Шифф Л. Квантовая механика (1185103), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Если в этой точке величины й или и изменяются медленно, то можно воспользоваться асимптотическими решениями; например, если разность Š— 'и' (г) положительна, имеет конечную величину и медленно меняется вблизи точки г = О, то решениеимеетвид й-и* з1п ( ~ наг . Если же при г=О эффективная то потенциальнаяэнергия бесконечна, что может быть или следствием сингулярности у(г) или результатом действия центробежной силы при 1 =-'= О, то положение становится более сложным и требует дальнейшего исследования. злддчи П На одномерный гармонический оспилл втор с зарядом е действует возмущающая сила со стороны электрического поля с напряженностью Е, приложенного в положительном направлении х.
Вычислить изменение каждого уровня энергии во втором приближении теории возмущений. Ноказаттч что зта задача допускает точное решение, и сравнить его с приближенным выражением, полученным прн помощи теории возмущений. 2. На одномерный гармонический оспнллятор наложено возмущение вида Ьх'. Вычислить сдвиг уровней энергии во втором приближении теории возмущений. 3. Рассмотреть эффект Штарка первого порядка в атоме водорода, находящемся в состоянии с и = 3. Задачи 223 4. Система с тремя невозмущенными состояниями при наличии возмущения характеризуется матрицей энергии О Е Ь где Е, > Е,. Найти возмущенные собственные значения во втором приближений теории возмущений для невырождеиного случая.
После этого диагонализовать матрицу и найти ее точные собственные значения. Наконец, применить второе приближение теории возмущений для вырожденного случая. Сравнить результаты, полученные в этих трех случаях. 5. Показать, что полное эффективное сечение рассеяния на потенциале, убывающем при больших расстояниях как г ", будет конечно тогда и только тогда, когда л >2. Провести доказательство: а) при помощи борновского приближения (26.20) и б) с помощью справедливого в борковском приближении выражения для (26.27) (см. примечание 2 на стр. 98). 6.
С помощью борновского приближения найти дифференциальное эффективное сечение для рассеяния на потенциале у(г) = — у«е-ю«. Каков в данном случае критерий применимости приближения и при каких условиях он выполняется? 7. Принять, что в некоторой задаче о рассеянии на сферическн симметричном потенциале фаза д«велика и может быть вычислена точно, а все другие фазы малы. Вычислить дифференциальное сечение в борновском приближении (с учетом всех фаз).
8. Исходя из борковского приближения качественно рассмотреть вопрос о рассеянии иа кристаллической решетке, состоящей из одинаковых атомов. 9. Пробная функция гр мало отличается от собственной функции ия, так что (г =- ад+зри где ид и (гг нормированы и е.а!. Показать, что (71) отличается от Е только членами порядка з'. 10. Зная, что для некоторого гамильтониана известны а — 1 первых собственных функций, написать формальное выражение для пробной функции, которую можно применять для нахождения верхнего предела н-го уровни энергии.
!!. Найти следующие члены (порядка )? ') в разложении (27.12). Показать, что для них диагональный матричный элемент, соответствующий невозмущенному основному состоянию, равен нулю, так что при нахождении вандерваальсовского взаимодействия отсутствует поправка порядка )? — 4. !2. Воспользоваться первым отличным от нуля членом в (27.13) для нахождения нижнего предела — В'(й). Результат сравнить с результатом, получающимся при помощи вариационного метода.
13. Комбинируя теорию возмущений и вариациониый метод, как это было сделано в $27 в связи с теорией сил Ван-дер-Ваальса, найти пределы значений диэлектрической восприимчивости атома водорода в основном состоянии. Диэлектрическая восприимчивость определяется как отношение индуцированного дипольного момента к напряженности приложенного электрического поля нлн как взятая с обратным знаком вторая производная от возмущенной энергии по напряженности электрического поля Б (прн В = 0). 14. Частица с массой т находится в поле с потенциалом, рассмотренным в задаче 6, причем й«/тУ«а« = 3/4.
