч)!е) и рассеивающих (~/ (н — О, о + н)~в) частиц, как это и должно быть. Очевидно, что в обычном случае, когда функция / не зависит от о„сечение рассеяния в единичный телесный угол симметрично относительно направления О = 90' (в системе центра инерции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
