Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Однако, как только что было показано, при больших энергиях главный вклад в интеграл вносит область вблизи нижнего предела, и в соответствии с (30.9) е 9 9 ( а ) о 64«1аоо 4' Таким образом, главный член в выражении для полного сечения при больших энергиях можно получить, интегрируя по К у ЗО. Неунуугие Етоякновения 241 в пределах от нуля до бесконечности: (30.10) Эффективные сечения упругого рассеяния, а также рассеяния с возбуждением других атомных состояний можно найти, вводя в матричный элемент (30.5) вместо иевв другие конечные волновые функции и видоизменяя соответствующим образом равенство (30.4). Полное эффективное сечение упругого рассеяния при высоких энергиях оказывается равным 7ве/3!е'„что примерно в пять раз больше сечения (30.10).
Процессы возбуждения состояний с н =-2, ! = 1 (т.е. переход!Я- 2Р) проще всего рассматривать выбирая ось квантования для конечных состояний (и = О,+1) в направлении переданного импульса К. Таким путем можно показать, что возбуждаться может лишь состояние (210), так как при т = ~1 в силу наличия множителей е "в матричные элементы обращаются в нуль.
Физически это связано с тем, что бомбардирующий электрон, изменение импульса которого направлено вдоль К, не может передать атомному электрону момент количества движения в том же направлении. Эффективное сечение соответствующего столкновения при большой энергии оказывается равным и ~ — ( — ) !п(4/евав). (30.11) Появление логарифмического множителя в (30.11) связано с добавочным множителем 1/Ке в выражении для дифференциального эффективного сечения рассеяния. Таким образом, по сравнению с переходом 1б 28 дифференциальное эффективное сечение для перехода 18 — 2Р оказывается более значительным для малых углов, а полное сечение рассеяния при высоких энергиях убывает с ростом энергии не так быстро.
Образование следа в камере Вильсона. На первый взгляд кажется удивительным, что быстрый электрон, обладающий, по-видимому, определейным импульсом и, следовательно, не допускающий локализации в точке, все же может образовывать резкий след в камере Вильсона. Это явление можно рассматривать с различных точек зрения. В соответствии с теоремой Эрен- феста (~ 7) электрон можно характеризовать с помощью волнового пакета, центр тяжести которого движется, как классическая частица. Если длина волны достаточно мала, то размеры пакета и его расплывание с течением времени также могут быть малыми; тогда пакет будет взаимодействовать только с теми атомами, которые лежат поблизости от траектории его центра. Это значит, что состояние электрона описываетсядсуперпозицией плоских волн; следовательно, в импульсе его имеется некоторая неопре- 16 Л, ШИФФ— 242 Гл.
т111, Приближенние метода решения неетационарнмя задач деленность, что дает возможность с достаточной точностью опреде лить его положение. Другой подход состоит в том, что электрон описывается плоской волной с точно заданным импульсом, а его взаимодействие с первым возбуждаемым или ионизуемым атомом рассматривается как измерение координаты, которое производится с неопределенностью порядка размеров атома. После взаимодействия состояние электрона описывается волновым пакетом только что рассмотренного типа; если первый атом велик по сравнению с длиной волны, то этот пакет хорошо локализован. Мы здесь подробно рассмотрим картину, в которой электрон и атомы газа в камере Вильсона считаются частями единой системы, так что взаимодействие с атомами уже не рассматривается как измерение координаты электрона, изменяющее его волновую функцию"С Для простоты допустим, что в системе имеются всего два атома (в основных состояниях), причем их ядра расположены далеко друг от друга и фиксированы в пространстве.
В этом предположении мы вычислим эффективное сечение для таких процессов, когда оба атома возбуждаются, а электрон претерпевает неупругое рассеяние. Считая начальную энергию электрона достаточно большой, можно воспользоваться теорией возмущений, причем в данном случае нужно взять второе приближение. Расчет интересен как сам по себе, так и по своему результату, представляя собой поучительный пример применения теории возмущений, развитой в $ 29. В результате оказывается, что эффективное сечение рассеяния будет очень мало, исключая случай, когда начальный импульс электрона почти параллелен как линии, соединяющей ядра, так и конечному импульсу.
Отклонение от параллельности (в радианах) по порядку величины не должно превышать отношения длины волны электрона к размерам атома. Этот результат аналогичен результату, полученному выше при рассмотрении неупругого столкновения быстрого электрона с атомом водорода, когда углы рассеяния в основном не превышали, грубо говоря, 1Пс а . Это согласуется также с описанием процесса в терминах волйовых пакетов, так как локализация электрона в интервале а, характеризующем размеры атома, в направлении, перпендикулярном направлению движения, приводит к неопределенности Ф/а у соответствующей компоненты импульса и, следовательно, к угловому разбросу порядка Цар ~ 1,Псаа.