Применяя пробную функцию е — «г, прн помощи вариационного метода вычислить верхний предел низшего собственного значения оператора энергии. 15. Пользуясь соотношениями (27.24) и (27.25), вычислить 16 д! во втором приближении метода Бориа. При помощи этого результата найти фазу, соответствующую нулевой энергии в случае однородного потенциала при 1 = О. 16. Учитывая члены порядка й' в правой части (27.28) и пользуясь пробной функцией е(г) = г, прн помощи вариационного метода вычислить зиа- 224 Гл. Ч!!. Приблатненные менюдм решения стационарных задач чение йс!8 д, для однородного потенциала.
Полученные результаты сравнить с результатом первого борновского приближения, где вычисления проводятся с точностью до членов порядка й', а также с точным решением. 17. Полагая в (27.29) ч (г) = г, вычислить значение ()с с!8 д,)ч для экспоненциального потенциала, введенного в задаче 6. Сравнить с результатом первого борновского приближения. 18. Показать, что квазиклассическое приближение дает правильные уровни энергии для всех состояний гармонического осциллятора.
19. Применить квазиклассический метод к задаче об одномерном движении частицы массы т в поле с потенциалом, который равен — Ч, при х = О, линейно зависит от х в интервале от — а до +а и равен нулю при ~х~ ) а. Полагая тчзаз(йз = 40, найти в этом приближении уровни энергии всех связанных состояний. 20. Пользуясь квазиклассическим методом, показать, что в трехмерном случае для притягивающего потенциала, асимптотически убывающего как г при и ~ 2 имеется бесконечное число связанных состояний.
21. Обсудить вопрос о связи между квазиклассическим приближением и прохождением частиц через „малопрозрачные" потенциальные барьеры типа, рассматривавшегося в 1 17, но не обязательно прямоугольные. ЛИТЕРАТУРА 1. Ясйгбб(пйег Е., Апп. б. РЬуз., 89, 437 (1926). 2. Аг!еу Ы., ВогсЬзеп!из Ч., Асга Ма1Ь., 76, 261 (1945). 3.
Е р з ! е ! п Я., Атег..1оигп. РЬуз., 22, 613 (1954). 4. Чан Ч(ес 2,). Н., РЬуз. Веч., 33, 467 (1929). 5. Ч а п Ч 1 е с Ь ). Н., ТЬе ТЬеогу о( Е1ес1пс апб Майне!!с ЯизсерВЬс1гйез Ох!огб, !теис Чог1с, !932. 6. В о г п М., Ез. 1. РЬуз., 38, 803 (1926). 7. Могзе Р. М., РезЬЬасЬ Н., Месйобз о! ТЬеогес!са1 РЬуз!сз, Ыеис Чог1с, 1953. 8. тч а 1з о п С.
)с(., ТЬеогу о! Вевсе! Риис!юпз, 24 еб., )чеис Чог1с, 1945. (Имеется русский перевод: Г. Ватсон, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949,) 9. М о 11 Х. Р., М а аз е у Н. Я. %., ТЬе ТЬеогу о! А!апис Со11!зюпз, 26 еб., Ох(огб — Ыеис Чог1с, 1949. (Имеется русский перевод: Н. Матт, Г. М е с с н, Теория атомных столкновений, ИЛ, 1949.) 10. В и! 1а г б Е. С., М аз ее у Н. Я. %., Ргос. СащЬг. Р181.
Яос., 26, 556 (1930). 11. Вау1е!ЯЬ, ТЬеогу о! Яоипб, 26 геч. еб., ч. 1, 1.опбоп, 1937. (Имеется русский перевод: Р эл е й, Теория звука, т. 1, М.— Л., !940; т. П, М.— Л., 1944.) 12. К а 1 о Т., )оигп. РЬуз. Яос. )арап, 4, 334 (1949). 13. Тетр!е О., Ргос. )соу. Яос., 211А, 204 (1952). 14. % Ьс11ай е г Е. Т., % а!во и О. Ы., А Соигзе о! Мобегп Апа1уз!з, 4ГЬ еб., СвгаЬг!бйе, Гюпбоп, 1935.