Постановка задачи. Без потери общности ядро первого атома можно расположить в начале координат, а ядро второго — в точке й. Атомы предполагаются настолько удаленными друг от друга, П См. также книгу Гайзенберга [Зй стр. 66, Г ЗО. Неупругие столкновения 243 что взаимодействием между ними можно пренебречь. Тогда невозмущенный гамильтониан равен сумме оператора кинетической энергии падающего элекгрона и невозмущенных гамильтонианов для обоих атомов. Роль возмущения играет сумма энергии взаимодействия Н', и Н, 'между падающим электроном и первым и вторым атомами.
В начальном состоянии оба атома находятся в основных состояниях и, с энергиями е„а волновой вектор падающего электрона равен й . В конечном состоянии первый атом находится в состоянии и„с энергией е„, второй атом — в состоянии и,„ с энергией е; волновой вектор электрона равен й Очевидно, в первом приближении теории возмущений интересующий нас переход не может иметь места. Он, однако, возможен во втором приближении, причем имеются две группы промежуточных состояний. В первой из них первый атом находится всостоянии и„, второй — в состоянии ио, а волновой вектор рассеиваемого электрона равен й„.
Во второй группе первый атом находится в состоянии и, второй — в состоянии и, а волновой вектор электрона есть й . Таким образом, матричный элемент второго порядка (29.20) имеет вид ч (Ни)пт,по(ыв)по,оо+ ~ (Нв)пт оп(Нв)от,оо (3012) Еоо Епо Ево — Е „ ппо пот г' ло 2ео+ от Епо е + во+ Мы вычислим здесь явно только первую сумму, а затем покажем, как нужно изменить результат, чтобы найти и вторую сумму. Входящие в сумму матричные элементы равны (Н )„ , „, = в';о ) ~ и (2) е '"™' Н; (2, г) и, (2) е'"по ' е(то в(т, (Н;) ,„ = в' в ) (' и„(1) е еп"о' Н; (1, г') и (1) е'~' е(т, Ит'.
(30.13) Здесь цифрами 1 и 2 обозначены все внутренние координаты первого и второго атомов, е(т, и е(тв представляют собой соответствующие элементы объема, векторы г и г' являются переменными интегрирования, характеризующими положение падающего электрона относительно начала координат (им соответствуют элементы объема в(т и йт').
В первой из формул (30.13) произведено интегрирование по координатам 1, во второй — по координатам 2; результат в обоих случаях равен единице. Вычисление суммы по й. Если подставить матричные элементы (30.13) в первую сумму (30.12) и поменять местами сумми- 16 — гз л44 Гл. 1еллХ. Приблинеенные методы решения неетационарныл задач рование и интегрирование, то необходимо будет вычислить сумму длао'о ~ ) «ОΠ— н' Если длина ребра куба Ь достаточно велика, то суммирование можно заменить интегрированием л, ™аа ие ~'~ (йБ '„.. — ".' Интеграл в (30.15) имеет такой же вид, как и в выражении для функции Грина свободной частицы (2б.12); нужно лишь должным образом определить правило обхода особой точки подинтегрального выражения 1е, = и.
Данная особенность относится к типу, рассматривавшемуся в конце предыдущего параграфа; она связана с возможностью переходов первого порядка, при которых возбуждается только один атом. Как видно из (29.24), интеграл по абсолютной величине вектора й„следует брать по вещественной оси, от нуля до бесконечности, обходя особую точку снизу. После йнтегрирования по углам подинтегральное выражение будет четной функцией й„„и, следовательно, контур можно отразить в начале координат. Полученный при этом контур будет в точности совпадать с контуром, использованным при вычислении функции Грина (26.13) и изображенным на фиг.
21, а, Поэтому из предыдущих результатов мы сразу получаем явное выражение для суммы (30.14): гв 4а ( е — е' ! Матричный элемент второго порядка. Матричные элементы (30.13) удобно переписать, вводя новые функции: Р (г — й) = ~ и (2)Н',(2, г)иа(2)бх„ Р„(г') = ) й„(1) Н; (1, г') и (1) е)х,. Эти функции заметно отличны от нуля лишь в том случае, если аргументы их достаточно малы (по порядку величины не превышают „атомного радиуса"). Положим г" = г — й, тогда практически весь вклад в первую сумму в (30,12) определяется малыми значениями г' и г". Поэтому при определении главной части (30.1б) при больших Ге можно приближенно положить и ° е" н ° е' ( г - г' ( = ! й + г" — г' ~ ~° Гг + — —— и й 1г — г'~-' тл гг-'„ В вО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