(Имеется русский перевод: Е. У и ттекер, Г. Ватсон, Курс современного анализа, М,— Л., 1937,) 15. Ну!!егавз Е. А., Ез. !. РЬуз., 65, 209 (!930). 16. Яиспег )., Ро)еу Н. М., РЬуз. Веч., 95, 966 (1954). 17. Р а и 1! п 8 Ен % !1з о и Е. В., )г.,!псгобис1юп со с3иап!ищ Меспап!сз, Хеис Чогй, 1935. 225 Литература !8, Н и 11 Ь 4 п |т Рис|вше Сопйгйв бев Ма|йегпаВс|епв Бсапб|пачев, СорепЬайеп, 1946. 19, Бспчг1п бег )., РЬУв. Йеч., 72, 742 (1947). д), Б с Ь чг 1 п 6 е г )., РЬуз.
Йеч., 78, 135 (1950). 21, Йопг!|сп Р., Е!вепв1е!п,)., РЬУв. Йеч., 75, 705 (1949). 22. В! а11 ). М., ) а с К зон ). Р., РЬУв. Йеч., 76, 18 (1949). 23, бег|и оУ Е,, Бахо п Р. Б., РЬУв. Йеч., 94, 478 (1954), 24. Ы оп ч!!! е .), )оигп. пе Ма1Ь., 2, 1б, 418 (1837). 25, й а у!е1 6 Ь, Ргос.
Йоу. Бос., 86А, 207 (1912), 26.,) с|| г е У в Нч Ргос. $лпбоп Ма1Ь. Бос. (2), 23, 428 (1923). 27, реп!ге! Рч Хв. 1. РЬув., 38, 518 (1926). 28. Кгашегв Н. А., 2з. 1. РЬув., 39, 828 (1926). 29, Вг|1!о и|и 1, Сошр1. Йепбя 183, 24 (1926). ЗО. К е ш Ь|е Е. С., ТЬе Рипдашеп!а! Рг|псгр1ез о1 ()пап!иго Меспап!св, 1|е!ч УогК, 1937. 31, 1. а п 6 е г й.
Е., РЬуз. Йеч., 51, 669 (1937). 32. Ри г гу %. Н., РЬув. Йеч., 71, 360 (1947). ЗЗ. М!1|ег Б. С., )г., Роо6 й. Н., )г., РЬув. Йеч., 91, 174 (1953). 34. % 5|11 аКег Е. Т., Апа|у1!са| Рупагп)св, Зс1 еп., Сашбг166е, $.опиоп, 1927. (Имеется русский перевод: Е. У и т т е к е р, Аналитическая динамика, М.— Л., 1937.) 35. Р о!4 в 1 е|п Н., С!авв|са! МесЬап|св, Сашбг!бее, 1950. (Имеется русский перевод: Р. Гол детей н, Классическая механика, М,— Л., 1957.) 36.' Ива не н ко Д, Д,, Соколов А. А., Классическая теория поля, М.— Л., !952. 37". Г о м б а ш П., Проблема многих частиц в квантовой механике, ИЛ,!952. 38*. Ф о к В., Ев. 1.
РЬуз., 61, 126 (!930). 15 л, шиФФ ГЛАВА Ч111 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ Если гамильтониан зависит от времени, то найти точные ешения уравнения Шредингера в общем случае не удается. се три приближенных метода, рассматриваемые в настоящей главе, исходят из допущения, что истинный гамильтониан в некотором смысле можно апроксимировать оператором, не зависящим от времени, причем для него уравнение Шредингера можно решить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
